Rotație (fizică)

În cinematică , studiul corpurilor rotative este o ramură fundamentală a fizicii în stare solidă și în special a dinamicii , inclusiv dinamica fluidelor , care o completează pe cea a mișcării de translație . Analiza mișcării de rotație este extinsă chiar și la scări atomice, cu dinamica moleculară și studiul funcției undelor în mecanica cuantică .

În educație, studiul fizic al mișcării începe în general cu cazul „simplu” al mișcării unui punct material, un sistem fizic a cărui dimensiune „neglijabilă” (în raport cu problema studiată) face posibilă ignorarea efectului energetic și dinamic a rotației sale. Acesta este cazul, de exemplu, al studiului traiectoriei unei mingi de pétanque sau a pendulului lui Newton . În cazul general, la fel ca cel al mișcării unui giroscop sau a unui boomrang , efectul energiei de rotație asupra dinamicii sistemului nu mai poate fi neglijat.

Acest articol se limitează la o prezentare introductivă a abordării fizice a diferitelor probleme legate de rotația fizică a unui sistem, dezvoltarea acestor probleme rămânând la articole dedicate.

Abordare cosmologică

Cosmologie clasică

În gândul vechilor greci, mișcările planetelor (în sensul vechi, cuvântul planetă include Soarele și Luna, dar nu și Pământul) trebuie să fie perfecte, prin urmare numai mișcarea circulară era permisă, spre deosebire de unghiulară sau mișcări rectilinii.care erau considerați forțați.

Teoria epiciclurilor constă în mișcări de rotație: planetele se rotesc pe roți numite epicicluri; care se întorc ei înșiși pe o altă roată, numită deferenți, al cărei centru este Pământul. Rotația simultană a celor două a făcut posibilă obținerea unei mișcări complexe, eventual retrograde, și explicarea celei a planetelor și a Lunii, păstrând în mare măsură presupozițiile filosofice ale timpului: mișcările stelelor sunt circulare, centrate pe uscat și viteza uniforma.

Orbită circulară este doar o aproximare a mișcării Keplerian , care este mult mai bine descrisă de traiectorii eliptice - deși, după toate, Fourier serie de descompunere arată că din momentul în care mișcarea este considerată a fi periodică, poate fi descrisă ca superpoziției o serie (infinită) de mișcări circulare.

Cosmologia modernă

Pentru fizica modernă, rotația în spațiu rămâne un element determinant al principiilor principale care guvernează legile fizicii, dar mișcarea circulară uniformă nu mai are nicio preeminență specială.

În principalele principii ale simetriei fizicii care guvernează, cea a izotropia de spațiu , impune ca legile fizicii nu depind de locul de observare sau de orientarea observatorului. Un principiu mai puternic, principiul cosmologic , presupune chiar că universul în sine este izotrop la o scară suficient de mare, adică conținutul observabil nu depinde nici de poziția observatorului, nici de acesta .de direcția de observare.

Un spațiu omogen înseamnă în special că nu există o direcție absolută în spațiu și, prin urmare, că legile fizicii sunt invariante printr-o rotație în spațiu.

Această invarianță implică în special faptul că Lagrangianul unui sistem fizic este invariant în rotație. Teorema Noether lui , care prevede că „orice transformare infinitezimal frunze integrale de acțiune invariantă este o variabilă care păstrează“ , atunci este posibil pentru a arăta că o anumită cantitate fizică este conservator pentru un singur sistem: este la fel de bine ca și conservarea momentului cinetic poate să fie demonstrată din invarianța de rotație.

Când un sistem fizic izolat se rotește, îl face în mod continuu și impulsul său unghiular este invariant. Prin urmare, nu există periodicitate și nici o variație intrinsecă într-o astfel de mișcare, în raport cu impulsul său unghiular. Și, în special, o mișcare în rotație uniformă este în esență uniformă, „trecerea” ei pe o serie de rotații este un accident legat de locația pe care o faceți dintr-un sistem de coordonate galilean ; dar în mod intrinsec, faptul de a fi virat cu „un viraj” nu este mai relevant decât faptul de a fi virat cu „un radian ” sau „un grad ”: aceste repere sunt non-evenimente pentru mișcarea de rotație .

Rotație în jurul unei axe

Rotații și traduceri

În dinamica în stare solidă, primul studiu este cel al mecanicii punctelor , unde apar conceptele de viteză , forță , masă și accelerație asociată. În toate aceste modelări, se presupune că sistemul fizic studiat este de dimensiuni „neglijabile”, adică foarte exact, nu chiar că este punctual, ci mai exact, că variația rotației sale n 'nu intervine în descrierea sistemului. Studiul mișcării de rotație presupune dimpotrivă că sistemul fizic are o dimensiune notabilă și că evoluția rotației sale în spațiu este o bază importantă a descrierii.

Mișcarea de rotație al cărei studiu cel mai simplu este aceea a unei rotații în jurul unei axe fixe: este mișcarea unui jucător de discuri, a unui carusel de târg sau a unui ventilator cu lame.

Într-o astfel de mișcare, un punct al solidului, identificat în coordonate polare în raport cu axa de rotație printr-un unghi și distanța sa, vede unghiul variază în funcție de timp, fără ca distanța să fie modificată.

Există o asemănare între descrierea cinematică a mișcării liniare și cea a mișcării de rotație :

În cazul în care un punct material poate fi descris prin vectorul său de poziție , care are dimensiunea unei lungimi, un solid trebuie descris și prin orientarea sa în spațiu , care are natura unei deviații unghiulare (și s 'exprimată în mod normal în radiani ).
Viteza punctului este variația temporală a poziției sale; iar viteza sa unghiulară este, de asemenea, derivata orientării sale în raport cu timpul, exprimată în radiani pe secundă . Dacă această viteză este constantă, mișcarea este cea a unei mișcări circulare uniforme .
Așa cum o mișcare neuniformă se caracterizează prin accelerația sa , o mișcare circulară neuniformă suferă o accelerație unghiulară (în rad.s −2 ).

Cu toate acestea, simpla citire a unui unghi nu este suficientă pentru a caracteriza o rotație: este, de asemenea, necesar să se cunoască direcția axei de rotație pentru a putea raporta la o rotație definită diferența observată între două direcții tridimensionale. spațiu .

Cantitatea fizică și unitățile

Mărimea fizică care caracterizează un corp care se rotește este viteza de rotație . Fiind variația temporală a orientării, este exprimată ca o unitate unghiulară împărțită la o unitate de timp.

