Seria L Dirichlet

În matematică , o serie Dirichlet L este o serie a planului complex utilizat în teoria analitică a numerelor .

Prin extensie analitică , această funcție poate fi extinsă într-o funcție meromorfă pe întregul plan complex.

Este construit dintr-un caracter Dirichlet și, în cazul caracterului banal, funcția Dirichlet L este identificată cu funcția zeta Riemann .

Este numit în cinstea matematicianului german Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet , care a folosit-o pentru a-și demonstra teorema progresiei aritmetice .

Definiție

Fie χ un personaj Dirichlet. Seria Dirichlet asociată L , notată L (, χ), este definită de:

L (s, \ chi) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}

Relația cu funcția Hurwitz zeta și continuarea analitică

Seria L Dirichlet asociat cu un caracter modulo $N$ este o combinație liniară de seturi Hurwitz zeta pentru $q$ $=$ $j$ $/$ $N$ cu $j$ $= 1, 2, ...,$ $N$ . ${\ displaystyle \ zeta (s, q) = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(q + r) ^ {s}}}}$

Mai precis, $fie χ$ un caracter $N$ modulo . Asa de,

{\ displaystyle L (s, \ chi) = {\ frac {1} {N ^ {s}}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ chi (j) \, \ zeta \ left (s , {\ frac {j} {N}} \ right)}

Prin urmare, la fel ca seria ${\ displaystyle \ zeta (\ cdot, q)}$ , seria ${\ displaystyle L (\ cdot, \ chi)}$

converge pe semiplanul numerelor complexe cu o parte reală strict mai mare de 1;
este extins analitic pe planul complex într-o funcție meromorfă cu cel mult un pol , simplu, la punctul 1. Această prelungire se numește funcția L a Dirichlet și este încă notată , iar reziduul său la punctul 1 este: ${\ displaystyle L (\ cdot, \ chi)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} L (\ cdot, \ chi) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ chi (j)}$ .

În special, funcția Dirichlet L a caracterului banal ( N = 1) este funcția zeta Riemann , al cărei reziduu la punctul 1 este, ca și cel al tuturor funcțiilor zeta Hurwitz, egal cu 1. ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ zeta (s, 1)}$

Demonstrație

După frecvența , $\ chi$

{\ displaystyle L (s, \ chi) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (j)} {(j + rN) ^ {s}}} = {\ frac {1} {N ^ {s}}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (j)} {(j / N + r) ^ {s}}} = {\ frac {1} {N ^ {s}}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ chi (j) \, \ zeta \ left (s, {\ frac {j} {N}} \ right)}

de unde

{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} L (\ cdot, \ chi) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ chi (j) \ operatorname {Res} _ {1} \ zeta \ left (\ cdot, {\ frac {j} {N}} \ right) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1} ^ {N } \ chi (j)}

Comportamentul la primul punct

Comportamentul seriilor la punctul 1 este cheia teoremei progresiei aritmetice . Acesta este motivul pentru care Dirichlet definește aceste serii.

Punctul 1 este un pol al funcției L pentru personajul principal, dar nu și pentru celelalte personaje.

Demonstrație

Aici, N desemnează modulul personajelor studiate.

Dacă χ este personajul principal, = φ ( N ) / N > 0. ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} L (\ cdot, \ chi)}$

Dacă χ nu este principal, este ortogonal cu caracterul principal (cf. § „Spațiul hermitian ℂ G ” al articolului „Caracterul unui grup finit” ), adică

(1) \ quad \ sum _ {{j = 1}} ^ {N} \ chi (j) = 0

de aceea .

{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} L (\ cdot, \ chi) = 0}

Pentru orice caracter neprimar, punctul 1 nu este un zero al funcției .

Demonstrație istorică

N desemnează și modulul personajelor studiate.

