Unități SI | kg m s −1 (= N s ) |
---|---|
Dimensiune | ML T-1 |
Natură | Dimensiune Vector conservator extins |
Link către alte dimensiuni |
În fizică , cantitatea de mișcare este produsul masei de vectorul de viteză al unui corp material presupus a fi punct. Este vorba despre o mărime vectorială, definită de , care depinde de cadrul de referință al studiului. Prin aditivitate, este posibil să se definească impulsul unui corp non-punct (sau al unui sistem material), care se poate dovedi a fi egal cu impulsul centrului său de inerție afectat de masa totală a sistemului sau ( C fiind centrul de inerție al sistemului).
Conceptul de impuls este introdus în mod natural dinamic : de fapt, relația fundamentală a dinamicii exprimă faptul că acțiunea unei forțe externe pe un sistem duce la o schimbare în impuls său: . În plus, face parte, cu energia , din cantitățile care sunt păstrate pentru un sistem izolat, adică supuse oricărei acțiuni externe, sau dacă acestea sunt neglijabile sau sunt compensate. Această proprietate este utilizată în special în teoria coliziunilor .
În mecanica analitică sau cuantică , impulsul apare în mod natural ca magnitudine legată de invarianța hamiltoniană sau lagrangiană într-o traducere a spațiului, adică proprietății omogenității spațiului, care este verificată efectiv în absența forțelor externe. sau câmpuri. La un nivel mai general, este de fapt una dintre consecințele teoremei lui Noether care permite legarea simetriei continue a unui sistem și a legilor de conservare.
Noțiunea de impuls liniar sau de impuls se generalizează în mecanica analitică pe cea de impuls, ca moment conjugat de viteză generalizată , adică . Cantitatea de mișcare și impuls sunt adesea confuze datorită coincidenței lor în majoritatea cazurilor. Cu toate acestea, aceste două cantități sunt distincte.
Impulsul coincide cu impulsul în coordonatele carteziene sau mai general dacă este derivata unei variabile liniare și nu a unui unghi și în absența unui câmp magnetic. În cazul unei particule încărcate care se mișcă într-un câmp electromagnetic , impulsul și impulsul diferă din cauza unui termen datorat potențialului vectorial , q fiind sarcina particulei. Analogul „unghiular” al impulsului liniar este momentul unghiular în general confundat cu impulsul unghiular .
De asemenea, este posibil să se definească cantitatea de mișcare, mai des numită apoi impuls , pentru câmpul electromagnetic . Cel mai adesea, se face referire la densitatea volumului impulsului câmpului dat de .
În mecanica relativistă , noțiunile de impuls și energie sunt legate prin introducerea cvadrivectorului energie-impuls , unde γ este factorul Lorentz .
În mecanica cuantică , impulsul este definit ca un „operator vector”, adică ca un set de trei operatori (unul per componentă spațială) care respectă anumite relații de comutare (numite canonice ) cu componentele operatorului de poziție .
Găsim o primă formulare a impulsului în Jean Buridan (1292 - 1363), în Questions sur la physique d ' Aristote : Impulsul implantat crește în același raport cu viteza. Când un mutant pune un corp în mișcare, el pune un anumit impuls în el . Este o anumită forță care permite corpului să se deplaseze în direcția în care motorul începe această mișcare, indiferent dacă este în sus, în jos, lateral sau în cerc. El spune că datorită acestui impuls , o piatră se mișcă după ce turnatorul a încetat să o mai miște. Dar, datorită rezistenței aerului (și, de asemenea, a gravitației pietrei), încercând să-l deplaseze în direcția opusă mișcării provocate de impuls , acesta va slăbi tot timpul. Prin urmare, mișcarea pietrei va fi progresiv mai lentă și, în cele din urmă, impulsul este atât de micșorat sau distrus încât gravitația pietrei prevalează și mută piatra în locul său natural. El poate accepta această explicație, deoarece celelalte explicații se dovedesc a fi false, în timp ce toate fenomenele sunt de acord cu aceasta. Se va observa că impulsul implantat este cauzat de viteză și se presupune că este proporțional cu acesta. În altă parte, Buridan a privit-o ca fiind proporțională cu greutatea corporală. În unități alese corect. Termenul greutate × viteză reprodus de istoricul științei Olaf Pedersen (în) , dă un sens precis impulsului , un concept care anterior era destul de vag. În mod formal, acest nou concept în dinamică este egal cu impulsul fizicii clasice, dar în realitate cele două sunt foarte diferite, deoarece joacă roluri diferite în teoriile lor dinamice respective. Punctul important este că, în sensul său medieval, cuvântul impuls este o forță cu același statut fizic ca gravitația, ușurința, magnetismul etc. Cu toate acestea, teoria poate că a pregătit calea către conceptul de inerție care înlocuiește permanent secolul al XVII- lea .
