Lagrangian

În fizică , Lagrangianul unui sistem dinamic este o funcție a variabilelor dinamice care permite ca ecuațiile de mișcare ale sistemului să fie scrise concis . Numele său provine de la Joseph-Louis Lagrange , care a stabilit principiile procesului (din 1788 ).

Ecuațiile mișcării

Luați în considerare un sistem dinamic identificat prin parametrii poziționali $q i$ (numiți și coordonate generalizate ). În timp, acești parametri variază, rata lor de schimbare fiind . Setul de parametri al sistemului este format din $q$ $i$ , des și timp t . Într-un număr mare de situații, este posibil să se definească o funcție astfel încât, dacă setăm: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

peu=∂L∂q˙eu{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}$

(derivata parțială fiind calculată ca și cum parametrii ar fi independenți între ei), atunci ecuațiile mișcării sunt date de:

dpeudt=∂L∂qeu.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .}$

În mod formal, observăm că aceste ecuații sunt obținute prin aplicarea principiului acțiunii minime (sau a principiului acțiunii extreme), care este scris:

δSδφeu=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

cu acțiune . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

Ecuațiile de mișcare obținute sunt apoi echivalente cu ecuațiile Euler-Lagrange rezultate din principiul precedent. Un sistem dinamic ale cărui ecuații de mișcare pot fi obținute de la un Lagrangian este un sistem dinamic Lagrangian . Acesta este cazul cu versiunea clasică a modelului standard , ecuațiile lui Newton , ecuațiile relativității generale și problemele pur matematice, cum ar fi ecuațiile geodezice sau problema Platoului .

Lagrangian în mecanica clasică

Mecanica lagrangiană a fost în mod istoric o reformulare a mecanicii clasice folosind conceptul de Lagrangian. În acest context, Lagrangianul este în general definit de diferența dintre energia cinetică E c = T și energia potențială E p = V :

L=Evs.-Ep=T-V.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.}$

Cu acest formalism, ecuația Lagrange este scrisă:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.}$ Demonstrație

Luați în considerare un sistem format din puncte materiale de masă $m i$ . Pozițiile acestor puncte sunt în funcție de parametrii de poziție $q$ $k$ , aceștia din urmă variind în timp. Aceste puncte sunt supuse unor forțe de legătură , rezultanta celorlalte forțe fiind . Dacă nu există frecare, activitatea virtuală a forțelor de legătură în timpul unei deplasări virtuale este zero. Viteza fiecărei particule este dată de: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

reu→˙=dr→eudt=∑j∂r→eu∂qjdqjdt=∑j∂r→eu∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

Este o funcție a t , a

q j

și a .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

Energia cinetică a sistemului este dată de:

T=12∑eumeur˙→eu2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Avem, luând în considerare expresia anterioară a :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑eumeu⟨r→˙eu,∂r→˙eu∂q˙k⟩=∑eumeu⟨r→˙eu,∂r→eu∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ partial q_ {k}}} \ right \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ partial q_ {k}}} \ right \ rangle}

unde am notat ⟨,⟩ produsul scalar dintre vectori. Deci avem : ddt∂T∂q˙k=∑eumeu⟨r→¨eu,∂r→eu∂qk⟩+∑eumeu⟨r→˙eu,ddt∂r→eu∂qk⟩=∑eumeu⟨r→¨eu,∂r→eu∂qk⟩+∑eumeu⟨r→˙eu,∑j∂2r→eu∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

Dar nu este altul decât . Prin urmare:

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {}} {\ partial q_ {k}}} \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑eumeu⟨r→¨eu,∂r→eu∂qk⟩+∑eumeu⟨r→˙eu,∂r→˙eu∂qk⟩=∑eumeu⟨r→¨eu,∂r→eu∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

prin urmare: ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑eumeu⟨r→¨eu,∂r→eu∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle.}

Aplicarea principiului fundamental al dinamicii este, ținând cont de faptul că, în ceea ce privește forțele de conexiune :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑eu⟨F→eu,∂r→eu∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle.}

Să presupunem că fiecare forță derivă dintr-o funcție potențială

U

i

a , astfel încât (unde denotă gradientul). Apoi avem:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→eu,∂r→eu∂qk⟩=-⟨∇→Ueu,∂r→eu∂qk⟩=-∂Ueu∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

Așadar : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑eu∂Ueu∂qk=-∂V∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ partial q_ {k}}}}

luând pentru

V

suma lui

U i

. Funcția

V

depinde doar de

q k

așa că, dacă setăm , obținem:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

care este într-adevăr ecuația Lagrange anunțată.

