Eneagonat

Enneagon regulat
Tip	Poligon regulat
Margini	9
Vârfuri	9
Simbolul Schläfli	{9}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Grup de simetrie	grupa diagonală D 18
Unghiul intern	140 °

Un eneagon , sau nonagon , este un poligon cu 9  vârfuri , deci 9 laturi și 27 de  diagonale .

Suma unghiurilor interioare ale unui uncrossed enneaagon este 7π  radiani , sau 1260 de  grade .

Un eneagon regulat este un eneagon ale cărui nouă laturi au aceeași lungime și ale căror unghiuri interne au aceeași măsură. Există trei: două stele ( eneagramele notate {9/2} și {9/4} ) și una convexă , notată {9}. Despre aceasta din urmă vorbim atunci când vorbim despre „eneagonul obișnuit”.

Caracteristicile eneagonei obișnuite

Dacă latura are lungimea a  :

• fiecare dintre cele 9 unghiuri interne măsoară 7π / 9  rad = 140 °;
• fiecare unghi central măsoară 2π / 9  rad = 40 °;
• raza cercului circumscris estela2păcat⁡(π9) ;{\ displaystyle {\ tfrac {a} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {9}} \ right)}} ~;}
• apotemă (raza cercului inscris ) este ( a / 2) patut (π / 9)  ;
• zona este egală cu9la24cost⁡(π9).{\ displaystyle {\ frac {9a ^ {2}} {4}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {9}} \ right).}

Construirea unui eneagon regulat

Un eneagon regulat nu este construibil doar cu o riglă (nemarcată) și o busolă , deoarece numărul 9 nu îndeplinește condiția teoremei Gauss-Wantzel . Este, pe de altă parte, „  prin neuze  ”, cu o riglă marcată și o busolă.

Pentru a construi un eneagon regulat din care una dintre laturi este segmentul AB, de lungime u, procedăm după cum urmează:

• Să numim D1 linia care conține A și B.
• Desenați cercurile C1 cu centrul A care trece prin B și cercul C2 cu centrul B care trece prin A. Aceste două cercuri se intersectează în două puncte E și F, F fiind punctul demi-planului original D1 în care dorim să localizăm centrul eneagonei.
• Desenați linia D2 care trece prin E și F.
• Desenați cercul C3 cu centrul F care trece prin A.
• Desenați liniile D3 și D4, trecând prin F și, respectiv, prin A și B.
• Marcați regula cu două puncte X și Y distanțate cu u egal cu segmentul AB care este latura triunghiului echilateral.
• Glisați rigla marcată rotind în jurul punctului B și ținând marca X pe D3, cu marca Y între X și B, până când marca Y a riglei este pe cercul C3, la un punct H. Marca X este apoi la o punctul G de pe linia D3.
• Desenați cercul C4 cu centrul B care trece prin G și cercul C5 cu centrul G care trece prin B. Aceste două cercuri se intersectează la I și J, J fiind punctul situat în demi-planul original D5 conținând A.
• Desenați linia D6 care trece prin I și J. Se taie D2 în K.
• Desenați cercul C6 cu centrul K care trece prin A. Trece și prin B, G și J.
• C6 intersectează D2 într-un punct O din semiplanul original D1 conținând K.
• C6 intersectează D4, C1 și C2, în alte puncte decât punctele A sau B, respectiv în L, M și N.
• Desenați linia D7 care trece prin K și H. Se taie C6 la P în semiplanul original D5 conținând N.
• Poligonul ABNPGOLJM este eneagonul dorit.

Demonstrația completă este puțin lungă, dar se referă la geometria elementară.

Arhitectură

Meterezele din Palmanova , Italia , au fost construite de venețieni urmând un plan circular în care cele nouă bastioane ocupă vârfurile unui eneagon obișnuit.

Note și referințe

1. Denis Henrion , Memorii matematice ,1613( citiți online ) , p.  358.
2. Michel Chasles , Prezentare istorică asupra originii și dezvoltării metodelor în geometrie , M. Hayez,1837( citiți online ) , p.  453, 480 și 484.
3. Enciclopedie metodică , matematică , vol. 2, p.  468 .
4. Cuvântul „nonagon” combină un prefix latin și un sufix grecesc.

Vezi și tu

Articole similare

• Legea lui Morrie
• Număr construibil

linkuri externe

• (ro) Eric W. Weisstein , „  Trigonometry Angles - Pi / 9  ” , pe MathWorld
• Eneagon regulat: construcție aproximativă pe geogebratube .org (precizie 0,006%)
• Construcții aproximate la un enneagon obișnuit de către IREM al Universității din Montpellier 2
• Parcela eneagonei (metodă aproximativă) pe locul castelului Mézerville (precizie 1%)