Unitatea sistemului internațional de unități este radianul pe secundă . Alte unități sunt utilizate în mod obișnuit, de exemplu, revoluția pe minut , gradul pe oră ...

Este important să rețineți că mișcarea circulară uniformă a unui corp solid este inerent uniformă și că faptul că unul dintre punctele sistemului fizic a trecut printr-o „singură rotație” nu are mai multă semnificație decât a spune că a călătorit „un grad "sau" un radian ". Prin urmare , deși este corect să spunem că poziția unui anumit punct variază periodic și că, prin urmare, această poziție poate avea o perioadă și o frecvență definite, mișcarea de rotație în sine nu este un fenomen periodic și nu are frecvență.

Diferența poate fi observată în unitatea asociată cu aceste mărimi diferite: frecvența este o mărime scalară măsurată în hertz . O rotație fizică este dimpotrivă o mărime vectorială (și mai exact un pseudovector , care va fi detaliat mai târziu), deoarece este legată de o anumită orientare în spațiu a axei sale de rotație; și este exprimat în radiani pe secundă. Este evident că există o corespondență între cele două: dacă o roată în rotație uniformă ω (în rad.s −1 ) este afectată de un dezechilibru , vibrația pe care o va provoca va avea într-adevăr o frecvență de 2πω (în hertz) , dar nu este aceeași mărime fizică , deoarece nu se poate confunda o rotație (orientată intrinsec) și o frecvență (scalar intrinsec fără orientare). De fapt, vedem uneori viteze de rotație măsurate în hertz : ar trebui înțeles, în acest caz, că unitatea implicată în măsurare este de fapt numărul de rotații pe secundă.

Există o a treia unitate, care este dimensiunea inversă a unui timp, este frecvența unghiulară , o noțiune pe care o întâlnește în special funcția de undă a fizicii cuantice , care nu este Vector (deci nu este o viteză de rotație ), ci nu este chiar o frecvență (este vorba despre un pseudoscalar , distinct de cele două precedente).

Rotația în spațiu

Axa de rotație a unui solid

Într-un corp solid în rotație, fiecare punct are propria sa viteză, care de la un punct la altul poate schimba direcția sau intensitatea: vitezele formează ceea ce se numește câmp vector . Cu toate acestea, corpul fiind „solid”, distribuția vitezelor nu poate fi arbitrară, ci trebuie să lase distanța dintre oricare două puncte ale acestui invariant solid.

Luați în considerare câmpul vectorilor vitezei punctelor unui solid la un moment dat. Dacă luăm în considerare două puncte A și B, segmentul [AB] păstrează aceeași lungime, adică: $\ scriptstyle {\ vec {vb}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left ({\ overrightarrow {AB}} \ right) ^ {2} = 0 & = 2. {\ overrightarrow {AB}}. {\ Mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ left ({\ overrightarrow {AB}} \ right) \\ & = 2. {\ Overrightarrow {AB}}. \ Left ( {\ overrightarrow {\ mathrm {d} B \ over \ mathrm {d} t}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {d} A \ over \ mathrm {d} t}} \ right) \\ & = 2. {\ overrightarrow {AB}}. \ left ({\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A} \ right) \ end {align}}}

Rezultă că pentru orice pereche AB de puncte ale solidului, proiecția asupra lui și a lui este identică, câmpul este ceea ce se numește un „ câmp echipojectiv ”: $\ scriptstyle \ overrightarrow {AB}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} (\ mathrm {A})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} (\ mathrm {B})}$

{\ displaystyle \ forall (A, B), \ qquad {\ vec {v}} _ {A} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = {\ vec {v}} _ {B} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}}}

Câmpul de viteză având proprietatea de a fi echipojectiv, acesta se numește torsor . Putem arăta că, în acest caz, câmpul de viteză este în întregime definit de două lucruri: valoarea sa într-un punct (pe care îl putem alege, de exemplu, ca centru de greutate al sistemului); și un vector pe care îl numim „rezultatul” torsorului , menționat aici . Cunoscând viteza la punctul A, cea a punctului B este apoi dată de: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B} = {\ vec {v}} _ {A} + {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {AB}}}

De asemenea, se arată că setul de puncte în care viteza astfel calculată este coliniară cu vectorul este o linie dreaptă, care este axa instantanee de rotație a sistemului (care, în general, poate varia în funcție de timp). Se poate demonstra, de asemenea, că, în cazul unui sistem izolat, această axă de rotație (care în general nu este fixă, în cazul mișcării la Poinsot ) trece prin centrul de greutate al sistemului de rotație. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$

Reprezentarea vectorială a unei rotații

Prin urmare, din punct de vedere fizic, baza simplă a unei viteze de rotație scalară nu ne permite să caracterizăm complet mișcarea de rotație a unui solid în trei dimensiuni , deoarece această mișcare este legată intrinsec de o direcționalitate, cea a axei de rotație. Asocierea unui scalar și a unei direcții corespunde noțiunii de vector , definiția completă a mișcării de rotație va avea astfel în mod natural un caracter vectorial.

Cu toate acestea, dacă direcția unei axe de rotație este de date fizice obiective, acea direcție nu este orientată și nu dictează direcția în care ar trebui numărată o rotație. În funcție de faptul dacă unul privește de-a lungul axei pe o parte sau pe cealaltă, aceeași rotație va apărea ca în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic, adică spuneți că valoarea rotației ar trebui să fie numărată pozitiv sau negativ.

Prin convenție, reprezentarea unei rotații va fi un vector purtat de axa de rotație, de standard egal cu viteza de rotație și a cărui direcție este dată de regula mâinii drepte : conform acestei convenții, dacă degetul mare marchează axa, indică în direcția unei rotații care merge în direcția înfășurării degetelor. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$

Se poate observa că, prin această convenție, vectorul de rotație al Pământului este îndreptat către polul nord . La fel, rotația Lunii în jurul Pământului, a Pământului în jurul Soarelui, precum și a tuturor planetelor și a majorității lunilor, este orientată spre nordul sferei cerești.

Caracterul pseudovectorial al rotației

După cum sa subliniat mai sus, o rotație este o mărime fizică care prezintă un caracter marcat de orientare, deoarece este în mod necesar asociată cu direcția unei axe de rotație . Fiind definită printr-o normă și o direcție, o rotație poate fi reprezentată printr-un vector. Dar nu este un vector adevărat, în sensul fizic al termenului, la fel ca o deplasare, o viteză sau un câmp electric, care sunt în întregime determinate de fizica sistemului.

