Convocarea pe părți
În matematică , formula însumării pe părți (numită uneori transformarea lui Abel sau însumarea lui Abel ) permite transformarea unei sume a unui produs de secvențe finite în alte sume, simplificând adesea calculul și permițând estimarea anumitor tipuri de sume. Este un analog discret al integrării pe părți .
Este la baza criteriului Abel făcând posibilă obținerea semi-convergenței anumitor serii.
Declarație și demonstrație
Dacă și sunt secvențe numerice , formula însumării pe părți este scrisă:(lanu)nu∈NU{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(bnu)nu∈NU{\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
∑k=0nu-1(lak+1-lak)bk=(lanubnu-la0b0)-∑k=0nu-1lak+1(bk+1-bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} -a_ {k} \ right) b_ {k} = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0}) - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k + 1} \ left (b_ {k + 1} -b_ {k} \ right)}
Într-adevăr, pe de o parte prin telescop ,
∑k=0nu-1(lak+1bk+1-lakbk)=(lanubnu-la0b0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ right) = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0})}Și pe de altă parte:
∑k=0nu-1(lak+1bk+1-lakbk)=∑k=0nu-1(lak+1(bk+1-bk)+(lak+1-lak)bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) + (a_ {k + 1} -a_ {k}) b_ {k} \ dreapta)}
Exemplu de aplicare directă
Calculul vă permite să scrieți:(X-1)∑k=0nu-1kXk=∑k=0nu-1k(Xk+1-Xk)=formtulenuXnu-∑k=0nu-1Xk+1=nuXnu-Xnu+1-XX-1{\ displaystyle (x-1) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k (x ^ {k + 1 } -x ^ {k}) {\ overset {formula} {=}} nx ^ {n} - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} x ^ {k + 1} = nx ^ {n } - {\ frac {x ^ {n + 1} -x} {x-1}}}
∑k=0nu-1kXk=(nu-1)Xnu+1-nuXnu+X(X-1)2{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = {\ frac {(n-1) x ^ {n + 1} -nx ^ {n} + x} {( x-1) ^ {2}}}}
Asemănare cu integrarea pe părți
Formula integrării pe părți este scrisă:
∫labf′(X)g(X)dX=[f(X)g(X)]lab-∫labf(X)g′(X)dX.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) g (x) \, {\ rm {d}} x = \ left [f (x) g (x) \ right] _ {a } ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '(x) \, {\ rm {d}} x.}
Dacă se lasă deoparte condițiile limită, se realizează că integrarea pe părți constă în integrarea uneia dintre cele două funcții prezente în integralul inițial ( devine ) și în derivarea celeilalte ( devine ).
f′{\ displaystyle f '}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}g′{\ displaystyle g '}
Suma prin părți constă dintr-o operație analogă într-un context discret , deoarece una dintre cele două serii este însumată ( devine ), iar cealaltă este diferențiată ( devine ).
lanu+1-lanu{\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}bnu{\ displaystyle b_ {n}}bnu+1-bnu{\ displaystyle b_ {n + 1} -b_ {n}}
Putem considera formula de însumare a lui Abel ca o generalizare a acestor două formule.
Reformularea care duce la criteriul Abel
Luați în considerare două apartamente și . Rețineți, pentru toate numerele naturale(lanu)nu∈NU{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(bnu)nu∈NU{\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} NU{\ displaystyle N}
SNU=∑nu=0NUlanubnu și BNU=∑nu=0NUbnu{\ displaystyle S_ {N} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} b_ {n} ~ {\ text {and}} ~ B_ {N} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} b_ {n}}sumele parțiale ale seriei de termeni generali și .
lanubnu{\ displaystyle a_ {n} b_ {n}}bnu{\ displaystyle b_ {n}}
Asa de :
SNU=laNUBNU-∑nu=0NU-1Bnu(lanu+1-lanu){\ displaystyle S_ {N} = a_ {N} B_ {N} - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} B_ {n} (a_ {n + 1} -a_ {n})}.
Criteriul Abel și testul Dirichlet
Următoarea teoremă este o consecință directă a formulei anterioare.
Teorema - Dacă secvența tinde la 0 și secvența este mărginită și dacă seria este absolut convergentă , atunci seria este convergentă .
(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}(Bnu){\ displaystyle (B_ {n})}Σ(lanu+1-lanu){\ displaystyle \ Sigma (a_ {n + 1} -a_ {n})}Σlanubnu{\ displaystyle \ Sigma a_ {n} b_ {n}}
Dovada arată în continuare inegalitatea:
|∑nu=nu0∞lanubnu|⩽M∑nu⩾nu0|lanu+1-lanu|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = {n_ {0}}} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n} \ right | \ leqslant M \ sum _ {n \ geqslant n_ {0}} | a_ {n + 1} -a_ {n} |},
pentru orice M des | superior B n |.
Un caz special este testul Dirichlet , numit uneori și „teorema lui Abel”:
Dacă secvența este monotonă și are o limită zero și dacă secvența este mărginită, atunci seria este convergentă.(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}(Bnu){\ displaystyle (B_ {n})}∑lanubnu{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}
Criteriul de convergență al seriei alternante este ea însăși un sub-caz: dacă este în scădere și a limitei de zero, atunci seria este convergentă.
(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}∑(-1)nulanu{\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} a_ {n}}
Exemple de aplicații
- Secvența este monotonă și are o limită zero, iar seria are sumele sale parțiale limitate deoarece, prin urmare, conform testului Dirichlet, seria converge.(1nu){\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {n}} \ right)}∑păcatnu{\ displaystyle \ sum \ sin n}∑k=1nupăcatk=păcatnu2păcatnu+12păcat12{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sin k = {\ frac {\ sin {\ frac {n} {2}} \ sin {\ frac {n + 1} {2}}} {\ sin {\ frac {1} {2}}}}}∑păcatnunu{\ displaystyle \ sum {\ frac {\ sin n} {n}}}
- La fel, pentru orice număr complex de modul 1 , convergea seria logaritmului complex .z≠-1{\ displaystyle z \ neq -1} ln(1+z)=-∑nu=1∞(-z)nunu{\ displaystyle \ ln \ left (1 + z \ right) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {n}} {n}}}
- Suma prin părți este utilizată în demonstrația teoremei lui Abel pe serii întregi .
Note și referințe
-
Pentru o demonstrație, a se vedea, de exemplu, secțiunea „Criteriul lui Abel” din cursul Wikiversity pe serii.
-
„Teorema lui Abel” , University Online.
-
Pentru un calcul al oricărui real , vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .∑k=1nupăcatkt{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sin kt}t{\ displaystyle t}
-
Vezi de exemplu acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .
Vezi și tu
Articol asociat
Formula de însumare Abel
Link extern
Articol de Niels Henrik Abel din 1826 (inclusiv convocarea pe părți), online și comentat la Bibnum
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">