Poligon dual

În geometrie , poligoanele pot fi asociate în perechi de duale , unde vârfurile unuia corespund laturilor celeilalte.

Proprietăți

De poligoanele regulate sunt auto - duală, adică, ei sunt propriul lor poligon dublu. Dualul unui poligon izogonal este un poligon izotoxal . De exemplu, dreptunghiul (izogonal) și rombul (izotoxal) sunt duale.

Laturile congruente dintr-un poligon corespund unghiurilor congruente din dualul său și invers. De exemplu, dualul unui triunghi isoscel obtuz (adică cu un unghi obtuz ) este un triunghi isoscel acutangular (adică cu toate cele trei unghiuri acute ).

Dualitatea în patrulatere

Ca un exemplu al dualitatii unghi lateral de poligoane, proprietățile patrulatere inscriptibile (în cerc) vor fi comparate cu cele ale circumscrie patrulatere (în cerc).

Patrulater scris	Circumscrierea patrulaterului
Cerc circumscris	Cerc inscris
Bisectoarele perpendiculare ale laturilor se intersectează în centrul cercului circumscris	Bisectoarele se intersectează în centrul cercului înscris
Suma unei perechi de unghiuri opuse este egală cu cealaltă pereche.	Suma unei perechi de lungime a laturilor opuse este egală cu cealaltă pereche.

Dualitatea este și mai clară prin compararea unui trapez isoscel cu un zmeu .

Trapezoid isoscel	Zmeu
Două perechi de unghiuri adiacente de aceeași măsură	Două perechi de laturi adiacente de lungime egală
O pereche de laturi adiacente de lungime egală	O pereche de unghiuri adiacente de aceeași măsură
O axă de simetrie care trece prin două laturi opuse	O axă de simetrie care trece prin două unghiuri opuse
Cerc circumscris	Cerc inscris

Tipul dualității

Dualitatea proiectivă

În dualitatea proiectivă , dualul unui punct este un segment, iar cel al unei linii este un punct - deci dualul unui poligon este un poligon, cu laturile poligonului original care corespund punctelor dualului său și invers.

Din punctul de vedere al curbelor duale , unde în toate punctele curbei, tangenta este asociată cu acest punct. Dualul proiectiv poate fi interpretat după cum urmează:

• Toate punctele de pe o parte a unui poligon au aceeași tangentă care corespunde laturii în sine - toate desenează același vârf al poligonului dual;
• La nivelul vârfurilor, „tangențele” acestui vârf sunt toate segmentele (diferite de cele două vârfuri) care trec prin acest punct - punctul dual al acestor linii este apoi vârful poligonului dual.

Combinatorial

Combinator, un poligon poate fi definit ca un set de laturi, un set de vârfuri și o relație de incidență (în cazul în care vârfurile și laturile se ating reciproc): două vârfuri adiacente determină o latură și, în mod dual, 2 laturi adiacente determină o top. Apoi poligonul dual se obține inversând laturile și vârfurile.

Deci, pentru un triunghi cu vârfuri (A, B, C) și ca laturi (AB, BC, CA), triunghiul dual are pentru vârfuri (AB, BC, CA), iar pentru laturi (B, C, A), unde B conectează AB și BC și așa mai departe.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Dual polygon  ” ( vezi lista autorilor ) .

1. Acreditat în (în) Henry Martyn Cundy și AP Rollett, Mathematical Models , Clarendon Press ,1954, p.  6 și 111.
2. (în) Michael de Villiers Some Adventures in Euclidean Geometry ( ISBN  978-0-557-10295-2 ) , 2009, p. 55.

Link extern

(în) Applet cu poligon dual Don Hatch