Aici, axa de rotație dă o direcție, dar lasă nedeterminată direcția în care vectorul trebuie numărat. Această semnificație nu este dată de fizica sistemului, ci de o convenție: cea a regulii mâinii drepte , care guvernează direcția în care trebuie numărat un produs transversal sau o rotație. Din acest motiv spunem că rotația este un pseudovector , nu un adevărat vector.

Caracterul „nedeterminat fizic” al unui pseudovector se reflectă în ceea ce se întâmplă dacă sistemul fizic este înlocuit de imaginea sa în oglindă sau de simetria centrală. Regulile fizicii sunt în mod normal independente de alegerea unui cadru de referință pentru a le exprima și, prin urmare, pentru tot ceea ce este determinat fizic, ar trebui să existe aceeași expresie, indiferent dacă cadrul de referință ( i, j, k ) este direct , c 'adică corespunde ordinii degetelor mâinii drepte sau indirecte, adică imaginea în oglindă (sau printr-o simetrie centrală) a celei anterioare, care reflectă ordinea mâinii stângi.

Nu este cazul pentru direcția de rotație: dacă luăm imaginea într-o oglindă a unei bucle I care se rotește în direcția directă și vectorul care reprezintă această rotație, imaginea buclei se va roti în direcția inversă, iar vectorul reprezentarea acestei rotații trebuie, pe de o parte, să fie supusă simetriei fizice, dar și să schimbe semnul datorită convenției de orientare. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}}}$

Această convenție privind direcția de rotație este cea a direcției trigonometrice directe: în cazul în care spațiul este identificat printr - o referință directă , o rotație în planul care aduce vectorul la o așa-numită „directă“ de rotație, iar vectorul său reprezentativ este în direcția vectorului . Este, de asemenea, aceeași convenție care dă direcția unui produs încrucișat : dacă marca de referință este directă, astfel reprezentată în această ordine de mâna dreaptă, produsul încrucișat este reprezentat în aceeași direcție ca vectorul . ${\ displaystyle \ scriptstyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {i}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {j}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {i}} \ wedge {\ vec {j}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {k}}}$

Notă : este uneori obișnuit să se noteze pseudovectori printr-o săgeată curbată și nu printr-o săgeată vectorială pentru a-i distinge de vectorii adevărați și pentru a reaminti legătura lor cu convenția asupra direcției de rotație . Cu toate acestea, această utilizare nu pare să fie niciodată urmată pentru mișcările de rotație, indiferent dacă acestea sunt viteza de rotație, derivata sa accelerația unghiulară sau integrala sa deviația unghiulară, a cărei legătură cu direcția de rotație este suficient de evidentă.

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {P}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {P}}}

Rotirea unui solid

Mișcarea de rotație

Așa cum setarea în mișcare rectilinie a unui solid presupune existența unei Forțe , o setare în rotație presupune existența unui cuplu care produce un moment diferit de zero. Așa cum se arată în teorema momentului unghiular , derivata în timp a momentului unghiular în raport cu un punct O (cel mai adesea luat ca centrul de greutate al sistemului) este apoi egală cu momentul general , în raport cu același punct, al forțele aplicate: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}}}$

{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ overset {\ hookrightarrow} {L}} _ {\ mathrm {O}}) = {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {O}}}

În câmpul de rotație, această relație este analogul acelei ziceri că, pentru mișcarea punctului material, derivata în timp a impulsului este egală cu suma forțelor aplicate sistemului.

Momentul unghiular al unui solid ideal este conectat la vectorul său de rotație prin tensorul său de inerție (sau momentul de inerție ) , prin relația matricială: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {=} {I}}}$

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {L}} _ {\ mathrm {O}} = {\ overset {=} {I}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}

Aici, momentul de inerție joacă în mișcarea de rotație același rol ca masa în mișcarea punctului material. Reprezintă inerția care trebuie depășită pentru a pune sistemul în mișcare de rotație, adică pentru a-l face să sufere o accelerație unghiulară:

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {O}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ overset {\ hookrightarrow} {L}} _ {\ mathrm {O}}) = {\ overset {=} {I}} \ cdot {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ vec {\ omega}} )}}

Tensorul inerție este o caracteristică specifică a solid (S), și dă distribuția maselor în interiorul acesteia. Este vorba despre un tensor simetric. Datorită caracterului său simetric, este întotdeauna posibil să diagonalizăm acest tensor printr-o alegere judicioasă a axelor, care sunt numite apoi axe principale de inerție. Cu toate acestea, este vorba despre un tensor , ceea ce înseamnă că, în cazul general, vectorul instantaneu de rotație nu este coliniar cu impulsul unghiular. Este o proprietate a mișcării à la Poinsot care apare clar în efectul Djanibekov și care poate fi reprodusă acasă prin rotirea unui pachet de cărți de joc (ale cărui trei momente de inerție sunt diferite) în jurul axei intermediare de inerție. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ omega}}}$

Balansare

În cazul în care o axă de rotație este impusă unui solid , ceea ce este de obicei cazul unei roți de mașină, echilibrarea este necesară pentru a împiedica mișcarea de rotație a acestui solid să impună forțe anormale asupra rulmenților care îi ghidează mișcarea de rotație și ax de rotație pe acesta . Această echilibrare este una dintre preocupările teoriei mașinilor rotative .

O primă echilibrare este destul de evidentă, „echilibrarea statică”, care constă în alinierea centrului de greutate al sistemului mobil pe axa de rotație . Dacă într-adevăr această aliniere nu este realizată, rotația sistemului fizic impusă în jurul unei axe care nu conține centrul său de greutate va provoca un dezechilibru . Fizic, menținerea mecanică a axei de rotație pe o axă care nu conține centrul de greutate al solidului rotativ necesită o forță compensatoare care impune rotația acestui centru în jurul axei, ceea ce determină, prin urmare, o forță periodică asupra rulmenților, rezultând în special într-o vibrație indusă de mecanismul rotativ. Această echilibrare nu este întotdeauna posibilă dacă viteza de rotație trebuie să fie foarte mare: la o mie de rotații pe secundă, o diferență de 25 µm între centrul de greutate și axa de rotație creează o forță centrifugă rotativă de zece ori greutatea. rotorul.

