Teorema pregătirii Weierstrass

În matematică , teorema de pregătire a lui Weierstrass se referea inițial la un instrument utilizat în teoria funcțiilor analitice a mai multor variabile complexe . Afirmația și dovezile au fost ulterior generalizate într-un cadru pur algebric: teorema desemnează acum un rezultat al algebrei comutative .

Mai multe variabile complexe

Teorema afirmă că în vecinătatea unui punct P , o funcție analitică a mai multor variabile complexe este produsul unei funcții diferite de zero în P și a unui polinom unitar în una dintre variabile , unde sunt analiza funcțiilor celeilalte variabile și verificați . f0+f1z+⋯+fk-1zk-1+zk{\ displaystyle f_ {0} + f_ {1} z + \ cdots + f_ {k-1} z ^ {k-1} + z ^ {k}}z{\ displaystyle z}feu{\ displaystyle f_ {i}}feu(P)=0{\ displaystyle f_ {i} (P) = 0}

Algebra comutativă

De fapt, ne putem lipsi de caracterul convergent al seriilor și avem analogul pentru seria formală: dacă f este o serie formală diferită de zero în n nedeterminată cu coeficienți într-un câmp k , atunci văzându-l ca o serie formală în ultimul nedeterminat poate fi scris într-un mod unic f = ug unde u este o serie formală inversabilă și g este un polinom cu coeficienți în inelul seriilor formale din primul n-1 nedeterminat și al cărui grad este crescut prin evaluarea lui f .

Acest rezultat poate fi chiar generalizat după cum urmează: fie (A, m) un inel local complet și separat pentru topologia m -adică (acesta este rolul din afirmația anterioară) și f o serie formală cu coeficienți în A astfel încât unii dintre coeficienții săi nu sunt în m (aceasta este ipoteza non-zero f ). Deși a menționat s cel mai mic dintre acești coeficienți, inelul este o sumă directă de fB și A -modul generat de s primele puteri ale lui x . (k[[X1,...,Xnu-1]],(X1,...,Xnu-1)){\ displaystyle (k [[\ mathrm {X} _ {1}, \ dots, \ mathrm {X} _ {n-1}]]], (\ mathrm {X} _ {1}, \ dots, \ mathrm {X} _ {n-1}))}B: =LA[[X]]{\ displaystyle B: = A [[X]]}

Demonstrarea primului rezultat folosind al doilea

După ce s-au specificat rolurile și s-a notat ultimul nedeterminat , descompunem pe suma directă: există deci un s + 1 unic de serie în primul n-1 nedeterminat astfel încât X{\ displaystyle X}Xs{\ displaystyle X ^ {s}}(v,tu0,...,tus-1){\ displaystyle (v, u_ {0}, ..., u_ {s-1})}

Xs=fv+tu0+tu1X+⋯+tus-1Xs-1{\ displaystyle X ^ {s} = fv + u_ {0} + u_ {1} X + \ dots + u_ {s-1} X ^ {s-1}},

dar apoi prin respectarea ordinelor relative la în egalitate X{\ displaystyle X}

Xs-(tu0+tu1X+⋯+tus-1Xs-1)=fv{\ displaystyle X ^ {s} - (u_ {0} + u_ {1} X + \ dots + u_ {s-1} X ^ {s-1}) = fv}

vedem succesiv că are un termen constant zero atunci că v este inversabil, ceea ce duce la tueu{\ displaystyle u_ {i}}

v-1(Xs-tu0-tu1X-⋯-tus-1Xs-1)=f{\ displaystyle v ^ {- 1} \ left (X ^ {s} -u_ {0} -u_ {1} X- \ dots -u_ {s-1} X ^ {s-1} \ right) = f }.

Pentru unicitate observăm că o descompunere

f=tu(Xs+tu0+tu1X+⋯+tus-1Xs-1){\ displaystyle f = u \ left (X ^ {s} + u_ {0} + u_ {1} X + \ dots + u_ {s-1} X ^ {s-1} \ right)}

a dus să scrie

tu-1f-(tu0+tu1X+⋯+tus-1Xs-1)=Xs{\ displaystyle u ^ {- 1} f- \ left (u_ {0} + u_ {1} X + \ dots + u_ {s-1} X ^ {s-1} \ right) = X ^ {s} }

ceea ce este unic deoarece suma B = fB + grad mai mic decât s -1 este directă.

Demonstrarea celui de-al doilea rezultat

Pentru unicitatea descompunerii este folosită separarea inelului seriilor de putere formale pentru topologia n -adic sau n este idealul generat de m și X . Pentru existență, integritatea este cea care intră în joc ...

Caz particular

Această teoremă are numeroși analogi sau variante, denumită și teorema de pregătire Weierstrass. De exemplu, avem următorul rezultat pe seria formală cu coeficienți în inelul numerelor întregi -adic , unde este un număr prim. Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}

Fie o serie formală cu coeficienți în . F=∑nu≥0lanuXnu{\ displaystyle F = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n}}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}

Presupunem că nu este divizibil cu , adică cel puțin unul dintre coeficienții lui nu este divizibil cu . Notăm întregul minim astfel încât să nu fie divizibil cu . F{\ displaystyle F}p{\ displaystyle p}F{\ displaystyle F}p{\ displaystyle p}k{\ displaystyle k}lak{\ displaystyle a_ {k}}p{\ displaystyle p}

Apoi există un polinom al și o serie formală de astfel încât G{\ displaystyle G}Zp[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [X]}H{\ displaystyle H}Zp[[X]]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[X]]}

1. F=GH{\ displaystyle F = GH}
2. G{\ displaystyle G}este unitar de grad și este inversabil în .k{\ displaystyle k}H{\ displaystyle H}Zp[[X]]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[X]]}

În plus, și sunt determinate în mod unic. G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}

Notă. În cazul particular în care este un polinom de grad N și 1 ≤ k ≤ N - 1, putem arăta că este un polinom de grad N - k , care oferă o factorizare non-banală a . Acest rezultat este similar cu lema lui Hensel  : trecem de la o factorizare în la o factorizare în . F{\ displaystyle F}H{\ displaystyle H}F{\ displaystyle F}Z/pZ[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [X]}Zp[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [X]}

Analogia cu teorema privind funcțiile analitice provine din faptul că elementele din pot fi considerate ca serii întregi în variabilă , prin extinderea lui Hensel. Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}

Articol asociat

Teorema pregătirii Malgrange

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">