Non-unicitatea Lagrangianului

Pentru un anumit Lagrangian , dacă este posibil să îl rescriem ca unde $F$ este orice funcție continuă și diferențiată a coordonatelor generalizate ale sistemului, atunci îndeplinește și ecuațiile Euler-Lagrange. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $L '$

Demonstrație

Să fim lagrangieni . Presupunem că îl putem rescrie ca unde este orice funcție de coordonate generalizate și timp (o astfel de funcție poate apărea efectuând o transformare a coordonatelor sistemului de exemplu). În acest caz, avem: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙eu)-∂L∂qeu=ddt(∂L′∂q˙eu)-∂L′∂qeu+ddt(∂∂q˙eudFdt)-∂∂qeudFdt.{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {align}}}$

Putem rescrie derivata totală a lui $F$ ca:

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { aliniat}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { aliniat}}}$

Deci . Inserăm acest lucru în ecuația Euler-Lagrange de mai sus: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙eu)-∂L′∂qeu+ddt∂F∂qeu-∂∂qeudFdt=ddt(∂L′∂q˙eu)-∂L′∂qeu{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot { q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot { q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}}$

și astfel, vedem că Lagrangianul satisface și ecuațiile Euler-Lagrange. $L '$

Această proprietate de transformare a Lagrangianului demonstrează că Lagrangianul unui sistem nu este niciodată unic, deoarece se poate adăuga oricând un termen al formei unui Lagrangian păstrând în același timp ecuațiile de mișcare. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Un exemplu în coordonatele carteziene

Timp derivata unei variabile este indicat printr - un punct deasupra. Deci, dacă este poziția, desemnează viteza și accelerația. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

Lagrangianul unei particule non- relativiste de masă m într-un spațiu euclidian tridimensional, supus unui potențial $E$ $p este$ scris:

L(X→,X→˙) = Evs.-Ep = 12 m v→2 - V(X→) = 12 m X→˙2 - V(X→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

L(X→,X→˙) = p→22m - V(X→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

unde p este impulsul: p→ = m v→ = m X→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

Să aplicăm ecuațiile Euler-Lagrange în coordonate carteziene :

d dt (∂L∂X˙eu) - ∂L∂Xeu = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

unde indexul i desemnează una dintre cele 3 variabile spațiale:

x 1 = x

x 2 = y

și

x 3 = z

. Derivații respectivi ai apoi dau:

L (\ vec {x}, \ dot {\ vec {x}})

∂L∂Xeu = - ∂V∂Xeu{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}}$

∂L∂X˙eu = ∂ ∂X˙eu(12 m X→˙2) = mX˙eu{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂X˙eu) = mX¨eu{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

deci obținem în mod explicit pentru fiecare axă spațială i :

mX¨eu + ∂V∂Xeu = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}$

Într-un cadru de referință galilean și când forța derivă din potențialul V

F→rezultant = - ∇→V(X){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ găsim a doua lege a lui Newton :

m la→ =m X→¨ = F→rezultant.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

În coordonate sferice

Luați în considerare un spațiu tridimensional în coordonate sferice și Lagrangianul: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2păcat2⁡(θ)φ˙2)-V(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Ecuațiile Euler-Lagrange sunt apoi scrise:

ddt(δ(L)δ(r˙))-δ(L)δ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} dreapta) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} dreapta) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(θ˙))-δ(L)δ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ right) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(φ˙))-δ(L)δ(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ dreapta) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ dreapta) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Fie aici:

mr¨-mr(θ˙2+păcat2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2păcat⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2păcat2⁡(θ)φ¨+2rr˙păcat2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)păcat⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ right) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Aici setul de parametri este redus la timp , iar variabilele dinamice sunt traiectoriile particulelor. $dacă}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian în teoria câmpului