După readucerea centrului de greutate în ax, a doua echilibrare este mai subtilă și implică teorema momentului unghiular . Când roata se rotește, are un anumit moment unghiular , care este dedus din viteza de rotație a acesteia de momentul de inerție al sistemului fizic rotativ. Dar roata nu este întotdeauna perfect simetrică în raport cu axa sa, iar momentul de inerție al sistemului de rotație este, în general, un tensor de inerție , ceea ce implică faptul că, în cazul general, vectorul moment unghiular n ' nu este coliniar cu viteza de rotație a vectorului , adică nu se află pe axa de rotație.

Momentul de inerție depinde de distribuția maselor în sistemul rotativ și, prin urmare, este legat de acest sistem. Când roata se va roti pe o axă fixă, impulsul unghiular decalat se va roti odată cu sistemul. Când teorema momentului unghiular indică faptul că derivata în timp a momentului unghiular este egală cu momentul forțelor aplicate, trebuie apoi să luăm această teoremă în cealaltă direcție și să spunem că, din moment ce momentul unghiular se rotește, este doar un moment aplicat sistemului, care compensează faptul că axa de rotație a fost impusă de rulmenți. Acest moment, care este deci proporțional cu viteza de rotație, corespunde forțelor compensatorii la care axa de rotație supune rulmenții.

Viteza critică

Rotația pieselor mecanice poate implica, de asemenea, părți alungite, cum ar fi arbori sau cum ar fi ultracentrifugele utilizate pentru îmbogățirea izotopilor . În acest caz, rotorul cuplat la rulmenții săi de fixare are moduri specifice de îndoire a căror frecvență poate fi mică, de ordinul mărimii vitezei de rotație exprimată în rotații pe secundă.

Rotorul are întotdeauna un anumit dezechilibru rezidual, care determină o forță periodică a rulmenților în timpul rotației sale, frecvența F a acestei excitații fiind dedusă direct din viteza de rotație ω. Pentru anumite viteze de rotație, această frecvență poate coincide cu cea a modurilor curate ale rotorului. Dacă amortizarea unor astfel de moduri este insuficientă, rotorul poate intra în rezonanță , ceea ce poate duce la o deformare a amplitudinii mari și, prin urmare, la forțe mecanice anormale pe arbore și la rulmenți care pot duce la distrugerea lor.

Această problemă de rezonanță poate impune o limită de viteză la rotația arborelui. În unele cazuri, totuși, ca și în cazul turbo-generatoarelor de mare viteză, este necesar să se ruleze arborele dincolo de prima sa viteză critică, care necesită traversarea acestei viteze critice suficient de rapidă, astfel încât amplitudinea rezonanței să rămână limitată.

Dinamica de rotație

Volant

Mișcarea de rotație a unui solid este mișcare și, prin urmare, implică energie cinetică . În cazul unei mișcări de translație , energia cinetică a unui punct de masă m este dată de formulă . În cazul unei rotații a unui solid în jurul unei axe fixe, este posibil să se arate că energia cinetică totală vine sub formă , unde termenul este momentul de inerție față de axa de rotație. Momentul de inerție cu privire la o axă de rotație a unui sistem solid de puncte materiale este prin definiție suma maselor înmulțite cu pătratul distanței de la axă: ${\ displaystyle \ scriptstyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ Delta}. \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle I _ {\ Delta}}$

{\ displaystyle I _ {\ Delta} = \ sum _ {i} m_ {i} .r_ {i} ^ {2}}

Pentru o greutate egală și pentru o dimensiune dată, momentul de inerție este, prin urmare, maxim atunci când practic toată masa este concentrată la o distanță maximă de axă, care este de obicei realizată de un tor . Funcționarea mecanică reală necesită ca acest tor să fie conectat la o axă de rotație, prin spițe sau printr-un disc subțire. Aceasta este forma tipică pe care o ia masa unui volant sau a unui giroscop .

Un volant este un dispozitiv mecanic pentru stocarea energiei cinetice sub formă de energie de rotație. Un volant tipic de aproximativ douăzeci de kilograme și un metru în rază va avea un moment de inerție de ordinul a 20 kg m 2 , iar rotația sa la o viteză relativ mică de o rotație pe secundă corespunde unei energii de ordinul a 60 kJ , adică energia necesară pentru a ridica aceeași masă la o înălțime de trei metri. Și dacă înmulțim această viteză cu zece, energia stocată este apoi înmulțită cu o sută.

Această energie poate fi restabilită dacă sarcina o necesită sau dacă este necesar să preluați un cuplu neregulat al motorului. Variația vitezei de rotație corespunzătoare furnizării unei energii date este cu atât mai mică cu cât viteza de rotație este mare. Într-adevăr :

{\ displaystyle \ mathrm {d} E_ {k} = I _ {\ Delta}. \ omega. \ mathrm {d} \ omega \ qquad}

Așadar

{\ displaystyle \ quad {\ mathrm {d} \ omega \ over \ mathrm {d} E_ {k}} = (I _ {\ Delta}. \ omega) ^ {- 1}}

Efectul unei volante este, prin urmare, de a netezi funcționarea atunci când motorul sau sarcina prezintă nereguli mari. Prin urmare, rotația va fi cu atât mai stabilă cu cât este mai mare impulsul unghiular al sistemului. O volantă este însă limitată în ceea ce privește viteza de rotație de rezistența materialului din care este fabricat: viteza excesivă poate duce la explozia sa și la proiecția unor fragmente deosebit de mortale. ${\ displaystyle \ scriptstyle I _ {\ Delta}. \ omega}$

Efecte giroscopice

Stabilizare giroscopică

Așa cum s-a indicat mai sus, variația temporală a impulsului unghiular este egală cu momentul general al forțelor aplicate sistemului rotativ. Când acest moment aplicat este ortogonal cu impulsul unghiular, care este de obicei cazul forței transmise de o axă pe volan, nu are niciun efect asupra normei impulsului unghiular, ci doar asupra direcției sale. Un calcul rapid arată că impulsul unghiular L se rotește apoi în direcția momentului M într-o mișcare numită precesie , la o viteză de rotație Ω dată de:

{\ displaystyle \ Omega = {M \ peste L}}

Dar, după cum arată exemplul volantului, un impuls unghiular poate lua valori mari dacă viteza de rotație a sistemului fizic este mare. În acest caz, cu cât este mai mare impulsul unghiular, cu atât va fi mai stabil în ceea ce privește micile fluctuații ale forțelor din afara sistemului.

