Octogon

Octagon regulat


Tip	Poligon regulat
Margini	8
Vârfuri	8

Simbolul Schläfli	{8}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grup de simetrie	Grupa diedrică D 16
Unghiul intern	135 °
Proprietăți	Construibil

Un octogon (din grecescul ὀκτάγωνον oktágōnon , cf. ὀκτώ oktṓ „opt” și γωνία gōnía „unghiul”) este un poligon cu opt vârfuri , deci opt laturi și douăzeci de diagonale .

Suma unghiurilor interioare ale unui uncrossed octogon este egal cu $6 π rad$ , sau 1.080 ° .

Octagon regulat

Un octogon regulat este un octogon ale cărui opt laturi au aceeași lungime și ale căror unghiuri interne au aceeași valoare.

Există o stea octogonală obișnuită ( octagramma (in) regulată, notată {8/3} ), dar de obicei, „octogon” se referă implicit octogon regulat convex , notat {8}.

Proprietăți

Pentru un octogon obișnuit cu latura $a$ :

unghiul intern este $3π / 4 rad$ , adică 135 °;
raza a cercului circumscris este ${\ displaystyle R = {\ tfrac {a} {2 \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} {\ text {(rad)}} \ right)}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}} \ simeq 1 {,} 3066 ~ a ~;}$
raza cercului înscris și deci lungimea apotemei este ${\ displaystyle r = {\ tfrac {a} {2}} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = {\ tfrac {a} {2}} (1 + {\ sqrt {2}}) \ simeq 1 {,} 2071 ~ a}$ ( $patul$ este aici funcția cotangentă );
perimetrul este egal cu $8 o$ ;
zona este egală cu ${\ displaystyle 2a ^ {2} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = 2 (1 + {\ sqrt {2}}) ~ a ^ {2} \ simeq 4 {,} 82843 ~ a ^ {2}.}$ Merită, de asemenea ${\ displaystyle 2R ^ {2} {\ sqrt {2}} = 8r ^ {2} {({\ sqrt {2}} - 1)}.}$

Constructie

Conform teoremei lui Gauss-Wantzel și din moment ce 8 este o putere de 2 , octogonul regulat este construibil cu o riglă și o busolă . Este posibilă următoarea construcție:

1: trasează o linie.
2: desenați un cerc al cărui centru este situat pe dreapta.
3: desenați un arc al unui cerc al cărui centru este situat la intersecția liniei și a cercului anterior, cu aceeași rază ca acesta.
4: trasați o linie care trece prin cele două puncte în care cercurile se intersectează.
5: desenați un arc al unui cerc având pentru centru intersecția celor două linii și trecând prin centrul primului cerc.
6: trasați o linie care trece prin intersecția ultimei linii și a ultimului cerc și prin centrul cercului trasat în 2.
7: intersecția cu cercul oferă distanța de raportat pentru fiecare parte a octogonului
8-10: transferați laturile.
11-18: desenați octogonul.

Sau mai simplu:

Desenați un pătrat , desenați diagonalele.
Transportați peste diagonala pe jumătatea laterală a pătratului din fiecare colț.
Urmăriți octogonul tăind colțurile pătratului.

Arhitectură

În regiunea mediteraneană, diverse monumente și iazuri au fost construite pe o formă octogonală: au fost construite mai multe monumente în conformitate cu un plan octogonal, inclusiv Turnul Vanturilor din Atena ( I st și II - lea lea î.Hr.. ) Domul Stâncii în Ierusalimul ( secolul al VII- lea ) sau Castelul Monte din Apulia , proiectat de împăratul Frederic al II-lea, împărat al Sfântului Roman în secolul al XIII- lea . Castel del Monte oferă particularitatea de a se prezenta ca un castel octogonal flancat de opt turnuri octogonale.

Turnul Vanturilor din Atena a inspirat alte monumente: Torre del Marzocco din Livorno ( XV - lea secol ), The Radcliffe Observatorul din Oxford ( XVIII - lea lea ), al mausoleul lui Panayis Vagliano (de) , fondator al Bibliotecii Naționale a Greciei ( Cimitirul West Norwood , Londra ) sau Turnul Vânturilor din Sevastopol , construit în 1849 .

Bazinele octogonale se găsesc ocazional în unele monumente antice, cum ar fi bisericile sau hamamurile din Palatul Imperial al Romei , Baptisteriul Lateran sau hamamul lui Amir Ahmad .

Pentru alchimiști , octogonul este amestecul perfect între pătrat (Omul) și cerc (Divin).

Planul Domului Stâncii .
Harta Castelului Monte .
Octagonal Lodge (Pennsylvania, Statele Unite).

Note și referințe

Vezi și tu

Articole similare

Tabel cu linii trigonometrice exacte
Montmorillon Octagon : capelă romanică
Semnal de stop , semnal de circulație octogonal

linkuri externe

(ro) Eric W. Weisstein , „ Octagon ” , pe MathWorld
(ro) Eric W. Weisstein , „ Trigonometry Angles - Pi / 8 ” , pe MathWorld