Numerele primilor gemeni

În matematică , doi primi gemeni sunt două numere prime care diferă doar cu 2 . Cu excepția cuplului ( 2 , 3 ), această diferență între numerele prime ale lui 2 este cât se poate de mică. Cele mai mici numere prime gemene sunt 3 și 5 , 5 și 7 , 11 și 13 .

În octombrie 2019, Cele mai mari numere prime cunoscute gemene, descoperite în 2016 , ca parte a PrimeGrid distribuite de calcul a proiectului , sunt 2.996.863.034.895 × 2 1290000 ± 1; au 388.342 cifre în scriere zecimală .

Conform conjecturii numerelor prime gemene , există o infinitate de numere prime gemene; observațiile numerice și raționamentul euristic justifică presupunerea, dar nu s-a făcut încă nicio demonstrație.

Definiție

Fie p și q două numere prime . Spunem că ( p , q ) formează o pereche de primi gemeni dacă q = p + 2.

Lista primelor numere prime gemene

Secvența de perechi de numere prime gemene până la 1000:

( 3 , 5 )	( 5 , 7 )	( 11 , 13 )	( 17 , 19 )	( 29 , 31 )
( 41 , 43 )	( 59 , 61 )	( 71 , 73 )	( 101 , 103 )	( 107 , 109 )
( 137 , 139 )	( 149 , 151 )	( 179 , 181 )	( 191 , 193 )	( 197 , 199 )
( 227 , 229 )	( 239 , 241 )	( 269 , 271 )	( 281 , 283 )	( 311 , 313 )
(347, 349)	(419, 421)	(431, 433)	(461, 463)	(521, 523)
(569, 571)	(599, 601)	(617, 619)	(641, 643)	(659, 661)
(809, 811)	(821, 823)	(827, 829)	(857, 859)	(881, 883)

Unele proprietăți

Perechea (2, 3) este singura pereche de numere prime consecutive.
Dacă omitem perechea (2, 3), cea mai mică distanță posibilă între două numere prime este 2; două numere prime gemene sunt astfel două numere impare consecutive.
Orice pereche de gemeni gemeni, cu excepția perechii (3, 5), are forma (6 n - 1, 6 n + 1) pentru un număr întreg n . Într-adevăr, orice triplet de numere întregi consecutive cuprinde cel puțin un multiplu de 2 (posibil doi) și un singur multiplu de 3; numărul întreg dintre cele două prime gemene este atât acest multiplu de 2, cât și acest multiplu de 3, deoarece nu poate fi unul dintre numerele prime.
Pentru orice număr întreg m ≥ 2, perechea ( m , m + 2) este formată din primii gemeni dacă și numai dacă 4 [ ( m - 1)! + 1] + m este divizibil cu m ( m + 2). Această caracterizare a numerelor prime gemene, observată de PA Clement în 1949 , rezultă din teorema lui Wilson .
În timp ce seria de inversele de numere prime este divergente, asigurarea seria de inversele de numere prime gemene este convergentă (către un număr numit constant Brun ). Această proprietate a fost demonstrată de Viggo Brun în 1919.

Înregistrări

15 ianuarie 2007, cele două proiecte de calcul distribuite Twin Prime Search și PrimeGrid au descoperit cea mai mare pereche de gemeni cunoscuți la acea vreme, cu 58.711 cifre în scriere zecimală. Descoperitorul a fost francezul Éric Vautier.

În septembrie 2016, Cuplul de înregistrare este 2.996.863.034.895 × 2 1,290,000 ± 1; ambele numere au 388.342 cifre.

Conjectura numerelor prime gemene

Conjectura numerelor prime gemene afirmă că există o infinitate de numere prime gemene:

Există o infinitate de numere prime p astfel încât p + 2 este, de asemenea, prim.

