În teoria numerelor , conjectura Elliott-Halberstam se referă la distribuția numerelor prime în progresii aritmetice . Are multe aplicații în teoria ecranelor . A fost numit în onoarea lui Peter Elliott DTA (în) și Heini Halberstam .
Afirmarea conjecturii necesită unele notații. Noi , de obicei , Not˘am cu π ( x ) numărul de numere prime mai mic sau egal cu x . Dacă q este un număr întreg strict pozitiv și a este prim cu q , se notează cu π ( x ; q , a ) numărul de numere prime mai mici sau egale cu x care sunt congruente cu un modul q . Conform teoremei progresiei aritmetice , când a este prim cu q , avem:
Apoi definim funcția de eroare
unde max este preluat toate o amorse cu q .
Conjectura Elliott-Halberstam este afirmația că pentru toate 0 <θ <1 și toate A > 0, există o constantă C , astfel încât pentru toate x ≥ 2:
Conjectura lui Elliott Haltberstam pentru o valoare de θ este notată EH [θ].
Pentru cazul limitativ θ = 1, știm că această afirmație EH [1] este falsă.
Pentru θ < 1 ⁄ 2 , conjectura EH [θ] a fost demonstrată în anii 1960 de Enrico Bombieri și Askold Ivanovitch Vinogradov : este teorema Bombieri-Vinogradov ; acest rezultat este deja destul de util, fiind o formă medie a ipotezei Riemann generalizate .
Conjectura Elliott-Halberstam ar avea, dacă s-ar dovedi pentru θ <1, câteva consecințe izbitoare. Unul dintre ele este rezultatul lui Daniel Goldston , János Pintz și Cem Yıldırım , care arată că ar exista apoi o infinitate de perechi de numere prime care diferă cu cel mult 16. Maynard a arătat înDecembrie 2013că, în aceeași ipoteză, ar exista apoi o infinitate de perechi de numere prime care diferă cu cel mult 12. În 2014, proiectul Polymath a arătat că prin asumarea unei versiuni generalizate a EH [θ], pentru 0 <θ <1, diferența ar putea fi redusă la 6.