Există cel mult un caracter a cărui funcție L are 1 pentru rădăcină.
Fie r numărul de caractere a căror funcție L are 1 pentru rădăcină. Celelalte funcții L sunt holomorfe, cu excepția caracterului principal χ 0 , din care 1 este polul ordinului 1. Produsul ψ al tuturor acestor funcții L verifică astfel, pe un disc contond D al centrului 1 al planului complex, un marcarea următoarei forme, pentru un anumit M real : ${\ displaystyle (2) \ quad \ forall s \ in D \ quad | \ psi (s) | \ leq M | s-1 | ^ {r-1}}$ .Cu toate acestea, un calcul (vezi § „produs Eulerian“ al articolului „ caracterul Dirichlet arată“) , în cazul în care U desemnează grupul de unități de ℤ / N ℤ, Û său grup dublu de caractere, P setul de numere prime si s un număr complex de părți reale strict mai mare de 1: ${\ displaystyle \ forall u \ in U \ quad \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} {\ overline {\ chi (u)}} \; \ log \ left (L (s, \ chi) \ right) = \ varphi (N) \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ quad \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {and} } p ^ {k} \ in u} {\ frac {1} {kp ^ {ks}}}}$ .Alegând pentru u elementul neutru al grupului obținem, pentru orice s > 1 real : ${\ displaystyle \ log \ psi (s) = \ sum _ {\ chi \ in {\ widehat {U}}} \ log L (s, \ chi) = \ varphi (N) \ sum _ {p \ in { \ mathcal {P}}} \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {*} {\ text {et}} p ^ {k} \ equiv 1} {\ frac {1} {kp ^ {ks }}} \ in \ mathbb {R} ^ {+} \ quad {\ text {prin urmare}} \ quad \ psi (s) \ in [1, + \ infty [}$ care, luând în considerare (2), demonstrează că r este mai mic sau egal cu 1.
Funcția L a unui caracter nereal nu admite 1 ca rădăcină.
Dacă un caracter χ nu este real și dacă funcția sa L admite 1 ca rădăcină, atunci caracterul său conjugat este diferit de el însuși și funcția sa L admite și 1 ca rădăcină. Lema anterioară arată că această configurație este imposibilă.
Funcția L a unui caracter real neprimar nu are 1 ca rădăcină.
Această demonstrație este mai delicată. A reținut-o pe Dirichlet pentru un an. Cea prezentată aici este opera lui Aleksandr Gelfond și Atle Selberg . Este un raționament al absurdului . Prin urmare, presupunem că χ este un caracter real non-principal și că L (1, χ) este zero.
Fie ( a n ( t )) unde n este un număr întreg strict pozitiv, succesiunea funcțiilor peste] 0, 1 [definită de: ∀nu∈NU∗∀t∈]0,1[lanu(t)=1nu(1-t)-tnu1-tnu{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall t \ in] 0,1 [\ quad a_ {n} (t) = {\ frac {1} {n (1- t)}} - {\ frac {t ^ {n}} {1-t ^ {n}}}} ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall t \ in] 0,1 [\ quad a_ {n} (t) = {\ frac {1} {n (1- t)}} - {\ frac {t ^ {n}} {1-t ^ {n}}}}$ .
- Secvența ( a n ( t )) este pozitivă.
  Observăm că: ${\ displaystyle (1-t ^ {n}) a_ {n} (t) = {\ frac {1-t ^ {n}} {n (1-t)}} - t ^ {n}}$ .Convexitatea funcției exponențiale arată că, dacă ln denotă logaritmul natural : ${\ displaystyle (3) \ quad {\ frac {1-t ^ {n}} {n (1-t)}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ { n-1} t ^ {i} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ exp \ left (\ ln (t ^ {i}) \ right ) \ geq \ exp {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ ln (t ^ {i})} {n}} = \ left (\ prod _ {i = 0} ^ {n-1} t ^ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = t ^ {\ frac {n-1} {2}} \ geq t ^ {n}}$ ,ceea ce arată că secvența ( a n ) este pozitivă.
- Secvența ( a n ( t )) este în scădere.
  Să calculăm a n - a n + 1 : ${\ displaystyle (4) \ quad a_ {n} (t) -a_ {n + 1} (t) = {\ frac {1} {n (n + 1) (1-t)}} - {\ frac {t ^ {n} (1-t)} {(1-t ^ {n}) (1-t ^ {n + 1})}}}$ .Reducerea (3) arată că: ${\ displaystyle (5) \ quad {\ frac {1-t ^ {n}} {n (1-t)}} {\ frac {1-t ^ {n + 1}} {(n + 1) ( 1-t)}} \ geq t ^ {\ frac {n-1} {2}} t ^ {\ frac {n} {2}} \ geq t ^ {n}}$ .Înmulțind inegalitatea (5) cu fracția corectă, obținem: ${\ displaystyle (6) \ quad {\ frac {1} {n (n + 1) (1-t)}} \ geq {\ frac {t ^ {n} (1-t)} {(1-t ^ {n}) (1-t ^ {n + 1})}}}$ .Inegalitatea (6) demonstrează că diferența (4) este pozitivă.
- Seria de termeni generali a n ( t ) χ ( n ) este absolut delimitată de modulul N al caracterului.
  Realizăm o transformare Abel pe serie : ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {n} \ chi (m) - \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} \ chi (m) \ right) = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ left (a_ {n} (t) -a_ {n + 1} (t) \ right) \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ chi (m)}$ .Deoarece secvența ( a n ( t )) este pozitivă și în scădere, valoarea unei n ( t ) - o n + 1 ( t ) este pozitiv și a crescut cu un 1 ( t ) = 1. χ funcție este periodică a perioadei N și (cf. ecuația (1) din caseta derulantă anterioară) suma valorilor sale peste N numere întregi consecutive este zero. Χ ( m ) sunt de modul 0 sau 1, ceea ce arată că suma lor nu depășește niciodată N în modul. Prin urmare, avem: ${\ displaystyle (7) \ quad \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) \ right | \ leq N}$ .
- Seria de termeni generali a n ( t ) χ ( n ) îndeplinește următoarea egalitate: ${\ displaystyle (8) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n} \ chi (n)} {1-t ^ {n}}}}$ .Într-adevăr, prin definiția seriei: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n )} {n (t-1)}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n} \ chi (n)} {1-t ^ {n}}} = {\ frac {L (1, \ chi)} {t-1}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n} \ chi (n)} {1 -t ^ {n}}}}$ sau L (1, χ) se presupune că este zero.
- Seria de termeni generali a n ( t ) χ ( n ) îndeplinește următoarea egalitate: ${\ displaystyle (9) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) = - \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} A ( m) t ^ {m}, \ quad {\ text {cu}} \ quad A (m) = \ sum _ {n | m} \ chi (n)}$ .Într-adevăr, egalitatea (8) arată că: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (t) \ chi (n) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ { n} \ chi (n)} {1-t ^ {n}}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ chi (n) t ^ {n} \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} t ^ {kn} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ chi (n) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} t ^ {kn} = - \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n \ mid m} \ chi (n) \ right) t ^ {m}}$ .
- Funcția A ( m ) este întreagă, este pozitivă și strict pozitivă dacă m este un pătrat perfect .
  χ este un caracter real, deci își ia valorile din mulțimea {–1, 0, 1}, în consecință A ( m ) își ia valorile din numere întregi.
  Fie p un număr prim și k un număr întreg pozitiv. Dacă p împarte N atunci orice putere a lui p, alta decât p 0, are o imagine zero cu χ și A ( p k ) = 1.
  Dacă χ ( p ) este egal cu 1, atunci orice putere a lui p are aceeași imagine cu χ deoarece un caracter este o funcție complet multiplicativă și A ( p k ) este egal cu k + 1.
  În cele din urmă, dacă χ ( p ) este egal cu –1, atunci orice putere a lui p este egală cu χ: 1 dacă exponentul este egal și - 1 altfel. În consecință, A ( p k ) este egal cu 1 dacă k este egal și 0 altfel.
  Prin urmare , orice putere a unui număr prim are o imagine pozitivă sau egală cu zero în A . Este suficient să observăm că A este o funcție multiplicativă pentru a concluziona că imaginile lui A sunt întotdeauna pozitive.
  În cele din urmă, dacă m este un pătrat perfect, atunci A ( m ) este strict pozitiv, ca produs al termenilor de formă A ( p 2 k ), toți strict pozitivi.
- Concluzie
  Există o infinitate de pătrate perfecte. Egalitatea (9) arată că expresia, în modul, poate fi aleasă cât de mare dorim, dacă t este suficient de aproape de 1. Acest rezultat este în contradicție cu limita superioară (7), care încheie demonstrația.