În Discursurile dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze din Galilee , conservarea impulsului, dar pe deplin recunoscută și utilizată, are loc numai în timpul prezentării. René Descartes , măsurându-și sfera completă, îl introduce ca o „lege a naturii” în pragul filozofiei sale naturale. Cu toate acestea, câmpurile de aplicare a sistemului Descartes rămân cosmologie filosofică. Nu are calitatea unei propoziții științifice, intrinsec legată de condițiile cerute de o teorie a mișcării geometrizată. Prin asocierea sa cu conceptul de materie în sine indiferentă la odihnă și mișcare, Galileo este precursorul direct al principiului clasic al inerției, deschizând calea către o primă teorie matematică a mișcării, ale cărei rezultate vor trece pe deplin în sinteza newtoniană. .
Unitatea SI de impuls este kilogram-metru per secundă kg m s -1 , echivalent cu newton- al doilea ( N s ).
Unitatea în imperial sistemul este lire Force secunde ( lbf s ): 1 lbf s = 4,448 221 N s . Aceasta este confuzia între aceste două unități, metrice și Imperial, care a fost cauza pierderii sondei Mars Mars Climate Orbiter23 septembrie 1999, forța micilor corecții ale traiectoriei pentru a orbita sonda fiind subestimată de un factor de ~ 4,5.
În mecanica clasică , impulsul unui punct material de masă m animat într-un cadru de referință dat al unei viteze este definit ca produsul masei și al vitezei:
Prin urmare, este, la fel ca viteza, o cantitate vectorială , a cărei unitate SI este kilogramul metru pe secundă ( kg m s −1 ).
Această cantitate este aditivă , deci pentru un sistem material compus din N particule, impulsul total (sau rezultatul cinetic ) al sistemului este definit de:
.Prin introducerea centrului de inerție C al sistemului al cărui vector de poziție este, prin definiție , derivă imediat relația:
cu alte cuvinte, impulsul total al sistemului este egal cu impulsul centrului său de inerție C afectat de masa totală a sistemului:
Această relație este valabilă pentru orice tip de sistem material, deformabil sau nu.
În mecanica solidelor , impulsul este rezultatul torsorului cinetic .
Relația fundamentală a dinamicii exprimă faptul că acțiunea unei forțe variază impulsul punctului material într-un cadru de referință galilean :
Această relație se generalizează ușor la un sistem material în ceea ce privește impulsul total al sistemului, adică cel al centrului său de inerție C afectat de masa totală a sistemului:
Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema rezultatului cinetic sau teorema centrului de inerție : arată că pentru un sistem material acțiunea forțelor externe duce la o variație a impulsului centrului de inerție al sistem.
Conservarea impulsuluiÎn absența forțelor externe , sau dacă rezultanta lor este zero, impulsul unui sistem material este deci o constantă de mișcare , de atunci . În mecanica analitică , legea conservării poate fi conectată la invarianța de traducere a Lagrangianului în spațiu, vezi . de mai jos.
O ilustrare clasică a conservării impulsului este oferită de pendulul lui Newton , care este adesea folosit ca obiect decorativ (a se vedea ilustrația din față). O minge la un capăt este eliberată fără viteză și capătă o anumită cantitate de mișcare, apoi se ciocnește cu celelalte bile adiacente. Mingea de la celălalt capăt începe din nou în aceeași direcție ca mingea incidentă, după ce și-a dobândit impulsul, care este „transmis” prin bilele adiacente.