Evaluare

Integrala a timpului peste Lagrange este acțiunea , a remarcat . În teoria câmpului , uneori distingem Lagrangianul , a cărui integrală în timp este acțiunea: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

a densității Lagrangiene , pe care o integrează în tot spațiul-timp pentru a obține acțiunea: $\ mathcal {L}$

S[φeu]=∫L[φeu(X)]d4X.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Lagrangianul este astfel integrala spațială a densității lagrangiene. Cu toate acestea, este adesea denumit pur și simplu Lagrangian, în special în utilizarea modernă. Este mai simplu în teoriile relativiste în care spațiul este definit local. Aceste două tipuri de lagrangieni pot fi văzute ca cazuri particulare ale unei formule mai generale, în funcție de dacă introducem variabila spațială în indici sau în parametrii pentru scriere . Teoria cuantică a câmpului fizicii particulelor, cum ar fi electrodinamicii cuantice , sunt de obicei scrise în ceea ce privește densități Lagrangianului , acești termeni sunt ușor transformate pentru a da regulile de evaluare a diagramelor Feynman . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $eu$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Ecuațiile Euler-Lagrange

Ecuațiile Euler-Lagrange din teoria câmpurilor sunt scrise : ${\ displaystyle \ forall i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφeu))-∂L∂φeu.{\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ dreapta) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ dreapta) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.}$

Non-unicitatea densității lagrangiene în teoria clasică a câmpului

În ceea ce privește non-unicitatea Lagrangianului, densitatea Lagrangiană în teoria câmpurilor nu este unică. Într-adevăr, permiteți o densitate Lagrangiană atunci, dacă o putem rescrie ca unde este un cvadrivector care depinde doar de câmpuri (și nu de derivatele lor) și de vectorul spațiu-timp, atunci să satisfacem aceleași ecuații Euler-Lagrange care . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Demonstrație

Pornind de la ecuațiile Euler-Lagrange ale densității lagrangiene originale, avem pentru toate : $eu$

0=∂μ(∂L∂(∂μφeu))-∂L∂φeu=∂μ(∂L′∂(∂μφeu))-∂L′∂φeu+∂μ[∂∂(∂μφeu)∂νFν]-∂∂φeu∂νFν{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {align}}}$

Putem rescrie cvadridivergența vectorului ca: ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φeu,X]=∑eu∂Fμ∂φeu∂μφeu→∂∂(∂μφeu)∂νFν=∂Fν∂φeu.{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {aliniat}}}

Astfel, prin inserarea acestei identități în ecuația de mai sus, obținem:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφeu))-∂L′∂φeu+∂μ[∂Fμ∂φeu]-∂∂φeu∂νFν=∂μ(∂L′∂(∂μφeu))-∂L′∂φeu{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {align}}}

și astfel, densitatea Lagrangiană satisface aceleași ecuații Euler-Lagrange ca densitatea . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Lagrangian electromagnetic

În general, în mecanica Lagrangiană, Lagrangianul merită:

L=T-V{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

unde T este energia cinetică și V este energia potențială.

Având în vedere o particulă încărcată electric de masă m și sarcină q și viteză într-un câmp electromagnetic cu potențial scalar și potențial vectorial , energia cinetică a particulei este: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mv→⋅v→{\ displaystyle T = {1 \ peste 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ peste 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

iar energia sa potențială este: V=qϕ-qv→⋅LA→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Lagrangianul electromagnetic este atunci:

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅LA→.{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Demonstrație

Lagrangianul electromagnetic este construit din expresia forței Lorentz care este, să ne amintim, o forță neconservatoare. Dacă nu derivă dintr-un potențial clasic, derivă pe de altă parte dintr-un potențial cunoscut ca generalizat în sensul ecuațiilor Lagrange . Energia sa potențială V satisface într-adevăr următoarea ecuație:

F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→-∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

Forța Lorentz este exprimată ca:

