Teorema lui Baker rezolvă conjectura Gelfond . Publicat de Alan Baker în 1966 și 1967, acesta este un rezultat al transcendentei pe logaritmii de numere algebrice , care generalizează atât teorema Hermite-Lindemann (1882) și teorema Gelfond-Schneider (1934).
Această teoremă a fost adaptată cazului numerelor p -adic de Armand Brumer ; Brumer teorema permite să demonstreze Leopoldt conjectura în cazul unui câmp număr abeliene , conform unui articol din Ax.
Noi notăm cu L mulțimea „logaritmilor numerelor algebrice (nu este zero)“, adică numere complexe , a căror exponențială este un număr algebric, și ℚ domeniul numerelor algebrice (The închidere algebrică a câmpului ℚ rațional ).
Dacă n elemente valoarea : 1 , ..., λ n de L sunt ℚ- liniar independente , atunci Ns + 1 elemente 1, X 1 , ..., λ n sunt ℚ -linearly independente.
De exemplu, teorema lui Baker arată transcendența numerelor precum x log (2) + y log (3) + z log (5) pentru toate numerele algebrice x , y , z nu toate zero.
Teorema lui Baker garantează independența liniară peste ℚ a anumitor „logaritmi ai numerelor algebrice”, care este mai slabă decât independența lor algebrică . Următoarea generalizare nu este încă dovedită:
Conjectura independenței logaritmului algebric - Dacă n elemente ale lui L sunt ℚ-liniar independente, atunci ele sunt independente algebric.
Acesta este un caz special al conjecturii lui Schanuel , dar „nici măcar nu știm încă dacă există două numere independente algebric printre logaritmii numerelor algebrice!” " . Într-adevăr, teorema lui Baker exclude orice relație liniară non- trivială între logaritmii numerelor algebrice, dar următorul caz cel mai simplu, care este de a exclude orice relație pătratică omogenă , are ca caz special conjectura celor patru exponențiale (în) , care rămâne deschis.
În mod similar, nu știm cum să extindem teorema lui Brumer într-o dovadă a independenței algebrice (în cadrul p -adic, folosind deci funcția de logaritm p -adic (în) ). Acest lucru ar demonstra conjectura lui Leopoldt pe rândurile p -adice ale unităților din orice câmp numeric .