În esență, acest efect stabilizează un cerc în raport cu neregulile din șosea, cu atât este mai bine cu cât rulează mai repede. Acesta este, de asemenea, efectul folosit pentru a stabiliza atitudinea unui sistem fizic cu un giroscop.

Precesie giroscopică

Dincolo de stabilizarea în direcție, cel mai dramatic efect al unei rotații rapide a unui volan este cel al precesiei unui giroscop .

Un giroscop cu rotație rapidă are un moment unghiular mare și este direcționat de-a lungul axei sale. Când este plasat într- un consolă , greutatea sa combinată cu reacția suportului formează un cuplu (fizic) , al cărui moment este întotdeauna orizontal și perpendicular pe axă. Cinetic Teorema impulsului spune că derivata momentului unghiular este egal cu cuplul: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {L}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}}}$

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathcal {M}}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ overset {\ hookrightarrow} {L}})}

Aici, efectul cuplului este pur și simplu de a roti impulsul unghiular de-a lungul unei axe de precesiune verticală, adică fără a varia unghiul pe care îl face axa de rotație a giroscopului față de orizontală - ceea ce este evident paradoxal.

Precesiunea echinocțiilor

Același efect de precesie giroscopic explică precesiunea echinocțiilor, ceea ce determină rotirea axei de rotație a pământului în jurul axei orbitei terestre, dar forțele implicate sunt mult mai puțin vizibile.

În primul rând, atunci când Pământul orbitează Soarele, acesta este supus forțelor de maree . Într-un cadru de referință legat de centrul pământului, de fapt, atracția solară (în 1 / d 2 ) este echilibrată de forța centrifugă (în ωd 2 ), dar echilibrul este exact doar pe orbita terestră. Punctele mai apropiate de Soare au un exces de atracție, care tinde să le apropie și mai mult, iar punctele mai îndepărtate au dimpotrivă o atracție deficitară care tinde să le îndepărteze. Prin urmare, la nivel global, un corp pe orbită în jurul Soarelui este supus unui sistem de forțe care tinde să-l întindă spre el.

Apoi, Pământul fiind în rotație pe sine, un punct situat pe ecuatorul său suferă o forță centrifugă care tinde să se îndepărteze de centrul Pământului, în timp ce o astfel de forță este absentă la pol. Prin urmare, suprafața echipotențială a pământului nu este sferică, dar tinde să fie (foarte ușor) turtită și are o margine ecuatorială .

În cele din urmă, axa de rotație a Pământului nu este perpendiculară pe orbita sa (planul eclipticii , dar are un decalaj de 23,45 °. Prin urmare, atunci când Pământul este înclinat față de Soare, cordonul ecuatorial este supus deasupra sistemului de forțe, care provoacă un moment paralel cu orbita Pământului.

Ca medie anuală, acest moment este perpendicular pe impulsul unghiular terestru și, prin urmare, îi impune o rotație (foarte lentă). Axa de rotație terestră se rotește deci încet, ceea ce are ca efect deplasarea direcției polului ceresc și a ecuatorului terestru (care este perpendicular pe acesta) față de planul eclipticii și, prin urmare, variația lentă a direcției punctul vernal , a cărui traversare de către Soare marchează echinocțiul: acest fenomen este numit precesiunea echinocțiilor .

Efecte de frecare

Top rotativ

Vârful rotativ este o jucărie pentru copii, care în mișcarea sa de rotație prezintă un comportament puțin mai complex decât giroscopul și precesiunea sa „simplă”. Cel mai simplu router are un fus care îl permite să se învârtă rapid cu o apăsare a degetelor. Formulele mai complexe includ un șir de lansare, care permite viteze mai mari și, prin urmare, comportamente prelungite mai interesante.

La lansare, vârful rotativ nu este niciodată exact vertical și apoi prezintă o mișcare de precesiune identică cu cea a giroscopului. Cu toate acestea, „vârful” pe care se sprijină filatorul nu este perfect ascuțit, ci este mai degrabă ca o sferă mică, al cărui centru este situat lângă vârf. Prin urmare, dacă routerul este înclinat, punctul său de contact cu solul nu este situat pe axa de rotație. Acest decalaj face ca punctul de contact să alunece și să provoace o forță de frecare orizontală, perpendiculară pe planul de înclinare al routerului.

Momentul acestei forțe în raport cu centrul de greutate al routerului este apoi perpendicular pe axa de rotație a acestuia, iar o analiză atentă a direcției respective a momentelor acestei forțe în raport cu momentul de inerție al routerului arată că forța este direcționată astfel încât să îndrepte axa de rotație spre direcția verticală. Sistemul fizic se îndreaptă apoi pentru a se roti vertical pe vârful său.

Odată îndreptat, rotația verticală a tijei prezintă un alt comportament interesant, atunci când tija sa este adusă în contact cu un ghid, de exemplu o riglă de lemn. Efectul contactului asupra dinamicii vârfului rotativ este complex și poate fi descompus după cum urmează:

Forța aplicată de regulă pe tijă este o forță care tinde a priori să o îndepărteze, dar momentul acestei forțe tinde, de asemenea, să o facă să încline vârful înainte.
Înclinarea ușoară a vârfului provoacă un efect de precesiune, care tinde să readucă tija înapoi pe regulă.
Placarea pe regula tijei rotative provoacă o forță de frecare direcționată spre față. Forța de frecare face ca routerul să avanseze, iar momentul său tinde, de asemenea, să tragă tija înapoi pe riglă.

Efectul general este că vârful rotativ pare atras de riglă și, treptat, îl înconjoară pe măsură ce se rostogolește peste el.

Girocompasă

Efectul de frecare poate fi folosit și pentru reorientarea unei girocompase pe axa de rotație a Pământului. Un girocompas este mai presus de toate un giroscop a cărui mișcare este menținută de un motor electric. Dacă un astfel de giroscop este montat pe un cardan bine unsat , care se rotește liber și interzice impunerea în orice moment a giroscopului , impulsul unghiular al rotorului va rămâne constant inclusiv în orientarea sa în spațiu. Ca urmare, va rămâne îndreptat în aceeași direcție față de stele și nu va fi condus de rotația Pământului.

