Curba algebrică

În matematică și mai precis în geometria algebrică , o curbă algebrică este o varietate algebrică (sau o schemă de tip finit ) pe un câmp, ale cărei componente ireductibile sunt de dimensiunea 1. Această definiție este generalizarea modernă a curbelor algebrice clasice , astfel ca conice , definite, în cazul curbelor plane, ca ansamblul punctelor de soluție ale unei ecuații polinomiale.

Definiție și exemple

În forma sa cea mai generală, o curbă algebrică peste un câmp este o varietate algebrică de dimensiunea 1 peste , separată pentru a evita patologiile. Luând în considerare componentele ireductibile prevăzute cu structura redusă, revenim la curbele integrale. Prin compactificare și normalizare, revenim la curbele proiective regulate, care este situația cea mai frecvent abordată. În afară de soiurile algebrice de dimensiune 0 care se reduc la algebre finite pe un câmp, curbele sunt primele soiuri algebrice non-banale. k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

Curbele raționale

Numim curbă rațională , sau chiar curbă unicursală , orice curbă echivalentă bireal unei linii (proiective), pe care o putem identifica cu câmpul fracțiilor raționale cu o nedeterminată, k ( x ). Dacă k este închis algebric, este echivalent cu a fi o curbă de gen zero; cu toate acestea, câmpul R ( x , y ) cu x 2 + y 2  = −1 este o curbă de gen zero care nu este un câmp al funcțiilor raționale.

Concret, o curbă rațională de dimensiune n pe k poate fi parametrizată (cu excepția punctelor izolate excepționale) prin intermediul a n funcții raționale definite prin intermediul unui singur parametru t  ; înmulțind cu numitorii comuni, reducem la n +1 funcții polinomiale într-un spațiu proiectiv.

Primele exemple sunt:

• linia afină ale cărei puncte raționale corespund mulțimii . Este o curbă algebrică afină;LAk1{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {1}}k{\ displaystyle k}
• linia proiectivă ale cărei puncte raționale corespund liniei proiective obișnuite , adică mulțimii de linii din spațiul vectorial . Este cea mai simplă curbă proiectivă.Pk1{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {1}}P1(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} (k)}k2{\ displaystyle k ^ {2}}

Orice secțiune conică definită pe k și având un punct rațional în k este o curbă unicursală, care poate fi parametrizată determinând cealaltă intersecție a curbei cu o linie de pantă t care trece prin punctul rațional, dând un polinom de gradul 2 la k -rational coeficienți având un k -rational rădăcină ; cealaltă rădăcină este deci și rațională.

Să considerăm, de exemplu, elipsa x 2 + xy + y 2  = 1, pentru care (−1, 0) este un punct rațional. Linia de pantă t care trece prin (-1, 0) are ecuația y = t ( x + 1). Înlocuind și rezolvând în x , obținem

X=1-t21+t+t2{\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t + t ^ {2}}}}și, prin urmare  ;y=t(X+1)=t(t+2)1+t+t2{\ displaystyle y = t (x + 1) = {\ frac {t (t + 2)} {1 + t + t ^ {2}}}}

această parametrizare rațională arată că elipsa este o curbă unicursală. Se obțin astfel toate punctele elipsei, cu excepția punctului (−1, 1), care corespunde cu t  = ∞  ; întreaga curbă este, prin urmare, parametrizată de linia proiectivă reală (sau, mai general, de k completată de un punct la infinit; dacă luăm cazul complex, este o parametrizare de către sfera Riemann ).

Aceste parametrizări fac posibilă rezolvarea ecuațiilor diofantine omogene. Astfel, din ecuațiile precedente, obținem

X=1-t2,Da=t(t+2),Z=t2+t+1{\ displaystyle X = 1-t ^ {2}, \ quad Y = t (t + 2), \ quad Z = t ^ {2} + t + 1 \, \!}

iar aceste numere se verifică

X2+XDa+Da2=Z2{\ displaystyle X ^ {2} + XY + Y ^ {2} = Z ^ {2} \, \!} ;

X , Y și Z sunt numere întregi dacă t este întreg, iar setarea anterioară arată că nu există alte soluții întregi. Astfel, aplicând teorema lui Al-Kashi , construim toate triunghiurile cu laturi întregi, dintre care unul dintre unghiuri este de 60 °, ca triunghiul laturilor 3, 7 și 8 (obținut luând t = 2) din 8 2 - 3 × 8 + 3 2  = 7 2 .

