Lema lui Hensel
În matematică , lema lui Hensel este un rezultat care permite deducerea existenței unei rădăcini a unui polinom din existența unei soluții aproximative. Este numit după matematicianul de la începutul XX - lea secol Kurt Hensel . Demonstrarea sa este analogă cu cea a metodei lui Newton .
Noțiunea de inel Henselian grupează inelele în care se aplică lema Hensel. Cele mai frecvente exemple sunt ℤ p (inelul numerelor întregi p -adic , pentru p un număr prim ) și k [[ t ]] (inelul seriilor formale peste un câmp k ) sau mai general, inelele de evaluare discretă completă .
Declarații
Considerăm un polinom P cu coeficienți în ℤ p (inelul întregi p -adic , cu p prim ).
Lema Hensel versiunea 1.
Dacă există așa ceva
α0∈Zp{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α0)≡0(modp)etP′(α0)≢0(modp),{\ displaystyle P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ quad {\ rm {et}} \ quad P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}},}
atunci există astfel încât
α∈Zp{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(α)=0etα≡α0(modp).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {și}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p}}.}
Mai general, dacă un inel Noetherian A este complet pentru topologia I -adică pentru un anumit I ideal și dacă P este un polinom cu coeficienți în A atunci, orice element α 0 din A astfel încât, modulul I , P (α 0 ) este zero și P ' (α 0 ) este inversabil , crește unic într-o rădăcină a lui P în a .
Condiția este esențială. Astfel, ecuația nu are nicio soluție în (o astfel de soluție ar trebui să fie congruentă cu 2 modulo 5 ; prezentând , am avea, prin urmare , ceea ce este absurd, deoarece 30 nu este divizibil cu 25), în timp ce are unul în , deoarece este divizibil cu 5; acest lucru este explicat deoarece este identic zero în .
P′(α0)≢0(modp){\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}}}
X5=2{\ displaystyle X ^ {5} = 2}
Z5{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}}
la{\ displaystyle a}
la=2+5X{\ displaystyle a = 2 + 5x}
2=(2+5X)5=32+5×16×5X+10×8×(5X)2+...{\ displaystyle 2 = (2 + 5x) ^ {5} = 32 + 5 \ times 16 \ times 5x + 10 \ times 8 \ times (5x) ^ {2} + \ dots}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
25-2{\ displaystyle 2 ^ {5} -2}
P′(X){\ displaystyle P '(X)}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
Lema Hensel versiunea 2.
Dacă există astfel încât, pentru un număr întreg N , avem
α0∈Zp{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P′(α0)≡0(modpNU),P′(α0)≢0(modpNU+1)etP(α0)≡0(modp2NU+1),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N}}}, \ quad P' (\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N + 1}}} \ quad {\ rm {și}} \ quad P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2N + 1}}},}
atunci există astfel încât
α∈Zp{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P(α)=0etα≡α0(modpNU+1).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {și}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p ^ {N + 1}}}.}
Lema versiunii 3 a lui Hensel.
Fie K un câmp valoric complet non- arhimedean , | ∙ | o valoare absolută pe K asociată evaluării sale, O K inelul său de numere întregi , f ∈ O K [ X ] și x un element al lui O K astfel încâtvs.: =|f(X)f′(X)2|<1.{\ displaystyle c: = \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x) ^ {2}}} \ right | <1.}
Asa de :
- secvența definită de și formula recurenței: este bine definită și satisface(Xnu)nu∈NU{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
X0: =X{\ displaystyle x_ {0}: = x}
Xnu+1: =Xnu-f(Xnu)f′(Xnu){\ displaystyle x_ {n + 1}: = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}}
|f(Xnu)|⩽vs.2nu|f′(X0)|2et|Xnu+1-Xnu|⩽vs.2nu|f′(X0)| ;{\ displaystyle \ vert f (x_ {n}) \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ^ {2} \ quad {\ rm {și}} \ quad \ vert x_ {n + 1} -x_ {n} \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ~;}
- converge în O K la o rădăcină ξ de f și∀nu∈NU|ξ-Xnu|⩽|f(X)f′(X)|2nu ;{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ vert \ xi -x_ {n} \ vert \ leqslant \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x)}} \ right | ^ {2 ^ {n}} ~;}
-
ξ este singura rădăcină a lui f în bila deschisă a lui O K cu centrul x și raza | f ( x ) / f '( x ) | .