Dacă, dimpotrivă, articulațiile suspensiei provoacă frecare, efectul acestei fricțiuni va fi un cuplu care tinde să se opună rotației terestre, deci orientat în aceeași direcție ca rotația terestră. Prin urmare, acest cuplu va tinde să îndrepte giroscopul pentru a-l alinia treptat cu nordul geografic.

Dacă girocompasul este suspendat astfel încât axa sa să fie orizontală, numai componenta orizontală perpendiculară pe axa momentului opus rotației terestre poate avea un efect, care este de a roti această axă orizontal până când componenta în cauză este zero. Prin urmare, această suspendare necesită giroscopul pentru a-și orienta axa spre nordul geografic.

Marcaj rotativ

Forta centripeta

Atunci când un sistem fizic este supus unei rotații globale, cum ar fi un teren de târg sau chiar suprafața Pământului, poate fi de dorit să-i identificăm componentele printr-un sistem de coordonate atașat sistemului însuși. Un punct P identificat în coordonate cilindrice prin înălțimea și raza sa în plan perpendicular pe axă (comparabil cu planul complex ) va avea atunci în realitate coordonate, în raport cu un cadru de referință galilean : $\ scriptstyle {\ vec {h}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}} = {\ vec {h}} + e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}}}

Dacă acest punct este staționar comparativ cu referința rotativă și va fi constant, iar viteza și accelerația acestui punct vor fi date de: $\ scriptstyle {\ vec {h}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ overrightarrow {OP}}) = (i \ omega) e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}} \ qquad}

și

{\ displaystyle \ quad {\ vec {\ gamma}} = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} ({\ vec {v}}) = - \ omega ^ {2} e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}}}

Aflăm aici faptul că un punct în mișcare circulară uniformă la o distanță r de centrul său de rotație este supus unei accelerații centripete , îndreptată spre acest centru de rotație și intensitate . Dacă acest punct material este afectat de o masă , faptul că rămâne staționar față de sistemul rotativ implică faptul că este supus într-un fel sau altul la o forță centripetă care îl menține în loc față de acest punct de reper. Această forță poate avea oricare dintre originile care pot fi întâlnite în mecanica statică : tensiunea unui cablu sau a unui arc, forța exercitată de presiunea unui suport, forța arhimedeană, atracția gravitațională etc. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega ^ {2} r}$

Forța centrifugă

Pentru un observator legat de cadrul de referință, acest punct care, prin urmare, pare imobil apare ca supus unei forțe fizice reale și, în același timp, apare nemișcat în cadrul de referință. Dacă se consideră că imobilitatea în mecanica statică traduce echilibrul forțelor prezente, este de aceea necesar să adăugăm la aceste forțe fizice reale o forță centrifugă care aduce echilibrul forțelor la zero.

Cu alte cuvinte, într-o referință în rotație, vor exista două maniere de abordare a unei probleme de statică (comparativ cu marca de referință):

Suma forțelor prezente trebuie să fie egală cu forța centripetă necesară în acest loc în punctul material considerat.
Suma forțelor prezente plus o forță centrifugă aplicabilă punctului material din acest loc este egală cu zero.

Aceste două descrieri sunt echivalente matematic pentru studiul unei probleme „statice”, știind că forța centripetă și forța centrifugă sunt opuse una față de cealaltă.

Cu toate acestea, forțele fizice prezente în balanță sunt adesea forțe de reacție, în principal datorate inerției . Din punct de vedere al cauzalității , este mai natural să vorbim despre o forță de inerție cauzată de rotația sistemului și care provoacă o reacție a suportului, decât să prezentăm reacția suportului ca o forță „necesară pentru” face să transforme punctul cu cadrul său de referință, care ar putea fi înțeles ca teleologie .

Într-o filată pentru salată (sau într-un extractor de miere), rotația manivelei, de ordinul unei rotații pe secundă, este redusă de șase sau șapte ori de un angrenaj, rezultând o viteză de rotație de ordinul a 40 rad s −1 și o accelerație centrifugă de 80 m s −2 la zece centimetri de axă, adică de opt ori accelerația gravitației g . Forța centrifugă care variază pe măsură ce pătratul vitezei de rotație poate lua valori foarte mari pentru viteze de rotație ridicate. Într-o ultracentrifugă care se rotește la 15.000 rpm −1 , accelerația centrifugă la zece centimetri de ax este de ordinul a 25.000 g ...

Forța Coriolis

Într-un sistem fizic complex în rotație uniformă, un punct P identificat în coordonate cilindrice prin înălțimea și raza sa în plan perpendicular pe axă (comparabil cu planul complex ) va avea, așadar, ca coordonate, în raport cu un cadru de referință galilean. : $\ scriptstyle {\ vec {h}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}} = {\ vec {h}} _ {(t)} + e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}} _ {(t)}}

Dacă acest punct se mișcă față de referința rotativă și nu mai este constant, iar viteza și accelerația acestui punct vor fi date de: $\ scriptstyle {\ vec {h}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle {\ vec {v}} = \ left ({\ mathrm {d} {\ vec {h}} \ over \ mathrm {d} t} + e ^ {i \ omega t}. {\ mathrm { d} {\ vec {r}} \ over \ mathrm {d} t} \ right) + (i \ omega) e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}} \ qquad}

și

{\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} = \ left ({\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {h}} \ over \ mathrm {d} t ^ {2}} + e ^ {i \ omega t}. {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {r}} \ over \ mathrm {d} t ^ {2}} \ right) +2 (i \ omega) e ^ {i \ omega t}. {\ mathrm {d} {\ vec {r}} \ over \ mathrm {d} t} - \ omega ^ {2} e ^ {i \ omega t}. {\ vec {r}}}

Dacă ne plasăm în referința rotativă pentru a descrie mișcarea acestui punct material, îl vom vedea, prin urmare, aparent supus accelerației „reale” reprezentată de suma forțelor fizice prezente (primul termen între paranteze), precedentului forță centrifugă (ultimul termen) și la o forță complementară. Această forță complementară este, pe de o parte, perpendiculară și proporțională cu componenta vitezei perpendiculare pe axă și, pe de altă parte, perpendiculară și proporțională cu vectorul de rotație. Prin urmare, această forță este reprezentată de produsul transversal al vitezei punctului și de vectorul de rotație:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} _ {C} = - 2m {\ vec {\ omega}} \ wedge {\ vec {v}}}

Luarea în considerare a acestei forțe Coriolis este importantă pentru studiul traiectoriilor în cadrul de referință terestru, deoarece pământul are o viteză redusă de rotație (0,729 µrad s −1 ), dar nu este neglijabilă pentru viteze mari sau pe durate lungi. Deci, atunci când o depresiune aspiră vânturile spre centrul său, traiectoria este deviată spre dreapta, iar sistemul ciclonic devine în principal o rotație.