În general, conservarea impulsului este foarte importantă în studiul șocurilor de particule sau în descompunerea (separarea în mai multe părți) a unui sistem. Într-adevăr, în cazul unui șoc de două (sau mai multe) corpuri materiale, durata interacțiunii dintre corpuri este foarte scurtă și este posibil să neglijăm efectul interacțiunilor externe sistemului constituit de corpurile aflate în coliziune., al cărui impuls total poate fi deci considerat a fi conservat. Este important de subliniat faptul că energia cinetică este , în general , nu conservat într - o coliziune, deoarece există adesea o schimbare în starea internă a corpurilor în timpul coliziunii:. , De exemplu , două particule care rămân una lângă alta , în timpul unei coliziuni coliziuni, este numai dacă coliziunea este elastică , energia cinetică este conservată, în plus față de impuls ( vezi ilustrațiile de mai jos).
Două exemple clasice ilustrează aplicarea conservării impulsului în studiul șocurilor sau dezintegrarea unui sistem:
unde este variația vitezei primei mingi în timpul șocului. Dacă șocul este cu forță maximă, atunci și sunt coliniare și apoi a doua minge se declanșează la viteză . La limită poate fi transferat totalitatea impulsului de la prima minge la a doua și apoi .
Drept urmare, există un fenomen de recul al armei la viteză .
Același fenomen se produce atunci când un obiect greu (o piatră) este aruncat dintr-o barcă (imaginea opusă). Aceasta este faimoasa experiență a bărcii lui Ciolkovski .
În general, acest fenomen face posibilă înțelegerea principiului motorului rachetei (a se vedea figura opusă): expulzarea unei mase (dm fiind variația de masă a vasului care este negativă) a materiei la viteza de ejecție în timpul d t conduce - datorită conservării impulsului - (neglijând acțiunea forțelor externe ) pentru a varia viteza rachetei de . Prin integrarea pe o perioadă de timp finită , viteza rachetei (cu masa inițială m 0 ) variază, prin urmare, cu Δ m <0, deoarece racheta își pierde masa. Astfel, racheta se deplasează în direcția opusă gazelor evacuate (cf. ecuația lui Tsiolkovsky ).
O variație a impulsului rezultată din acțiunea unei forțe este deci calculată ca integrală a forței pe durata acțiunii forței. Pentru un obiect de impuls inițial la un moment t 1 , care suferă o forță pentru o durată t 2 - t 1 , integralul acestei forțe în raport cu timpul, în această durată, este egal cu:
.Folosind relația fundamentală a dinamicii , obținem:
.Obiceiul, derivat din numele anglo-saxon impuls , este acela de a numi această cantitate „impuls”. Cu toate acestea, strict vorbind, în impulsiunea franceză desemnează momentul conjugat, magnitudinea mecanicii lagrangiene . Când durata de acțiune a forței este foarte scurtă, cantitatea precedentă I se numește percuție mecanică , datorită importanței sale în teoria șocurilor.
In mecanica Lagrangianului , starea unui sistem de N particule (3 N grade de libertate) este descrisă de către ei a remarcat Lagrangianul , unde și denotă coordonatele și vitezele generalizate în forme vectoriale ale i-lea particula ( i = 1, .. ., N ).
Conceptul de moment conjugat sau impuls generalizatPentru fiecare particulă este posibil să se definească momentul conjugat (sau impulsul generalizat) prin relația:
Simbolul care desemnează operatorul de gradient evaluat în raport cu componentele vitezei generalizate a i- a particulei.
Conform ecuațiilor lui Lagrange , care sunt scrise cu aceleași notații, aceasta vine imediat și, dacă coordonata este ciclică , adică L lagrangian nu depinde de ea, atunci și, prin urmare, momentul conjugat este conservat.
Conjugați moment - distincție impulsNoțiunea de moment conjugat nu corespunde în general cu cea a impulsului.
De exemplu, în cazul mișcării unui singur punct material într-un potențial central V ( r ) , în funcție doar de distanța r la o origine O , mișcarea este plană (2 grade de libertate) și Lagrangianul sistemului poate fi ușor scris în coordonate cilindro-polare sub forma:
,iar momentul conjugat de este, prin urmare, care este valoarea impulsului unghiular al particulei (care în acest caz este conservată deoarece L nu depinde de θ ).
Numai dacă coordonatele generalizate coincid cu coordonatele carteziene ( adică q i = ( x i , y i , z i ) ) și în absența unui câmp electromagnetic, și, prin urmare, momentul conjugat corespunde cantității de mișcare a fiecare particulă. Într-adevăr, în acest caz, ecuațiile Lagrange sunt identificate cu cele date de relația fundamentală de dinamică aplicată fiecărei particule.