Lema versiunii 4 a lui Hensel.
Orice inel local complet este Henselian (în) , adică A denotând acest inel și k câmpul său rezidual , că dacă un polinom unitar f ∈ A [ X ] are pentru imagine în k [ X ] un produs din două polinoame g și h coprimă , apoi g și h sunt crescute în două polinoame ale lui A [ X ] ale produsului f .
Această lemă „ Hensel ” a fost demonstrată de Theodor Schönemann în 1846.
Aplicații
Lema lui Hensel se aplică într-o mare varietate de situații.
Familia de idempotenți ortogonali
Să A fi un inel local noetherian, complet pentru M -adic topologia asociată ei maximă ideală M , iar B un comutativă A algebră , de tip finit ca A -modul . Deci , fiecare familie de idempotents „ortogonale“ de B / MB crește, în mod unic, într - o familie de idempotents ortogonale de B .
Într-adevăr, idempotenții sunt rădăcinile polinomului P ( X ): = X 2 - X , iar dacă P ( e ) este zero, atunci P ' ( e ) este propriul său invers. Acum B este completă (în) pentru topologia MB -adic, permițând, datorită lema lui Hensel (versiunea 1 de mai sus) pentru a satisface fiecare idempotente de B / MB într - un idempotente de B . În cele din urmă, dacă doi idempotenți ai lui B sunt modul ortogonal MB , atunci ei sunt în absolut: produsul lor x este zero deoarece (prin completitudine) 1 - x este inversabil, sau x (1 - x ) = 0.
Factorizarea polinoamelor cu coeficienți întregi
Algoritmii de factorizare a polinoamelor cu coeficienți întregi în factori ireductibili utilizează mai întâi o factorizare într-un câmp finit care trebuie apoi reasamblat în inel pentru un anumit k de . Această recuperare se face datorită unui caz particular al lemei lui Hensel, menționat mai jos:
Fp{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}
Z/p2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}
Fie p un număr prim, iar P un polinom cu coeficienți întregi, unitar, descompus într-un produs de două polinoame cu coeficienți în .
G0H0{\ displaystyle G_ {0} H_ {0}}
Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Presupunem și primim între ei, coeficienții Bézout în .
G0{\ displaystyle G_ {0}}
H0{\ displaystyle H_ {0}}
U0,V0{\ displaystyle U_ {0}, V_ {0}}
Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Deci, pentru toate , există o cvadruplă unică de polinoame, cum ar fi:
k∈NU{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
Z/p2kZ,(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
- pentruXk+1=Xk[p2k]{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cf84fa23d1d23372f5fb42eb1ae8cbc07c829e)
X∈{Gk,Hk,Uk,Vk}{\ displaystyle X \ in \ lbrace G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k} \ rbrace}
- sunt primele între ele, unitare, ale coeficienților Bézout înGk,Hk{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}}
Uk,Vk{\ displaystyle U_ {k}, V_ {k}}
Z/p2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
- P=GkHk{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}
Demonstrație
Să continuăm prin inducție pe .
k{\ displaystyle k}
Inițializarea este dată de ipoteză.
Pentru ereditate, presupunem existența unui anumit rang . Încercăm să construim .
(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
k⩾0{\ displaystyle k \ geqslant 0}
(Gk+1,Hk+1){\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}
Avem, prin ipoteză, că, prin urmare, există astfel încât .