Rotație într-un fluid

Pentru un solid care se rotește la viteza ω în jurul axei O z , câmpul de viteză este scris:

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ vec {r}} = {\ vec {\ omega}} \ wedge {\ vec {r}} = {\ begin {pmatrix} - \ omega .y \\ \ omega .x \\ 0 \ end {pmatrix}}}

De rotație a unui astfel de câmp este scris atunci:

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} {\ partial v_ {z} / \ partial y} - {\ partial v_ {y} / \ partial z} \\ {\ partial v_ {x} / \ partial z} - {\ partial v_ {z} / \ partial x} \\ {\ partial v_ {y} / \ partial x} - {\ partial v_ {x } / \ partial y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\\ omega - (- \ omega) \ end {pmatrix}} = 2 {\ vec {\ omega}}}

Prin urmare, vedem că pentru un solid rotativ, câmpul de viteză are o rotație constantă și egal cu dublul vectorului vitezei de rotație.

Pentru orice câmp de viteză care este o funcție a punctului , variația vitezei în spațiul din jurul acestui punct este descrisă ca: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} _ {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {v}} = {\ partial {\ vec {v}} \ over \ partial x} \ mathrm {d} x + {\ partial {\ vec {v}} \ over \ partial y} \ mathrm {d} y + {\ partial {\ vec {v}} \ over \ partial z} \ mathrm {d} z}

Sau, prin proiectarea pe axe și sub formă de matrice:

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} v_ {x} \\\ mathrm {d} v_ {y} \\\ mathrm {d} v_ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ partial v_ {x} \ over \ partial x} & {\ partial v_ {x} \ over \ partial y} & {\ partial v_ {x } \ over \ partial z} \\ {\ partial v_ {y} \ over \ partial x} și {\ partial v_ {y} \ over \ partial y} și {\ partial v_ {y} \ over \ partial z} \\ {\ partial v_ {z} \ over \ partial x} și {\ partial v_ {z} \ over \ partial y} și {\ partial v_ {z} \ over \ partial z} \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} z \ end {pmatrix}} \ quad {\ stackrel {def} {=}} \ quad (D) (\ mathrm {d} {\ vec {r}})}

Matricea (D) a derivatelor parțiale ale componentelor vitezei poate lua clasic forma sumei unei matrici antisimetrice (A) și a unei matrici simetrice (S) , definite ca o funcție a (D) și a transpunerii sale (D ) * :

{\ displaystyle (D) = (A) + (S) \ qquad}

cu și

{\ displaystyle \ quad (A) = {\ frac {1} {2}} \ left [(D) - (D) ^ {*} \ right] \ qquad}

{\ displaystyle \ quad (S) = {\ frac {1} {2}} \ left [(D) + (D) ^ {*} \ right]}

Produsul acestei matrice antisimetrice poate fi sub forma unui produs încrucișat: ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ mathrm {d} {\ vec {r}})}$

{\ displaystyle (A) (\ mathrm {d} {\ vec {r}}) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 și {\ partial v_ {x} \ over \ partial y} - {\ partial v_ {y} \ over \ partial x} & {\ partial v_ {x} \ over \ partial z} - {\ partial v_ {z} \ over \ partial x} \\ {\ partial v_ {y} \ over \ partial x} - {\ partial v_ {x} \ over \ partial y} & 0 & {\ partial v_ {y} \ over \ partial z} - {\ partial v_ {z} \ over \ partial y} \\ {\ partial v_ {z} \ over \ partial x} - {\ partial v_ {x} \ over \ partial z} & {\ partial v_ {z} \ over \ partial y} - {\ partial v_ {y} \ over \ partial z} & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} z \ end {pmatrix }} \ quad {\ stackrel {def} {=}} \ quad {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} {\ partial v_ {z} \ over \ partial y} - {\ partial v_ {y} \ over \ partial z} \\ {\ partial v_ {x} \ over \ partial z} - {\ partial v_ {z} \ over \ partial x} \\ {\ partial v_ {y} \ over \ partial x} - {\ partial v_ {x} \ over \ partial y} \ end {pmatrix}} \ wedge {\ begin {pmatrix} \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} y \\\ mathrm { d} z \ end {pmatrix}}}

Și astfel, prin definiția rotației:

{\ displaystyle (A) (\ mathrm {d} {\ vec {r}}) \ quad {\ stackrel {def} {=}} \ quad ({\ frac {1} {2}} {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {v}}) \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {r}} \ quad {\ stackrel {def} {=}} \ quad ({\ vec {\ Omega}} _ {\ vec {r}}) \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {r}}}

Vedem că în mecanica fluidelor , rotația câmpului este interpretată ca un vector de rotație, dar a cărui valoare depinde de punctul luat în considerare: este rotația elementară în acest punct, un câmp de rotație. De fapt, tocmai această proprietate îi dă numele rotației . La rândul său, matricea simetrică este interpretată fizic ca fiind modul în care un element de volum suferă o expansiune în timpul transportului materializat de câmpul de viteze, de unde și numele său de divergență .

Configurarea unei rotații

General

Vezi: Reprezentarea vectorială a unei rotații (ro)

Pentru a caracteriza mișcarea unui solid rotativ, avem în general nevoie de trei numere independente. Acesta este modul în care o rotație poate fi reprezentată printr-un vector , viteza de rotație fiind apoi norma vectorului , iar direcția axei de rotație fiind cea a vectorului unitar . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega = || {\ vec {\ omega}} ||}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {u}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}$

Aceeași reprezentare poate fi utilizată pentru a descrie accelerația unghiulară , care este pur și simplu derivata vectorului anterior, precum și pentru a reprezenta unghiul de rotație prin care s-a rotit sistemul, care este dimpotrivă integralul său.

Putem observa în acest sens că unghiul cu care s-a rotit un sistem fizic, în raport cu o poziție de referință inițială, este cunoscut doar de un număr întreg de rotații dacă nu avem acces la istoricul de rotație. Prin urmare, nu este posibil să se definească deviația unghiulară prin diferența dintre poziția finală și poziția inițială, spre deosebire de cazul translației, unde vectorul de deplasare poate fi definit în acest fel.

