Poligon regulat

În geometria euclidiană , un poligon regulat este un poligon care este atât echilateral (toate laturile sale au aceeași lungime), cât și egal (toate unghiurile sale au aceeași măsură). Un poligon regulat este fie convex, fie stea .

Toți poligoanele convexe regulate cu același număr de laturi sunt similare . Orice poligon regulat cu stele de n laturi are un înveliș convex de n laturi, care este un poligon regulat. Un număr întreg n mai mare sau egal cu 3 deoarece există un poligon regulat convex de n laturi.

În unele contexte, toate poligoanele luate în considerare vor fi convexe și regulate. Apoi, este obișnuit să se presupună că cele două epitete sunt „convexe regulate”. De exemplu, toate fețele poliedrelor uniforme trebuie să fie convexe și regulate, iar fețele vor fi descrise simplu ca un triunghi , pătrat , pentagon ...

Multiplele proprietăți ale poligoanelor regulate au condus la studiul lor matematic din cele mai vechi timpuri și la diverse interpretări simbolice , religioase sau magice .

Proprietăți generale

Caracterizări

Un poligon este regulat dacă și numai dacă este atât echilateral, cât și scris (în cerc ).Centrul și raza acestui cerc sunt numite apoi centrul și raza poligonului.

Un poligon este regulat dacă și numai dacă există o rotație care trimite fiecare vârf la următorul.Această rotație (simplă) trimite apoi și fiecare parte către următoarea.

Orice poligon regulat este, prin urmare, nu numai atât echilateral, cât și echiangular (prin definiție), dar chiar și izotoxal și izogonal .

Un poligon cu n laturi este regulat dacă și numai dacă grupul său de simetrie este „cât mai mare posibil”: de ordinul 2 n .Acest grup este apoi grupul diedru D n , alcătuit din rotațiile lui C n (grupul de simetrie rotațională de ordinul n - dacă n este egal, poligonul are deci un centru de simetrie) și din n simetrii axiale ale căror axe trec prin centrul. Dacă n este egal, atunci jumătate din aceste axe trec prin două vârfuri opuse, iar cealaltă jumătate prin punctele medii ale celor două laturi opuse. Dacă n este impar, atunci fiecare axă trece printr-un vârf și punctul de mijloc al părții opuse.

Proprietăți suplimentare

Orice poligon regulat este autodual .Într-adevăr, rotația menționată mai sus caracterizează complet poligonul (cu asemănare directă strânsă).

Poligoanele regulate cu n vârfuri (considerate cu asemănare strânsă) sunt în bijecție cu numerele întregi prime cu n și între 1 și n / 2
(deci pentru n > 2, există φ ( n ) / 2, unde φ denotă indicatorul Euler ) .Într-adevăr, rotația este de ordinul n, astfel încât unghiul său măsoară $2 k π / n$ rad pentru un anumit număr întreg k prim cu n . Mai mult, două unghiuri dau „același” poligon dacă și numai dacă sunt egale sau opuse.

Construcția riglei și busolei

Un poligon regulat (convex sau stea) cu n margini poate fi construit cu rigla și busola dacă și numai dacă n este produsul unei puteri de 2 prin numere prime distincte Fermat ( cf. articolul „ Teorema lui Gauss-Wantzel ” ). Singurele numere prime Fermat cunoscute sunt 3, 5, 17, 257 și 65.537.

Poligoane convexe regulate

Poligonul convex regulat cu n laturi corespunde unghiului de rotație $2π / n$ .

Unghiuri

Pentru un poligon convex regulat cu n laturi.

Unghiul în centru:
Cele $n$ unghiuri din centru sunt egale și suma lor este de 360 °. Un unghi în centru are deci valoarea: $2π / nu$ radieni sau $360 / nu$ grade .
Unghiul extern :
Prin același raționament, un unghi extern valorează și 360 ° / n .
Unghiul intern :
este suplimentar la unghiul extern (sau unghiul din centru) și, prin urmare, are următoarea valoare: ${\ displaystyle 180 - {\ frac {360} {n}} = {\ frac {(n-2) \ times 180} {n}}}$ grade sau $( n - 2) π / nu$ radiani sau chiar $( n - 2) / 2 n$ se întoarce .

Apotema și raza

Distanța dintre centrul poligonului și fiecare dintre laturi se numește apotemă (aceasta este raza cercului înscris ).

Datele uneia dintre cele trei lungimi (latura $a$ , raza $ρ$ sau apotema $h$ ) fac posibilă cunoașterea celorlalte două și, prin urmare, caracterizarea poligonului.

