Puiseux Teorema oferă o descriere a soluțiilor de ecuații polinomiale ale căror coeficienți sunt serii formale Laurent cu coeficienți într - un corp algebric închis de caracteristică zero. O variantă a teoremei lui Puiseux descrie rădăcinile ecuațiilor polinomiale ale căror coeficienți sunt funcții meromorfe .
Jean le Rond D'Alembert o acceptă ca teoremă și o folosește ca atare în dovada teoremei lui d'Alembert-Gauss .
Fie K un câmp închis algebric cu caracteristică zero. Atunci câmpul K〈〈X〉〉 din seria Puiseux este o închidere algebrică a subcâmpului K (( X )) din seria Laurent.
Putem arăta că fiecare dintre cele două ipoteze făcute asupra lui K este necesară.
Rețineți mai întâi că K〈〈X〉〉 este o extensie algebrică a lui K (( X )). Într-adevăr, o serie de Puiseux de formă (cu k număr întreg relativ și a i ∈ K ) aparține extensiei finite K (( X )) [ X 1 / n ] (de grad n ).
Fie Ω o închidere algebrică a lui K〈〈X〉〉 deci a lui K (( X )), să arătăm că K〈〈X〉〉 este egal cu Ω ca întreg. În Ω, să L fie o prelungire a gradului n de K (( X )) și B închidere integrală în L de K [[ X ]]. Să arătăm că B ⊂ K [[ X 1 / n ]], ceea ce va demonstra că L ⊂ K (( X 1 / n )) ⊂ K〈〈X〉〉 și va încheia.
Inelul B este locală , sa ideală maximal constând din elemente ale căror standard relative (în K [[ X ]]) este divizibil cu X . Deoarece, în plus, B provine de la Dedekind , este un inel de evaluare discret .
Sau Y un uniformizer pentru B . Există un u inversabil astfel încât X = uY n . Deoarece K este algebric închis, corpul rezidual B / ( Y ) (extensie finită de K ) este egală cu ea și conține o rădăcină n -lea a u Mod Y . Acum B este completă pentru Y -adic topologie , deoarece este complet pentru X -adic topologia ( deoarece K [[ X ]] este (în) ) și că aceste două topologii de pe B coincid. Putem aplica Ierna de Hensel : Acest mod rădăcină Y este recuperarea într - o rădăcină n - lea, v la u în B . Uniformizator Z : = vY este apoi o rădăcină n - lea al X , astfel produsului X 1 / n de un element nenul al K .
Orice element al lui B este apoi scris (prin aproximări succesive) ca o serie formală în X 1 / n cu coeficienți în K , așa cum sa afirmat.
N. Bourbaki , Elements of matematic , Algebra , Springer, 2007 ( ISBN 9783540343981 ) , cap. V, exerc. 2 p. 143