Această diferență arată clar că analogia dintre rotație și translație este relativ formală și nu se găsește la nivelul mărimilor fizice: în cazul mișcării de translație, elementul fundamental este deplasarea și din aceasta se deduce viteza; în cazul mișcării de rotație, elementul central este dimpotrivă viteza de rotație, iar deviația unghiulară este complet definită numai prin integrala acestei mărimi.

Unghiurile lui Euler

Cele Unghiurile Euler furnizează o metodă alternativă pentru a reprezenta o poziție puternică în raport cu un depozit inițial, care este deosebit de bine adaptate pentru studiul mișcării unui giroscop.

Comparativ cu un cadru de referință inițial definit de cele trei axe (x, y, z) , unghiurile Euler constau în supunerea cadrului de referință la trei rotații succesive:

O primă rotație, precesiunea , întoarce cadrul în jurul axei verticale z cu un unghi α, care aduce axa x într-o nouă direcție N (și mișcă axa y).
O a doua rotație, nutare , întoarce referința în jurul acestei direcții N , pentru a coborî axa de rotație z cu un unghi β, aducându-l în noua sa poziție Z (și mutând din nou axa y).
În cele din urmă, a treia rotație, rotația corectă, corespunde mișcării de rotație a solidului, a cărei axă de rotație instantanee a fost aliniată pe Z. Această rotație cu un unghi γ aduce axa N în noua sa poziție X (și mișcă y din nou ax).

Vedem că primele două rotații (precesiune și nutare) descriu orientarea axei de rotație a sistemului, în timp ce al treilea unghi descrie rotația propriu-zisă. Pe de altă parte, vedem că aceste unghiuri descriu bine mișcarea giroscopului: precesiunea are ca rezultat o viteză constantă a precesiunii, iar micile oscilații ale axei în raport cu această mișcare medie sunt reflectate pur și simplu prin abateri periodice care formează o mișcare circulară între precesiune și nutare.

Spre deosebire de reprezentarea anterioară, unde vectorul ar putea reprezenta o viteză unghiulară, cele trei numere Euler sunt unghiuri; viteza de rotație fiind derivata celui de-al treilea unghi față de timp.

Cuaternionii

În cazul simplu al unei rotații în plan în jurul originii, este posibil să se reprezinte un punct P al planului de coordonate ( a, b ) printr-un număr complex z P = a + ib și o rotație a unghiului α cu un numărul complex z al normei unității:

{\ displaystyle z _ {\ alpha} = \ cos (\ alpha) + i. \ sin (\ alpha) = e ^ {i \ alpha}}

Rotația punctului P este apoi reprezentată pur și simplu prin înmulțirea complexului z P reprezentând punctul prin complexul z α reprezentând rotația.

De cuaternionii sunt o extensie a numerelor complexe, în cazul în care în loc de o singură unitate de imaginar i este definit trei unități (i, j, k) , cum ar fi:

i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1

Cuaternionii formează deci numere complexe a căror parte imaginară este de dimensiunea trei. Aceste cuaterniuni se adaugă și se înmulțesc ca alte numere (asociativitatea înmulțirii și adunării, distributivitatea înmulțirii peste adunare etc.), având grijă totuși că înmulțirea nu este în general comutativă: este anticomutativă dacă rezultatul este imaginar ( ij = -ji ), și comutativ pentru un factor real. Mai mult, aceste trei unități definesc cu axa reală un spațiu cu patru dimensiuni.

Cuaternionii vă permit să codificați pur și simplu rotațiile și să combinați efectele lor. O rotație este în general definită de unghiul său θ și direcția sa definită de un vector unitar de coordonate (x, y, z) . Această rotație poate fi apoi reprezentată printr-un cuaternion care generalizează formula lui Euler : $\ scriptstyle {\ vec u}$

{\ displaystyle {\ vec {q}} = e ^ {{\ frac {\ theta} {2}} (x.i + y.j + zk)} = \ cos {\ frac {\ theta} {2}} + (xi + yj + zk) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

Cu această reprezentare, arătăm apoi că, dacă codificăm un vector de coordonate (a, b, c) de cuaternion fără parte real ai + bj + ck , cuaternionul reprezentând imaginea unui vector printr-o rotație d 'unghi θ și direcția este dată de: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {P}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {P}} '}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {P}}}$ $\ scriptstyle {\ vec u}$

{\ displaystyle P '= {\ vec {q}}. P. {\ vec {q}} ^ {- 1}}

Datorită acestei identități, operațiile pe combinațiile de rotații pot avea ca rezultat operații algebrice echivalente pe cuaternion, compusul a două rotații fiind produsul cuaternionilor asociați.

Note și referințe

Note

Originea acestui moment dinamic poate fi vizualizată după cum urmează. Dacă pe o axă de rotație orizontală altfel simetrică, sunt plasate două greutăți, una în partea de sus spre capul axei și cealaltă în partea de jos, simetric față de centrul de greutate al axei, echilibrarea statică a sistemului va fi menținut. Cu toate acestea, atunci când acest sistem este pus în rotație, fiecare greutate va suferi propria sa forță inerțială, de ambele părți ale centrului de greutate, întregul creând un cuplu perpendicular pe axa de rotație.
Același fenomen apare atunci când învârtiți un ou fiert: rotația de pe „vârf” este stabilă, iar poziția stabilă în repaus devine instabilă în rotație rapidă. Dacă, dimpotrivă, vârful este format dintr-o sferă al cărui centru este mai mare decât centrul de greutate, adică este stabil în repaus, efectul de îndreptare este inversat: acesta este modul de funcționare al "vârfului reversibil".
Putem observa că vectorul de rotație este un pseudovector , dar că produsul său încrucișat de vectorul de viteză, care este un adevărat vector, oferă un vector adevărat.

Referințe

Tehnica de echilibrare , Hatto Schneider, Springer Science & Business Media, august 2006.
Îmbogățirea uraniului: Procese de îmbogățire . Michel Alexandre, Jean-Pierre Quaegebeur, Tehnica inginerească.
Tehnica de echilibrare , Hatto Schneider, Springer Science & Business Media, august 2006.
Diagnostic predictiv și defecțiuni ale mașinii : teorie, tratament, analiză, recunoaștere, predicție. Philippe Arquès, Editions TECHNIP, mai 2009.
Vârful răsturnat
Instrumente teoretice ale mecanicii fluidelor , Joël Sornette.

Vezi și tu