Această conjectură împărtășește cu ipoteza Riemann și Goldbach conjectura numărul 8 al problemelor lui Hilbert , afirmate de acesta din urmă în 1900. Deși majoritatea cercetătorilor din teoria numerelor cred că această conjectură este adevărată, nu a fost niciodată demonstrată. Ele se bazează pe observații numerice și raționamente euristice folosind distribuția probabilistică a numerelor prime.

În 1849, Alphonse de Polignac a emis o conjectură mai generală, conjectura Polignac :

Orice număr par este egal cu diferența a două numere prime consecutive într-un număr infinit de moduri.

al cărui caz n = 2 corespunde conjecturii numerelor prime gemene.

Există, de asemenea, o versiune mai puternică a acestei conjecturi: prima conjectură Hardy-Littlewood (cf. infra), care oferă o lege a distribuției primelor gemene și care este inspirată din teorema numărului prim .

Conjectura primă twin este un caz special al conjecturii Schinzel .

Rezultate parțiale

În 1940, Paul Erdős a demonstrat existența unei constante pozitive c <1 pentru care mulțimea numerelor prime p astfel încât p ' - p < c ln ( p ) este infinită, unde p' denotă numărul prim imediat după p .

Acest rezultat a fost îmbunătățit de mai multe ori; în 1986, Helmut Maier a arătat că c poate fi ales mai puțin de 1/4. În 2005, Daniel Goldston , János Pintz și Cem Yıldırım au demonstrat că c poate fi ales în mod arbitrar mic.

Mai mult, în 1966, Chen Jingrun a demonstrat existența unei infinități de „ numere prime Chen ”, adică a numerelor prime p astfel încât p + 2 este prim sau semi-prim (un număr semi-prim -prim este produsul a două numere prime). Abordarea sa este cea a teoriei sitei , pe care a folosit-o pentru a trata în mod similar conjectura primă twin și conjectura Goldbach (a se vedea teorema lui Chen ).

Din 2009, în urma descoperirii unei optimizări a sitei Eratostene , Zhang Yitang stabilește că există o infinitate de numere prime consecutive a căror deviere este mai mică de 70.000.000, rezultat care constituie o formă slabă a conjecturii prime gemene. Rezultatul lui Zhang a fost publicat în Annals of Mathematics . La început, a fost dificil să găsim corectori care doresc să evalueze lucrarea.

La începutul anului 2013, proiectul Polymath , un proiect de matematică colaborativ condus de Tim Gowers și Terence Tao , a propus reducerea treptată a acestui decalaj N = 70 milioane pentru a-l tinde spre 2: înSeptembrie 2013diferența a fost redusă la N = 4.680.noiembrie 2013, o îmbunătățire semnificativă a acestor rezultate este anunțată independent de James Maynard și Terence Tao: nu numai că diferența dintre două prime consecutive este mai mică sau egală cu 600 infinit de des, dar un rezultat echivalent este valabil pentru m primii consecutivi, oricare ar fi sau m ≥ 2. O nouă îmbunătățire este anunțată de proiectul Polymath (secțiunea Polymath8) la începutul anului 2014: pe de o parte, diferența ar fi mai mică de 270 infinit de des, pe de altă parte, presupunând o versiune generalizată a conjecturii d ' Elliott-Halberstam , decalajul ar fi atunci mai mic sau egal cu 6. Decalajul necondiționat a fost redus la 246 câteva luni mai târziu, iar apoi proiectul a fost suspendat, deoarece echipa a simțit că au atins limita tehnicilor utilizate.

În 2019, o versiune transpusă în polinoame ireductibile pe un câmp finit a fost dovedită de Sawin și Shusterman: având în vedere un R polinom dat, există o infinitate de perechi de polinoame ireductibile (P, Q) a căror diferență este egală cu R.

Conjectura Hardy-Littlewood

Există, de asemenea, o generalizare a conjecturii numărului prim gemene, cunoscută sub numele de prima conjectură Hardy - Littlewood , legată de distribuția primilor gemeni, prin analogie cu teorema numărului prim . Fie π 2 ( x ) numărul de numere prime p ≤ x astfel încât p + 2 să fie și prim.