F→=q(E→+v→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

Potrivit lui Maxwell:

B→=∇→×LA→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

Prin urmare: ∇→×E→=-∂∂t(∇→×LA→)=∇→×(-∂LA→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

⇒∇→×(E→+∂LA→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

deci există un astfel de potențial încât $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Prin urmare: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec { v}} \ times ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}))}$

Acum, după formula lui Gibbs: $\ vec v \ times (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂LA→∂t+∇→(v→⋅LA→)-(v→⋅∇→)LA→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂LA→∂t+(v→⋅∇→)LA→]+q[-∇→ϕ+∇→(v→⋅LA→)]=-q[∂LA→∂t+(v→⋅∇→)LA→]+q∇→[-ϕ+(v→⋅LA→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂LA→∂t+(v→⋅∇→)LA→]-∂∂r→q[ϕ-(v→⋅LA→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

Să: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ right] - \ frac {\ partial V '} {\ partial \ vec r}$

Să stabilim : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Aur: ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} { \ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}}}$

⇒ddt∂V′∂v→=-qdLA→dt=-q∂LA→∂t-q[+∂LA→∂XX˙+∂LA→∂yy˙+∂LA→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ left [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ left [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

Putem observa în treacăt:

∂LA→∂XX˙+∂LA→∂yy˙+∂LA→∂zz˙=(X˙∂LAX∂X+y˙∂LAX∂y+z˙∂LAX∂zX˙∂LAy∂X+y˙∂LAy∂y+z˙∂LAy∂zX˙∂LAz∂X+y˙∂LAz∂y+z˙∂LAz∂z)=(X˙∂∂X+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(LAXLAyLAz)=[(X˙y˙z˙)⋅(∂∂X∂∂y∂∂z)](LAXLAyLAz){\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Prin urmare: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

V′=q[ϕ-(v→⋅LA→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

satisface ecuația Lagrange (*) văzută mai sus. este deci energia potențială relativă la forța lorentziană a cărei Lagrangian este .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

O altă demonstrație

Această inserție propune să verifice dacă Lagrangianul

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅LA→{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

dă principiul fundamental al dinamicii pentru o particulă de masă m și sarcină electrică q supusă forței Lorentz. Prin urmare, constituie demonstrația în direcția opusă celei anterioare.

Scriem explicit în coordonate carteziene indexate $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Deci avem :

L=12m∑eu=13Xeu˙2+q∑eu=13Xeu˙LAeu-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

cu componenta n ° i a potențialului vectorial și

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

Să evaluăm ecuațiile Lagrange pentru componenta nr. 1:

∂L∂X1=q∑eu=13Xeu˙∂LAeu∂X1-q∂ϕ∂X1șiddt∂L∂X1˙=ddt(mX1˙+qLA1)=md2X1dt2+qdLA1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

Cu toate acestea, derivatul total în raport cu timpul este egal cu derivatul său în particule:

A_1

dLA1dt=∂LA1∂t+∑eu=13Xeu˙∂LA1∂Xeu.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

De aici și expresia ecuației de mișcare pentru componenta nr. 1: md2X1dt2+qdLA1dt=q∑eu=13Xeu˙∂LAeu∂X1-q∂ϕ∂X1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

md2X1dt2+q∂LA1∂t+q∑eu=13Xeu˙∂LA1∂Xeu=q∑eu=13Xeu˙∂LAeu∂X1-q∂ϕ∂X1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

Simplificând, rămâne: md2X1dt2=-q∂LA1∂t-q∂ϕ∂X1+qX2˙(∂LA2∂X1-∂LA1∂X2)+qX3˙(∂LA3∂X1-∂LA1∂X3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

Cu și , recunoaștem în dreapta egalității expresia primei componente a forței Lorentz.