Multe alte curbe clasice sunt unicursale; este cazul foliului Descartes , al deltoidului sau al curbelor din Lissajous ; aici este o listă mai completă .

Curbele eliptice

O curbă eliptică poate fi definită ca o curbă algebrică din genul 1 având un punct rațional: toate au ca model comun cubici non-singulari. În acest caz, luăm adesea ca punct rațional un punct de inflexiune la infinit; aceasta echivalează cu scrierea curbei sub forma lui Tate-Weierstrass, a cărei versiune proiectivă este

y2z+la1Xyz+la3yz2=X3+la2X2z+la4Xz2+la6z3.{\ displaystyle y ^ {2} z + a_ {1} xyz + a_ {3} yz ^ {2} = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} z + a_ {4} xz ^ { 2} + a_ {6} z ^ {3}. \, \!}

Curbele eliptice sunt prevăzute cu o structură de grup abelian , punctul distinct fiind elementul neutru al grupului; în modelul cubic, trei puncte sunt suma zero (pentru legea grupului) dacă și numai dacă sunt coliniare. Pentru curbele eliptice definite în planul complex, grupul este izomorf la coeficientul grupului aditiv de complexe prin rețeaua perioadelor fundamentale ale funcției eliptice corespunzătoare.

Curbele de gen> 1

Curbele de gen mai mari de 1 sunt calitativ diferite de cele anterioare. Definită pe numere raționale , teorema lui Faltings arată că acestea pot avea doar un număr finit de puncte raționale; pot fi prevăzute cu o structură hiperbolică . Exemple importante sunt curbele hipereliptice , cuartul Klein și curba Fermat  (în) cu . Xnu+ynu=znu{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}nu≥3{\ displaystyle n \ geq 3}

În toate cele ce urmează, cu excepția ultimei secțiuni, ne vom plasa în cadrul unor curbe proiective ireductibile și netede pe un corp . Știm că acest lucru implică faptul că este regulat . Pentru simplitate, presupunem în continuare că (deci rămâne ireductibil la închiderea algebrică a ). VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}VS{\ displaystyle C}OVS(VS)=k{\ displaystyle O_ {C} (C) = k}VS{\ displaystyle C}k{\ displaystyle k}

Corespondența dintre curbe și corpurile funcționale

Pentru orice curbă (proiectivă regulată și ireductibilă), câmpul său de funcții raționale este un câmp de funcții ale unei variabile. K(VS){\ displaystyle K (C)}

Dacă este un morfism între două curbe (proiective regulate ireductibile), acesta este fie constant, fie dominant . În acest din urmă caz, induce un morfism al câmpurilor funcțiilor raționale care face o extensie finită af:VS→D{\ displaystyle f: C \ to D}f{\ displaystyle f} K(D)→K(VS){\ displaystyle K (D) \ to K (C)}K(VS){\ displaystyle K (C)}K(D).{\ displaystyle K (D).}

Obținem astfel un functor din categoria curbelor proiective regulate ireductibile, ale căror morfisme sunt morfismele neconstante ale -schemelor, la categoria câmpurilor de funcții ale unei variabile, ale căror morfisme sunt morfismele -extensiilor. k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

• Teorema  : functorul de mai sus este o echivalență a categoriilor .

Concret, aceasta înseamnă că datele unei curbe sunt echivalente cu datele din câmpul său de funcții și că datele morfismelor neconstante sunt echivalente cu datele extensiilor finite ale câmpurilor de funcții.