Dacă se utilizează coordonatele carteziene și particulele care poartă o sarcină Q i sunt în prezența unui câmp electromagnetic, definit de potențialele scalare și vectorul de câmp notat , Lagrangianul sistemului implică potențialul generalizat: și, în acest caz, momentul conjugat este scris datorită ecuațiilor Lagrange
, observând impulsul particulei.Momentul conjugat este, în acest caz, denumit impuls pentru a-l distinge de impuls .
Cantitatea de mișcare și invarianța prin traducere în spațiuO translație infinitesimală a sistemului în spațiu este definită de transformarea aplicată fiecărei particule, fiind vectorul de traducere elementar. Este evident, deoarece această traducere lasă nemodificate vectorii de viteză ai particulelor, care coincid cu viteza generalizată pentru coordonatele carteziene.
Dacă Lagrangianul sistemului este invariant prin traducere în spațiu, atunci neapărat variația sa elementară corespunzătoare este zero la prima ordine în .
Conform ecuațiilor Lagrange și prin operarea în coordonate carteziene, această condiție este scrisă sub forma:
,cu toate acestea, traducerea elementară considerată a fi arbitrară, invarianta prin traducere a Lagrangianului implică faptul că impulsul total al sistemului este păstrată .
Astfel, cantitatea de mișcare apare în mod natural în mecanica analitică ca cantitatea conservată asociată cu invarianța prin traducerea Lagrangianului (sau a Hamiltonianului), adică cu proprietatea omogenității spațiului . Acesta este un caz special al teoremei lui Noether .
Formalism hamiltonianÎn formalismul hamiltonian, descrierea stării sistemului cu N grade de libertate se face în termeni de coordonate N și impulsuri generalizate q i și p i , care intervin în expresia hamiltoniană H ( q , p , t ) a sistemul.
Este posibilă introducerea parantezei Poisson a două mărimi arbitrare f ( q , p ) și g ( q , p ) în funcție de coordonatele și impulsurile generalizate, definite prin:
.În cazul particular în care f = q i și g = p i vine { q i , p i } = 1 : acest rezultat face posibilă generalizarea noțiunii de poziție și de impuls în mecanica cuantică, făcând posibilă definirea prin principiul corespondenței o relație de comutare canonică între cei doi operatori.
În contextul descrierii euleriană a fluidelor, ecuațiile sunt în general prezentate sub formă locală (la un moment dat). Se scapă apoi de noțiunea de volum definind în orice punct al fluidului vectorul de impuls cu
cu ρ densitatea fluidului studiat la punctul M la momentul t și viteza particulei de fluid situată la punctul M la momentul t . Dacă fluidul este incompresibil, ρ este constant în timp și spațiu.
Teorema impulsului pentru un fluid este scrisă:
Rețineți că forțele exercitate de exterior asupra fluidului sunt de două tipuri: forțele la distanță (voluminale) și forțele în contact (suprafața):
Un exemplu de forță de volum este greutatea și un exemplu de forță de suprafață sunt forțele de frecare (vorbim în schimb de vâscozitate ).
Când Albert Einstein și-a formulat teoria specială a relativității , el a adaptat definiția impulsului la un vector cu patru dimensiuni ( cvadrivector ) numit patru-moment , egal cu viteza de patru înmulțită cu masa corpului. Momentul cvadri rămâne constant în timp, în absența oricărei forțe externe.
Mai mult, norma quadri-momentului este invariantă prin schimbarea cadrului de referință inerțial . Mai precis, pseudo-norma este invariantă prin transformările Lorentz , ceea ce traduce invarianța masei m a corpului (și a energiei sale în repaus : mc² ). Pe de altă parte, există o schimbare a coordonatelor quadri-momentului de la un cadru de referință la altul și acest lucru reflectă faptul că viteza corpului și energia cinetică a acestuia sunt diferite de la un cadru de referință la altul.
Expresia quadri-vitezei unei particule cu o viteză spațială v mai mică decât c este:
unde reprezintă vectorul clasic al vitezei particulei și este un factor numit gama relativistă sau factorul Lorentz , c fiind viteza luminii . Pătratul normei acestui cvadrivector este dat de .