Demonstrație mai rapidă

Să calculăm produsul ψ al tuturor funcțiilor L asociate cu modulul N caractere , pentru Re ( s )> 1:

{\ displaystyle \ psi (s): = \ prod _ {\ chi \ in {\ hat {U}}, p \ in {\ mathcal {P}}} \ left (1- \ chi (p) p ^ { -s} \ right) ^ {- 1} = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ psi _ {p} (s), \ quad {\ text {with}} \ quad \ psi _ {p} (s): = \ prod _ {\ chi \ in {\ hat {U}}} \ left (1- \ chi (p) p ^ {- s} \ right) ^ {- 1}}

Pentru orice p prim nu divizarea N , Not˘am cu d ( p ) și h ( p ) = φ ( N ) / d ( p ) din respectivele comenzi ale imaginii și a nucleului de morfismul χ ↦ χ ( p ), din Û în ℂ *. Apoi, imaginea acestui morfism este grupul de rădăcini d ( p ) -ths de unitate și fiecare dintre aceste rădăcini are antecedente h ( p ), prin urmare

{\ displaystyle \ psi _ {p} (s) = \ prod _ {\ eta ^ {d (p)} = 1} \ left (1- \ eta p ^ {- s} \ right) ^ {- h ( p)}}

Folosind identitatea polinomială și formula binomială negativă , găsim: ${\ displaystyle \ prod _ {\ eta ^ {d} = 1} \ left (1- \ eta X \ right) = 1-X ^ {d}}$

{\ displaystyle \ psi _ {p} (s) = (1-p ^ {- d (p) s}) ^ {- h (p)} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} { h (p) + k-1 \ alege k} p ^ {- kd (p) s}}