P=GkHk [p2k]{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde7c628c3ae0aa82ad6cbae7bbf5353dace572)
Rk∈Z/p2kZ[X]{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}![{\ displaystyle R_ {k} \ in \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3349636b43f2aad976a8c3971260ae3827954ab)
P-GkHk=p2kRk [p2k+1]{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543b4b47f1369b8b6c8c484454234e22795f81d)
Apelăm apoi și resturile respective ale diviziunii euclidiene de par și par .
hk{\ displaystyle h_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
UkRk{\ displaystyle U_ {k} R_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
VkRk{\ displaystyle V_ {k} R_ {k}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}
Noi pozăm {Gk+1=Gk+p2kgkHk+1=Hk+p2khk{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} h_ {k} \\\ end {array}} \ right.}
Să verificăm dacă se potrivește:
Prin construcție, {Gk+1=Gk[p2k]Hk+1=Hk[p2k]{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {array}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b983be24a6e53ae8f96e7390a00bbf0dbb91ea)
Coeficienții dominanți ai și sunt cei ai și deoarece și rezultă dintr-o diviziune euclidiană. Deci și sunt unitare și verificăm printr-un calcul simplu că .
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}Hk{\ displaystyle H_ {k}}gk{\ displaystyle g_ {k}}hk{\ displaystyle h_ {k}}Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}P=Gk+1Hk+1 [p2k+1]{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d5ad36bfb9b3f8163bbf9936da18498fd85d7)
În cele din urmă, arătăm, arătând coeficienții Bézout, că și sunt coprimi.
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Noi pozăm {Uk+1=2Uk-Gk+1Uk2 mod Hk+1Vk+1=2Vk-Hk+1Vk2 mod Gk+1{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} U_ {k + 1} = & 2U_ {k} -G_ {k + 1} U_ {k} ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1} \\ V_ {k + 1} = & 2V_ {k} -H_ {k + 1} V_ {k} ^ {2} ~ mod ~ G_ {k + 1} \\\ end {array}} \ right .}
Avem: .
Uk+1Gk+1=1-(UkGk+1-1)2 mod Hk+1{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}
Și , ceea ce completează dovada.
(UkGk+1-1)2=(Ukp2kgk-HkVk)2 modHk+1=(Ukp2kgk-(Hk+1-pkhk)Vk)2 modHk+1=0{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}
Următorul algoritm face posibilă construirea polinoamelor și a lemei.
Gk,Hk,Uk,{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}, U_ {k},}
Vk{\ displaystyle V_ {k}}
Entrée : p un nombre premier, k un entier,
P,G,H,U,V{\displaystyle P,G,H,U,V}
des polynômes avec
P=GH [p]{\displaystyle P=GH~[p]}![{\displaystyle P=GH~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444bce91e86153b2f562db7735c64f585ca3cc0)
et
GU+HV=1 [p]{\displaystyle GU+HV=1~[p]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d8eb8462b685f9c919609b395f30fb08bacac)
Sortie :
G,H,U,V{\displaystyle G,H,U,V}
tels que
P=GH [p2k]{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b164bb35a11322eeb8afff355f575f5d70d9acce)
et
GU+HV=1 [p2k]{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612a2e376a23d0ad1399993e3ceb1cf3475d81d)
Pour i = 1 à k-1
R←P−GHpi{\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}}
G←H+pi{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}
*Div_Euclide
(UR,H){\displaystyle (UR,H)}
H←G+pi{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}
*Div_Euclide
(VR,G){\displaystyle (VR,G)}
U←{\displaystyle U\leftarrow }
Div_Euclide
(2U−U2G,H){\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}
V←{\displaystyle V\leftarrow }
Div_Euclide
(2V−V2H,G){\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}
retourne
(G,H,U,V){\displaystyle (G,H,U,V)}
Note și referințe
-
(în) Akhil Mathew, „ Finalizări ” în proiectul de cring .
-
(în) David Eisenbud , Algebra comutativă: cu o vedere către geometria algebrică , Springer al. „ GTM ” ( nr . 150)1995, 785 p. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , citit online ) , p. 189-190indică faptul că ipoteza „locală” nu este necesară (afirmația este atunci valabilă pentru orice M ideal al lui A ) și extinde dovada existenței (fără unicitate) la cazul în care A nu este comutativ, ci doar pentru o familie la cele mai de numărat .
-
Adică ale cărui produse două câte două sunt zero.
-
Abuaf Roland și Boyer Ivan, „ Factorizare înZ[X]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
![{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
”, discuție de masterat propusă de François Loeser ,20 iunie 2007( citește online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">