Notăm cu C 2 numărul obținut astfel:

C_ {2} = \ prod _ {p \ geq 3} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0.66016 \ ldots

(aici produsul se extinde la setul de numere prime p ≥ 3). C 2 se numește constantă a numerelor prime gemene sau constantă a lui Shah și Wilson .

Apoi, conjectura Hardy-Littlewood este formulată după cum urmează:

\ pi _ {2} (x) \ sim 2C_ {2} \ int _ {2} ^ {x} {{\ rm {d}} t \ over (\ ln t) ^ {2}}

(ceea ce înseamnă că coeficientul celor două expresii tinde spre 1 când x tinde spre infinit).

Deoarece cel de-al doilea membru are o limită infinită pe măsură ce x se apropie de infinit, această conjectură ar arăta că numărul primelor gemene este într-adevăr infinit.

Această presupunere poate fi justificată (dar nu dovedită) presupunând că 1 / ln ( t ) este funcția de densitate a distribuției numerelor prime, o ipoteză sugerată de teorema numărului prim. Această conjectură este un caz special al unei conjecturi mai generale numite conjectura prim-tuplă Hardy-Littlewood folosită în cercetările asupra conjecturii Goldbach .

Note și referințe

„ Recordul mondial al primelor gemene găsite! " ,14 septembrie 2016(accesat la 13 octombrie 2019 )
(în) Suite A001097 din OEIS .
(în) PA Clement , „ Congruențe pentru seturi de prime ” , Am. Math. Lunar , vol. 56,1949, p. 23-25 ( citiți online ).
Viggo Brun , „ Seria 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... unde numitorii sunt „numere prime gemene” este convergent sau finit ”, Bulletin des Sciences Mathématiques , vol. 43,1919, p. 100-104 și 124-128.
(ro) „ Twin Primes ” , în Top Twenty
(în) Y. Zhang, „ Bounded gaps entre premiums ” , Ann. Matematica. , vol. 179,2014, p. 1121-1174.
(în) John Friedlander , „ Numere prime: se găsește în cele din urmă o lacună foarte necesară ” , observă Amer. Matematica. Soc. , vol. 62, nr . 6, iunie 2015( citește online ).
Matematicienii sunt puternici în unitate , Le Monde , 24.06.2013.
(în) „ Bounded gaps entre premiums ” pe Polymath 8 .
(în) Polymath8b: Intervalele limitate cu multe bonusuri, după Maynard , pe blogul Terence Tao.
(în) Anunțarea rezultatului pe blogul Gil Kalai .
(în) DHJ Polymath " Variante ale sitei Selberg și intervale limitate care conțin multe bonusuri " 2014.
(în) „ Variante ale sitei Selberg și intervale mărginite care conțin multe prime ” pe Polymath 8
Lucas Gierczak, „ Primele numere gemene: conjectura avansează ”, Pour la Science , nr . 506,decembrie 2019, p. 8
(în) Will Sawin și Mark Shusterman, " On the Chowla and twin premiums conjecture over ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q} [T]}$ " pe arxiv.org ,7 septembrie 2019(accesat la 5 aprilie 2020 )
Există o a doua conjectură Hardy-Littlewood .
(în) Suite A005597 în OEIS zecimal această constantă.
(în) Eric W. Weisstein , „ Twin Primes Constant ” pe MathWorld .
(în) RM și SM Abrarov Abrarov, " Proprietăți și aplicații ale funcției de detectare primară "2011( arXiv 1109.6557 ) ,p. 8.
François Le Lionnais , Numerele remarcabile , Hermann, 1983, p. 30
(în) Eric W. Weisstein , „ Twin Prime Conjecture ” pe MathWorld .

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

(ro) Introducere în Twin Primes și Constanta lui Brun (Xavier Gourdon, Pascal Sebah)
Lista primelor 20.000 de perechi de gemeni primi
Lista primelor 100.000 de perechi de gemeni primi