În matematică , seria armonică este o serie de numere reale . Este seria de inversele de non-zero , numere întregi naturale . Își ia numele prin analogie cu media armonică , în același mod în care seriile aritmetice și geometrice pot fi comparate cu mijloacele aritmetice și geometrice .
Face parte din familia mai mare a seriilor Riemann , care sunt folosite ca serii de referință: natura unei serii este adesea determinată prin compararea ei cu o serie Riemann și prin utilizarea teoremelor de comparație .
Termenul general ( u n ) al seriei armonice este definit de
.Numit al n -lea număr armonic (notat în mod convențional H n ) suma n -a parțială a seriei armonice, care este, prin urmare, egală cu
.Calculând primele sume parțiale ale seriei armonice, se pare că secvența numerelor obținute crește , dar crește încet: se poate crede că este o serie convergentă .
Valoarea n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Valoarea aproximativă a lui H n | 1 | 1.5 | 1.8 | 2.1 | 2.3 | 2.5 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.9 | 3.0 | 3.1 | 3.2 | 3.25 | 3.32 | 3.38 | 3,44 | 3,49 | 3,55 | 3.60 |
De fapt, seria armonică divergă , sumele sale parțiale tind spre + ∞ .
Valoarea n | 10 | 10 2 | 10 3 | 10 4 | 10 5 | 10 6 | 10 7 | 10 8 | 10 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Valoarea aproximativă a lui H n | 2.9 | 5.2 | 7.5 | 9.8 | 12.1 | 14.4 | 16.7 | 19.0 | 21.3 |
În tabelul de mai sus, de fiecare dată când înmulțim valoarea lui n cu 10, se pare că adăugăm o constantă la H n , de ordinul 2,3 ≃ ln (10) . Acest comportament aparent este logaritmic în n . Aceasta este ceea ce obținem făcând un studiu asimptotic suplimentar.
Prima demonstrație a divergenței seriei armonice se datorează lui Nicole Oresme , publicată în Questiones super geometriam Euclidis (1360). Constă în a observa că:
H 4 = 1 +12 + (13 + 14) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) = 1 + 12 + 12 H 8 = 1 +12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ≥ 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12și așa mai departe, H-urile de index o putere de 2 crescând la nesfârșit.
Putem arăta, de asemenea, că secvența ( H n ) tinde spre + ∞ notând că pentru toate n , H 2 n - H n ≥12, astfel încât această continuare nu este o continuare a lui Cauchy .
De asemenea, putem compara seria armonică cu o serie telescopică bine aleasă .
.Apoi este termenul general al unei serii divergente, cu termeni pozitivi, deci, prin comparație , și seria armonică divergă.
Putem arăta, de asemenea, rezultatul folosind metoda de comparație serie-integrală (acesta este ceva ascuns, în plus, în alegerea „judicioasă” a seriei telescopice).
Toți termenii dezvoltării asimptotice pot fi obținuți, de exemplu, prin metoda de comparație serie-integrală .
Folosim următorul cadru, legat de scăderea funcției inverse
Sumând inegalitatea din stânga de la 1 la N și, pentru cea dreaptă, însumând de la 2 la N și adăugând 1, ajungem la
Apoi, calculând cei doi membri și observând că ambii sunt echivalenți cu ln N , obținem:
Secvența ( H n - ln n ) admite o limită finită care este notată în mod tradițional cu litera greacă γ și numită constantă Euler-Mascheroni . Prin urmare, avem formula lui Euler :
.Primele șase cifre ale expansiunii zecimale a constantei lui Euler sunt:
Metoda este detaliată în articolul comparării seriilor integrale și generalizată la alte serii (obținând formula Euler-Maclaurin ); primii termeni de dezvoltare sunt
Termenul general ( u n ) al seriei armonice alternative este definit de
Prin urmare, este o variantă a seriei armonice. Alternanța semnelor schimbă totul, deoarece această serie converge, prin criteriul de convergență al seriei alternative . Putem folosi formula lui Euler de mai sus pentru a-i dovedi din nou convergența și a determina suma:
.Singurele numere armonice zecimale sunt H 1 = 1 , H 2 = 1,5 și H 6 = 2,45 .
Pentru orice număr prim p ≥ 5 , numărătorul lui H p –1 este divizibil cu p 2 .
Pentru mai multe proprietăți, consultați articolul detaliat.
Seria armonică apare în multe probleme matematice recreative , unde divergența sa lentă duce la rezultate contraintuitive și chiar paradoxale.
În problema stivuirii blocurilor , un calcul atent arată că este teoretic posibilă stivuirea unui arc format din dominouri identice pentru a obține o surplusă cât de largă se dorește, surplusul obținut din domino-uri de lungime 2 fiind al -th-lea număr armonic
La fel, în problema furnicii de pe o bandă de cauciuc , în timp ce furnica se mișcă înainte cu un centimetru pe minut, iar elasticul care măsoară inițial un metru, este întins cu un metru pe secundă, furnica va ajunge în cele din urmă la celălalt capăt: fracțiunea de panglică pe care o parcurge în n secunde este , iar seria fiind divergentă, acest număr va ajunge în mod necesar să depășească 1 (cu toate acestea, timpul de traversare este disproporționat de lung, de ordinul e 6000 secunde, adică mai mult de 10 2000 de ani ).
Seria armonică apare și în problema trecerii deșertului , unde un jeep trebuie să traverseze un deșert având posibilitatea de a depune combustibil pe drum; distanța care poate fi parcursă este cât de lungă doriți, dar numărul depozitelor (și cantitatea de combustibil consumat) crește exponențial odată cu distanța.