Notă  : dacă nu este perfectă, există câmpuri de funcții ale unei variabile care nu sunt câmpuri ale funcțiilor raționale ale curbelor proiective netede ireductibile. Pe de altă parte, dacă este perfect, nu există nicio distincție între regulat și neted. k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}

Definiție . Adică : un morfism non-constant. Numim gradul de grad al extensiei corespunzătoare a corpului . Un morfism este gradul 1 dacă și numai dacă este un izomorfism. f{\ displaystyle f}VS→D{\ displaystyle C \ to D}f{\ displaystyle f}K(VS)/K(D){\ displaystyle K (C) / K (D)}

Divizoare

Un divizor pe este o sumă finită (formală) cu coeficienți întregi, indexată cu puncte (închise) de . Toate sunt zero, cu excepția unui număr finit. De asemenea, se notează coeficientul . Este evaluarea in . Setul de separatoare formează un grup abelian liber având o bază constând din clase , . Se spune că un divizor este eficient dacă coeficienții implicați sunt toți pozitivi sau zero. VS{\ displaystyle C}D=∑XlaX[X]{\ displaystyle D = \ sum _ {x} a_ {x} [x]}laX{\ displaystyle a_ {x}}X{\ displaystyle x}VS{\ displaystyle C}laX{\ displaystyle a_ {x}}laX{\ displaystyle a_ {x}}vX(D){\ displaystyle v_ {x} (D)}D{\ displaystyle D}X{\ displaystyle x} Z1(VS){\ displaystyle Z ^ {1} (C)}[X]{\ displaystyle [x]}X∈VS{\ displaystyle x \ în C}D{\ displaystyle D}laX{\ displaystyle a_ {x}}

Definim gradul deD{\ displaystyle D} by

deg⁡(D)=∑XlaX[k(X):k]{\ displaystyle \ deg (D) = \ sum _ {x} a_ {x} [k (x): k]}

unde este câmpul rezidual la , extensie finită prin teorema zero a lui Hilbert . Harta gradelor este un morfism al grupurilor . Nucleul acestui morfism este deci un grup. k(X){\ displaystyle k (x)}Xeu{\ displaystyle x_ {i}}k{\ displaystyle k}Z1(X)→Z{\ displaystyle Z ^ {1} (X) \ to \ mathbb {Z}}Z01(X){\ displaystyle Z_ {0} ^ {1} (X)}

Există un tip deosebit de important de separatoare, divizoarele principale . Aceștia sunt divizorii asociați cu funcții raționale diferite de zero . Prin definiție, unde este ordinea de anulare a in dacă este regulată în și este opusul ordinii sale de pol, dacă nu. (f){\ displaystyle (f)}f∈K(VS){\ displaystyle f \ în K (C)}(f)=∑XordX(f)[X],{\ displaystyle (f) = \ sum _ {x} \ mathrm {ord} _ {x} (f) [x],}ordX(f){\ displaystyle \ mathrm {ord} _ {x} (f)}f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}

Arătăm că fiecare divizor principal este de grad . Setul divizorilor principali formează un subgrup al grupului . Cadrul de către divizorii principali este injectat în , unde este Jacobianul din . Este un izomorfism dacă este închis algebric sau dacă are un punct rațional . 0{\ displaystyle 0}Z01(VS){\ displaystyle Z_ {0} ^ {1} (C)}Peuvs.0(VS){\ displaystyle \ mathrm {Pic} ^ {0} (C)}Z01(VS){\ displaystyle Z_ {0} ^ {1} (C)}J(k){\ displaystyle J (k)}J{\ displaystyle J}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}VS{\ displaystyle C}

Spunem că doi divizori sunt liniar echivalenți dacă diferă de un divizor principal. VS{\ displaystyle C}

În cazul în care este un divizor, asociem cu ea un fascicol inversibil pe după cum urmează: pentru orice afin deschisă a , este egală cu unirea de la 0 cu setul de zero , care nu sunt funcții raționale care îndeplinesc pentru toți . D{\ displaystyle D}OVS(D){\ displaystyle O_ {C} (D)}VS{\ displaystyle C}U{\ displaystyle U}VS{\ displaystyle C}OVS(D)(U){\ displaystyle O_ {C} (D) (U)}f{\ displaystyle f}ordX(f)+laX≥0{\ displaystyle \ mathrm {ord} _ {x} (f) + a_ {x} \ geq 0}X∈U{\ displaystyle x \ în U}