Dacă notăm cu $c = a / 2$ jumătate din partea $A$ a unui poligon regulat cu $n$ laturi, aceste lungimi sunt legate de teorema lui Pitagora :

h ^ {2} + c ^ {2} = \ rho ^ {2}

și prin următoarele formule de trigonometrie (unghiurile fiind exprimate în radiani):

{\ displaystyle h = \ rho \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {et}} \ quad c = \ rho \ sin \ left ({\ frac { \ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {prin urmare}} \ quad c = h \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right),}

din care deducem respectiv:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}, \ quad \ rho = {\ frac {a} {2 \ sin (\ pi / n)}} \ quad { \ rm {și}} \ quad h = {\ frac {a} {2 \ tan (\ pi / n)}}.}

Perimetru și zonă

Perimetrul P al unui poligon convex regulat cu $n$ laturi ( n ≥ 3) din lungimea $unei$ este, desigur , egal cu na . În ceea ce privește aria sa S , este suma ariilor lui n triunghiuri ( izoscel ) de înălțime $h$ (apotema) și baza $a$ , prin urmare:

{\ displaystyle P = na \ quad {\ text {et}} \ quad S = n {\ frac {ah} {2}} = {\ frac {Ph} {2}}}

Din relațiile precedente dintre $a$ , $h$ și raza $ρ$ a poligonului, deducem apoi:

{\ displaystyle P = 2n \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ rho \ quad {\ text {et}} \ quad S = {\ frac {na ^ {2}} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {n} {2}} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n} } \ dreapta) \ rho ^ {2}}

;

ultima egalitate folosește , de asemenea , o identitate trigonometrice : . ${\ displaystyle \ sin x \ times \ cos x = {1 \ over 2} \ sin {2x}}$

Deoarece $sin x$ este echivalent cu $x,$ deoarece $x$ tinde la 0, perimetrul tinde la $2π ρ,$ deoarece $n$ tinde la infinit, iar aria la $π ρ 2$ . Găsim circumferința cercului și aria discului .

Poligoanele convexe regulate au o proprietate remarcabilă, cunoscută încă de la greci . Dintre toate poligoanele cu același număr de laturi și același perimetru, cel care este convex regulat are cea mai mare suprafață. Această zonă, întotdeauna mai mică decât cea a cercului cu aceeași rază, se apropie de ea pe măsură ce $n$ devine mai mare. Aceste proprietăți sunt discutate în articolul „ Isoperimetrie ”.

Valorile numerice

Părțile laterale	Numele de familie	Zona exactă dacă $a$ = 1	Jumătate de perimetru dacă $ρ = 1$
3	Triunghi echilateral	${\ displaystyle {\ frac {3} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {3}} \ right)}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$	2.5980762
4	Pătrat	${\ displaystyle {\ frac {4} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ right)}} = 1 \;}$	2.8284271
5	Pentagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {5} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {5}} \ right)}} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	2.9389263
6	Hexagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {6} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} \ right)}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} }$	3.000000
7	Heptagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {7} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {7}} \ right)}}}$	3.0371862
8	Octagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {8} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} \ right)}} = 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	3.0614675
9	Enneagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {9} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {9}} \ right)}}}$	3.0781813
10	Decagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {10} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10}} \ right)}} = {\ frac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	3.0901699
11	Hendecagon obișnuit	${\ displaystyle {\ frac {11} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {11}} \ right)}}}$	3.0990581
12	Dodecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {12} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {12}} \ right)}} = 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	3.1058285
13	Tridecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {13} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {13}} \ right)}}}$	3.1111036
14	Tetradecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {14} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {14}} \ right)}}}$	3.1152931
15	Pentadecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {15} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {15}} \ right)}}}$	3.1186754
16	Hexadecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {16} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {16}} \ right)}}}$	3.1214452
17	Heptadecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {17} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {17}} \ right)}}}$	3.1237418
18	Octadecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {18} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {18}} \ right)}}}$	3.1256672
19	Enneadecagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {19} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {19}} \ right)}}}$	3.1272972
20	Icosagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {20} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {20}} \ right)}} = 5 \ times {\ frac {1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}}}}$	3.1286893
30	Triacontagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {30} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {30}} \ right)}} = {\ frac {15} {2}} \ times {\ frac {{ \ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {{\ sqrt {30 - {\ sqrt {180}}}} - {\ sqrt {5}} - 1}}}$	3.1358539
100	Hectagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {100} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {100}} \ right)}}}$	3.1410759
1000	Chiliagon regulat	${\ displaystyle {\ frac {1000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {1000}} \ right)}}}$	3.1415875
10.000	Myriagone regulat	${\ displaystyle {\ frac {10000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10000}} \ right)}}}$	3.1415926

Rețineți că, dacă raza este egală cu 1, jumătatea perimetrului se apropie tot mai mult de $π$ .

Poligoane neconvexe regulate

Un exemplu de poligon stelar regulat (care este echivalent cu „regulat încrucișat ”, sau „regulat neconvex”) este pentagrama , care are aceleași vârfuri ca și pentagonul convex regulat , dar care este conectată prin vârfuri alternante.

Primele poligoane stelare sunt:

Pentagramă - {5/2}
Heptagramele - {7/2}, {7/3}
Octagramă (ro) - {8/3}
Eneagramele - {9/2}, {9/4}
Decagramă - {10/3}

Poliedre

Un poliedru uniform este un poliedru cu poligoane regulate pentru fețe, astfel încât pentru fiecare pereche de vârfuri există o izometrie care se aplică una peste cealaltă. Cuvântul poligon provine din cuvântul poli (multe) și plecat (unghiuri).

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Regular polygon ” ( vezi lista autorilor ) .

Este convenabil să ne gândim la digon ca la un poligon convex , deși nici măcar nu este simplu .
Glosar de matematică în blugi .

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

(ro) Descrierea poligonului obișnuit cu animație interactivă
( fr ) Cercul inscris al unui poligon regulat cu animatie interactiva
( fr ) Zona unui poligon regulat Trei formule diferite, cu animație interactivă
Geometria florilor cu poligon regulat Corespondențe între figuri și conturul florilor