Spațiul tangent la un punct p al unui distribuitor diferențial M este un spațiu vectorial care este intuitiv setul tuturor vectorilor - viteză posibilă pentru un „mobil” în mișcare (fără a putea ieși) în intervalul M atunci când este pe p .
Un mod obișnuit în fizică de a descrie spațiul tangent este de a spune că vectorii pe care îi conține reprezintă diferențele dintre acel punct și punctele din varietate infinit de apropiate de primul. Acest mod de a interpreta spațiul tangent echivalează cu a considera că varietatea are o structură apropiată de cea a unui spațiu afin .
Când colectorul este cufundat în ℝ n , spațiul tangent la un punct p este pur și simplu setul de vectori tangenți la p la curbele (de clasa C 1 ) reprezentate pe colector și conținând p .
Să presupunem că M este o varietate diferențială de dimensiune n și clasa C 1 și p este un punct situat în M . Fie ( U , φ) o hartă locală a lui M în p . Două curbe γ 1 , γ 2 :] –1, 1 [→ M , astfel încât φ∘γ 1 și φ∘γ 2 sunt diferențiate la 0, se spune că sunt tangente reciproc în p dacă γ 1 (0) = γ 2 (0) = p și (φ∘γ 1 ) '(0) = (φ∘γ 2 )' (0). Această noțiune nu depinde de cartea aleasă.
Putem verifica dacă relația astfel definită este o relație de echivalență . O clasă de echivalență V se numește vector tangent la M la p . În harta anterioară, vectorul V este reprezentat de vectorul egal cu (φ∘γ) '(0), unde γ este orice curbă de element din clasa de echivalență.
Setul de clase este spațiul tangent la p la M , notat T p M . Funcția γ ↦ (φ∘γ) '(0) induce trecând la coeficient o bijecție de la T p M în ℝ n ceea ce face din spațiul tangent un spațiu vector. Formula pentru schimbarea hărților arată că structura vectorială nu depinde de harta locală aleasă.
Cu notațiile precedente, f să fie o funcție a lui M cu valori reale, de clasă . Dacă avem o hartă locală ( U , φ) în p astfel încât (de exemplu), φ ( p ) = 0, atunci funcția este o funcție de clasă , definită într-un vecinătate care conține 0 și cu valori reale. Dacă ne oferim un vector de , putem calcula apoi derivata direcțională a lui F în funcție de :
Se verifică dacă rezultatul nu depinde de harta aleasă, ci doar de funcția f și de clasa de echivalență V definită în paragraful anterior și pentru care avem în harta dată. O observăm sau . Vectorul definește astfel o operație de derivare pe funcțiile f , egală cu în harta anterioară. În schimb, orice operație de derivare este de această formă și, prin urmare, definește un vector. Această metodă face posibilă identificarea vectorilor tangenți la M în punctul p cu derivările din punctul p al funcțiilor cu valori reale.