Cvadrivectorul impuls-energie care generalizează în mecanica relativistă noțiunea de impuls se obține considerând p α = μ α prin analogie cu definiția clasică, care dă , cu:
Pătratul normei acestui quadrivector este cantitatea care rămâne invariantă în timpul unei transformări Lorentz și care este în mod necesar egal cu pătratul normei μ α adică m 2 c 2 , prin urmare
Invariantul relativistic asociată cu această quadrivector este , prin urmare, energia de masă a particulei ( la fel ca și masa rămâne neschimbată în mecanica newtoniană prin schimbarea cadrului de referință).
Obiectele cu masă zero, cum ar fi fotonii , au, de asemenea, un moment de 4 când pseudo-norma cvadrivectorului p este zero. Avem în acest caz:
deci p = E / c pentru standardul impulsului clasic.Noțiunea de impuls nu se limitează la un corp material, ci poate fi extinsă la un câmp precum câmpul electromagnetic, pentru care se numește în schimb impuls, pentru a evita confuzia. Impulsul câmpului electromagnetic corespunzător unui volum V este dat de:
.Cantitatea corespunde densității pulsului electromagnetic , adică pulsului câmpului electromagnetic per unitate de volum. Acesta este direct legată de vectorul Poynting deoarece .
Este posibil să se arate că această cantitate corespunde bine densității pulsului legată de câmpul electromagnetic, luând în considerare interacțiunea sa cu sarcinile și curenții prezenți într-un volum arbitrar V , delimitat de suprafața închisă ( S ) : prin conservarea pulsului sistemul global {sarcini + curenți + câmp em}, variația densității impulsurilor sarcinilor și curenților și a câmpului trebuie să fie egală cu fluxul densității pulsului prin suprafață ( S ) .
Interacțiunea dintre câmp și sarcini și curenți implică densitatea forței Lorentz și, conform ecuațiilor lui Maxwell , vine:
care dă prin substituție:
,dar în funcție de identitate , vine:
,termenul potrivit putând fi făcut mai simetric folosind cele două ecuații ale lui Maxwell dând structura câmpului:
ceea ce oferă în cele din urmă:
,termenul potrivit poate fi apoi pus sub forma divergenței tensorului constrângerilor lui Maxwell :
,sau în cele din urmă:
,această ultimă ecuație apare într-adevăr sub forma unei ecuații de echilibru local, termenul din stânga oferind variația temporală a densității impulsurilor locale a sistemului de sarcini și curenți ( ) și a câmpului (termen în ), termenul de linie corespunzătoare schimburilor cu restul. Astfel, poate fi asemănat cu densitatea pulsului câmpului electromagnetic.
În mecanica cuantică , starea unui sistem la un moment t este descrisă de un vector de stare notat aparținând spațiului de stare al sistemului (acesta are o structură spațială Hilbert ). Diferitele mărimi fizice uzuale (poziția, energia etc.) sunt apoi operatori hermitieni , deci cu valori proprii reale, numite observabile .
Noțiunea de impuls a unei particule, mai des numită impuls corespunde unui operator, de fapt un set de trei operatori corespunzător fiecare celor trei componente ale spațiilor, numiți operatori scalari, pe care este posibil să îi grupați împreună, prin analogie cu clasicul caz într-un așa-numit operator vector , numit operator de impuls, notat .
Prin definiție, operatorul de poziție și operatorul de impulsuri sunt operatori vectoriali, ai căror trei operatori scalari care acționează asupra diferitelor componente j = x , y , z corespund diferitelor direcții ale spațiului și respectă următoarele relații de comutare canonică:
Prima relație de comutație dedusă în mod formal prin analogie cu parantezul Poisson { q j , p k } = δ jk între coordonatele generalizate și pulsul hamiltonian mecanic prin aplicarea prescripției (principiul corespondenței) .
Non-comutativitatea dintre și ( idem pentru celelalte componente) implică faptul că nu este posibil să se măsoare simultan poziția și impulsul (și, prin urmare, viteza) unei particule . Deci , există inegalități, numite Heisenberg , mijloacele de deviație standard desemnate Δ x și Δ p x al măsurării fiecăruia dintre cele două cantități: .
Consecința acestor relații este că noțiunea de traiectorie nu există pentru o particulă cuantică.
