Constanta Legendre
Constanta Legendre este o constantă matematică propusă de matematicianul Adrien-Marie Legendre și care în prezent are doar un singur interes istoric.
Legendre presupune în 1808 o formă precisă a ceea ce va fi numit mai târziu teorema numărului prim . El scrie: „Deși succesiunea numerelor prime este extrem de neregulată, totuși se poate găsi cu o precizie foarte satisfăcătoare, câte dintre aceste numere există de la 1 până la o limită dată x . Formula care rezolvă această întrebare este
y=XButuruga.X-1,08366{\ displaystyle y = {\ frac {x} {\ log .x-1.08366}}}Buturuga. x fiind un logaritm hiperbolic. Cu alte cuvinte, Legendre afirmă că
π(X)=XButuruga(X)-LA(X){\ displaystyle \ pi (x) = {\ frac {x} {\ log (x) -A (x)}}}unde
și unde π ( x ) denotă funcția de numărare a numerelor prime mai mici decât x .
limX→∞LA(X)=1,08366,{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} A (x) = 1 {,} 08366,}
Numărul , care există, se numește constanta lui Legendre . Dar valoarea sa nu este cea asumată de Legendre.
LA: =limX→∞LA(X){\ displaystyle A: = \ lim _ {x \ to \ infty} A (x)}
În 1849, Tchebycheff a demonstrat că, dacă există limita, aceasta trebuie să fie egală cu 1. O dovadă mai simplă este dată de Pintz în 1980.
Aceasta este o consecință imediată a teoremei numerelor prime (care fusese demonstrată în 1896 independent de Jacques Hadamard și de Charles-Jean de La Vallée Poussin ), în forma mai precisă demonstrată în 1899 de La Vallée Poussin.
π(X)=Leu(X)+O(Xe-laButurugaX)cand X→∞,{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {Li}} (x) + O \ left (x \ mathrm {e} ^ {- a {\ sqrt {\ log x}}} \ right) \ quad { \ text {when}} x \ to \ infty,}decât
π(X)=XButurugaX+X(ButurugaX)2+o(X(ButurugaX)2),{\ displaystyle \ pi (x) = {\ frac {x} {\ log x}} + {\ frac {x} {(\ log x) ^ {2}}} + o \ left ({\ frac {x } {(\ log x) ^ {2}}} \ right),}
și, prin urmare, că A există și este egal cu 1.
Referințe
-
A.-M. Legendre, Eseu despre teoria numerelor, Paris, Courcier 1808, p. 394 .
-
(de la) Edmund Landau , Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen , Chelsea,1974, p. 17( Ediția a 3- a . Corectat, 2 vol. Unul).
-
(în) J. Pintz , ' „s premium este numărul Legendre formula " , Amer. Matematica. Lunar , vol. 87,1980, p. 733-735.
-
„ Despre distribuirea zerourilor funcției ζ ( s ) și consecințele sale aritmetice ”, Bull. Soc. Matematica. Pr. , Vol. 24,1896, p. 199-220 ( citiți online ).
-
" Cercetări analitice asupra teoriei numerelor prime ", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , vol. 20,1896, p. 183-256 și 281-361.
-
La Vallée Poussin, C. Mém. Acad încoronat . Roy. Belgia , vol. 59, 1899, p. 1-74 .