Prin urmare,

{\ displaystyle \ psi (s) = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}} {\ text {et}} p \ nmid N} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {h (p) + k-1 \ alege k} p ^ {- kd (p) s} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s} }}}

unde toți $a n$ sunt $numere$ naturale. Deducem două fapte:

abscisa de convergență a acestei serii Dirichlet este egală cu abscisa sa holomorfă (conform unei teoreme a lui Landau , prin pozitivitatea $unui n$ );
această abscisă de convergență este ≥ 0, deoarece $\ psi (0) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} a_ {n}$ divergă întrucât o infinitate de numere întregi naturale $a n$ sunt diferite de zero (de exemplu, deoarece coeficientul lui p - d ( p ) s este h ( p ) și există o infinitate de numere prime).

Prin urmare, abscisa holomorfă a lui ψ este diferită de $-\infty$ , deci ψ nu poate fi extinsă într-o funcție întreagă . Prin urmare, printre caracterele modulo N , nu există nici o χ a cărei funcție L poate admite 1 pentru rădăcină și astfel ajunge să compenseze polul simplu al funcției L a personajului principal.

Zero de funcții L Dirichlet

Dacă χ este un caracter primitiv cu χ (–1) = 1, atunci singurele zerouri din L ( s , χ) cu Re ( s ) <0 sunt numere întregi negative. Dacă χ este un caracter primitiv cu χ (–1) = –1, atunci singurele zerouri din L ( s , χ) cu Re ( s ) <0 sunt numere întregi impare negative.

În afară de existența posibilă a unui zero Siegel , multe rezultate similare funcției zeta Riemann sunt cunoscute pe regiunile zero-zero ale tuturor funcțiilor Dirichlet L, la stânga dreapta Re ( s ) = 1.

Generalizată Riemann Ipoteza este generalizarea funcțiilor L Dirichlet ale ipotezei Riemann asupra funcției zeta.

Ecuația funcțională

Să presupunem că χ este un caracter primitiv al modulului k . Definire

\ varepsilon (s, \ chi) = \ left ({\ frac {\ pi} {k}} \ right) ^ {{- (s + a) / 2}} \ Gamma \ left ({\ frac {s + a} {2}} \ right) L (s, \ chi),

unde $Γ$ denotă funcția gamma și simbolul $a$ este dat de

a = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} \ chi (-1) = 1, \\ 1 & {\ mbox {si}} \ chi (-1) = - 1, \ end { cazuri}}

avem ecuația funcțională

\ varepsilon (1-s, \ overline {\ chi}) = {\ frac {{\ mathrm i} ^ {a} k ^ {{1/2}}} {\ tau (\ chi)}} \ varepsilon ( s, \ chi),

unde $τ$ denotă suma Gauss :

\ tau (\ chi) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {k} \ chi (n) \ exp (2 \ pi {\ mathrm i} n / k).

Notă: $| τ (χ) | = k 1/2$ .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Dirichlet L-function ” (a se vedea lista autorilor ) .

Cu alte cuvinte, pentru caractere non-principale: funcția L asociată este o funcție întreagă . Vezi și Pierre Colmez , Elemente de analiză și algebră (și teoria numerelor) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , citit online ) , p. 291, Teorema VII.4.4. De asemenea, putem arăta - dar nu este util aici - că seria converge spre prelungirea sa holomorfă pe semiplanul Re ( s )> 0, ca orice serie Dirichlet ∑ a n / n s al cărui set de sume a 1 + ... + a n este delimitat.
Colmez 2009 , p. 292.

Vezi și tu

Articol asociat

Formula lui Perron

Bibliografie

Jean-Benoît Bost , Pierre Colmez și Philippe Biane , La fonction Zêta , Paris, Éditions de l'École polytechnique,2002, 193 p. ( ISBN 2-7302-1011-3 )
(ro) Harold Davenport , teoria numerelor multiplicativ , 3 - lea ed., Springer, 2000 ( ISBN 0387950974 )
(ro) AA Karatsuba , Teoria de bază a numerelor analitice , Springer, 1993 ( ISBN 978-0-387-53345-2 )
(ro) Richard J. Mathar, „ Table of Dirichlet L-series and Prime Zeta ”,2010( arXiv 1008.2547 )
(en) SJ Patterson (de) , Introducere în teoria funcției Zeta Riemann , Cambridge University Press, 1995 ( ISBN 978-0-521-49905-7 )

linkuri externe

(ro) Infinit multe prime, cu analiza lui Andrew Granville și Kannan Soundararajan , Université de Montréal
Elemente de analiză și algebră de Pierre Colmez
(ro) Teorema lui Dirichlet privind primii în progresia aritmetică , Instruirea IMO 2006-2007