Din punct de vedere euristic, această situație poate fi ușor înțeleasă. Într-adevăr, dacă se caută localizarea cu precizie a unei particule, este necesar să se utilizeze o undă cu lungime de undă scurtă, deci de mare energie. Cu toate acestea, această energie va fi în mod necesar transmisă, total sau parțial către particulă, modificându-i în mod apreciat impulsul. Va fi posibil să se utilizeze o undă de lungime de undă mai mare, dar atunci incertitudinea privind măsurarea poziției va crește.
În reprezentarea poziției, unde starea sistemului poate fi descrisă prin funcția sa de undă , operatorul de poziție pentru o anumită componentă x corespunde pur și simplu multiplicării funcției de undă cu aceasta:
,este apoi ușor de verificat că, datorită relației de comutare canonică dintre și impulsul în direcție , pentru o particulă fără sarcină electrică și fără rotire, este dată de operator:
,operatorul vector al impulsului este scris după cum urmează sub formă intrinsecă:
.În reprezentarea impulsurilor, starea sistemului este descrisă de funcția de undă „puls” , operatorul de impuls pentru o componentă dată x corespunde pur și simplu multiplicării funcției de undă cu aceasta:
,este apoi ușor de verificat că, datorită relației de comutare canonică dintre și expresia poziției operatorului , pentru o particulă fără sarcină electrică și fără rotire, este dată de:
,operatorul vectorului de poziție este scris după cum urmează în această reprezentare în formă intrinsecă:
.Stările proprii ale operatorului de impuls, adică stările pentru care impulsul particulei are o valoare determinată, sunt date într-o reprezentare unidimensională a poziției de-a lungul x de ecuația cu valori proprii:
sau , vine imediat .Valoarea lui p x nu este cuantificată a priori , cu excepția cazului în care sunt impuse condiții speciale asupra particulei, de exemplu dacă este limitată într-o cutie .
Acest rezultat se generalizează imediat la trei dimensiuni în formă , unde este vectorul de undă al particulei. Aceste stări nu pot fi normalizate în sensul obișnuit (nu sunt funcții pătrate însumabile), dar este posibil să le normalizăm „în sensul distribuțiilor”:
.Cu această condiție de normalizare este posibil să se arate că , luând faza reală C ca o convenție și statele proprii normalizate ale operatorului de impuls sunt astfel scrise în reprezentare de poziție:
.Pentru un sistem staționar, operatorul hamiltonian al sistemului este exprimat ca o funcție a operatorului de impuls: (particulă fără rotire în absența unui câmp magnetic). În general, datorită necomutării dintre puls și operatorul de poziție, stările proprii ale impulsului nu sunt stări proprii ale hamiltonienului.
Cu toate acestea, în cazul unei particule libere în tot spațiul, și propriile stări ale Hamiltonianului sunt cele ale impulsului, pentru că atunci și naveta între ele. Prin urmare, stările proprii ale energiei nu sunt cuantificate și sunt calificate drept continue . Fiecare corespunde unei valori date a pulsului. Această situație corespunde în mecanica cuantică conservării impulsului clasic.
„Complet“ , funcția de undă a unui astfel de sistem a, adică soluția ecuației Schrödinger dependentă de timp, este dată de , cu , frecventa asociata cu energia E . Prin urmare, statele proprii au forma undelor călătoare , reflectând la nivelul cuantic deplasarea clasică a particulei în direcția impulsului.
Caracterul continuu al acestor stări proprii ale impulsului dispare dacă particula nu mai este strict liberă , ci limitată într-o anumită regiune a spațiului („bariera potențialului infinit”). Din punct de vedere matematic, acest lucru echivalează cu impunerea unor condiții limită asupra funcției de undă, care va trebui să se anuleze pe „marginea” „casetei” în care particula este limitată, deoarece aceasta din urmă are o probabilitate de absență în afara acesteia. această regiune. Aceste condiții limită sunt reflectate fizic printr-o cuantificare a energiei și, prin urmare, a impulsului (a se vedea articolul Particulă într-o casetă pentru mai multe detalii ). Statele proprii corespunzătoare vor lua forma unei sume ale statelor proprii libere și vor corespunde undelor staționare , traducând la nivel cuantic confinarea particulei, cf. figura opusă.