\ vec B = \ vec \ nabla \ times \ vec A

\ vec E = - \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} - \ vec \ nabla \ phi

Exemple de densitate lagrangiană în teoria câmpului cuantic

Lagrangianul lui Dirac

Densitatea Lagrangiană pentru un câmp Dirac (în) este:

L=ψ¯(euℏvs.⧸D-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ left (i \, \ hbar \, c \ not \! Dm \, c ^ {2} \ right) \ psi}

unde este un spinor , este adjunctul său Dirac , este derivatul covariant al gabaritului și este notația Feynman pentru .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0

D

\ nu \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

Lagrangianul electrodinamicii cuantice

Densitatea Lagrangiană în QED este:

LÎED=ψ¯(euℏvs.⧸D-mvs.2)ψ-14μ0FμνFμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ peste 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ peste 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

unde este tensorul electromagnetic .

F ^ {\ mu \ nu}

Lagrangianul cromodinamicii cuantice

Densitatea Lagrangiană în QCD este:

LÎVSD=∑nuψ¯nu(euℏvs.⧸D-mnuvs.2)ψnu-14GαμνGαμν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ peste 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ peste 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

unde este derivata covariantă gauge în QCD și este tensorul a intensității câmpului electromagnetic al gluonului .

D

G ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu}

Formalismul matematic

Adică o

varietate de dimensiuni și o varietate de destinație . Fie setul de funcții ale in , numit spațiu de configurare .

M

nu

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

În primul rând, să dăm câteva exemple:

în mecanica clasică, în formalismul lui Hamilton , este varietatea dimensiunii 1 , care reprezintă timpul, iar spațiul de destinație este

pachetul cotangent al spațiului pozițiilor generalizate;

M

\ mathbb {R}

în teoria câmpurilor, este varietatea spațiu-timp, iar spațiul de destinație este setul de valori posibile ale câmpurilor din fiecare punct. Dacă, de exemplu, există

câmpuri scalare reale φ 1 , ..., φ m , atunci colectorul de destinație este . Dacă avem un câmp de vectori reali, varietatea de destinație este izomorfă la . Există de fapt o modalitate mai elegantă de a folosi pachetul tangent, dar vom rămâne cu această versiune.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Să presupunem acum că există o acțiune funcțională , numită acțiune fizică. Aceasta este o aplicație pentru , nu pentru , din motive fizice. ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

Pentru ca acțiunea să fie locală, avem nevoie de restricții suplimentare. Dacă impunem ca

S [ φ ] să fie integral pe M al unei funcții a lui φ, derivatele sale și pozițiile pe care le numim Lagrangian . Cu alte cuvinte,

\ varphi \ in \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ partial \ varphi, \ partial ^ {2} \ varphi, \ dots, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdnuXL(φ(X),∂φ(X),∂2φ(X),...,X).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ dots, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ in {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ dots, x).}$

De cele mai multe ori, se impune că Lagrangianul depinde doar de valoarea câmpurilor, primele lor derivate, dar nu și de derivatele de ordin superior. De fapt, acest lucru este doar pentru comoditate și nu este adevărat în general. Cu toate acestea, presupunem că în restul acestui articol.

Să fixăm condițiile de graniță , în esență datele lui φ la margini dacă M este compact sau o limită pentru φ când x tinde spre infinit (ceea ce este practic în timpul integrărilor pe părți). Subspatiul funcțiilor φ astfel încât toate

derivatele funcționale ale acțiunii S în φ sunt 0 și că φ îndeplinește condițiile de graniță, este spațiul soluțiilor fizice.

\ mathcal {C}

Soluția este dată de ecuațiile Euler-Lagrange (prin utilizarea condițiilor la graniță):

δδφS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.}$

Găsim derivata funcțională în comparație cu φ a acțiunii din partea stângă.

Note și referințe

(ro) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(în) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(în) [PDF] " http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf " ( Arhivă • Wikiwix • Archive.is • Google • Ce să faci? ) .

Vezi și tu

Bibliografie

Francis Halbwachs și Jean-Marie Souriau , „Mecanică analitică”, Enciclopedia Universală , 1989, t. 14 , p. 764-767

Articole similare

Mecanica hamiltoniană
Teorema lui Noether (fizică)
Acțiune (fizică)
Principiul acțiunii minime
Operator hamiltonian : transformata Legendre a operatorului Lagrangian
Hamiltonian în teoria câmpului