În schimb, orice fascicul inversabil este izomorf pentru unul , fiind unic până la echivalența liniară. OVS(D){\ displaystyle O_ {C} (D)}D{\ displaystyle D}

• Despărțitor canonical Șențul de forme diferențiale de pe este un snop inversabil. Este pachetul cotangent pe . Prin urmare, corespunde unui divizor , unic până la echivalența liniară. Un astfel de divizor se numește divizor canonic al .ΩVS/k{\ displaystyle \ Omega _ {C / k}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}K{\ displaystyle K}VS{\ displaystyle C}

Teorema Riemann-Roch

Teorema Riemann-Roch oferă o estimare a dimensiunii spațiului funcțiilor raționale cu poli controlați de un divizor dat. Acesta este un rezultat fundamental în studiul curbelor algebrice. Concret, vom da noi puncte în , și le - am atribui număr întreg de coeficienți . Fie divizorul suma lui . Atunci este prin definiție setul de funcții raționale zero sau satisfacerea inegalității pentru toți (mai sintetic :) . Este un spațiu vectorial pe câmpul de bază , de dimensiune finită pe care îl notăm . Avem următoarele proprietăți: X1,...,Xr{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {r}}VS{\ displaystyle C}nu1,...,nur{\ displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {r}}D{\ displaystyle D}nueu[Xeu]{\ displaystyle n_ {i} [x_ {i}]}L(D){\ displaystyle L (D)}f{\ displaystyle f}ordXeu(f)≥-nueu{\ displaystyle \ mathrm {ord} _ {x_ {i}} (f) \ geq -n_ {i}}eu{\ displaystyle i}(f)≥-D{\ displaystyle (f) \ geq -D}k{\ displaystyle k}l(D){\ displaystyle l (D)}

• Dacă și sunt liniar echivalente, atunci .D{\ displaystyle D}D′{\ displaystyle D '}l(D)=l(D′){\ displaystyle l (D) = l (D ')}
• l(D)≤1+deg⁡D{\ displaystyle l (D) \ leq 1+ \ deg D}. În special, dacă este negativ.l(D)=0{\ displaystyle l (D) = 0}deg⁡D{\ displaystyle \ deg D}
• l(D)≥1{\ displaystyle l (D) \ geq 1}dacă și numai dacă este liniar echivalent cu un divizor efectiv.D{\ displaystyle D}
• l(D)≥deg⁡D+1-g{\ displaystyle l (D) \ geq \ deg D + 1-g}, În cazul în care este sexul curbei, definită ca . Aceasta este forma slabă a teoremei Riemann-Roch.g{\ displaystyle g}l(K){\ displaystyle l (K)}
• Teorema Riemann-Roch  : Avem egalitate

l(D)-l(K-D)=deg⁡D+1-g.{\ displaystyle l (D) -l (KD) = \ deg D + 1-g.}

• Corolar  :
  • avem  ;deg⁡K=2g-2{\ displaystyle \ deg K = 2g-2}
  • da , atunci .deg⁡D≥2g-1{\ displaystyle \ deg D \ geq 2g-1}l(D)=deg⁡D+1-g{\ displaystyle l (D) = \ deg D + 1-g}

Definiție O curbă hipereliptică este o curbă de gen cel puțin 2, al cărei corp de funcție este o extensie (neapărat separabilă) de gradul 2 al câmpului fracțiilor raționale . Prin urmare, aceasta înseamnă a spune că admite un morfism de versuri de gradul 2 . Fii atent, cu toate acestea, faptul că unii autori numesc mai general curbe hyperelliptic cele care admit o astfel de morfism definit pe închiderea algebrică . k(X){\ displaystyle k (x)}VS{\ displaystyle C}P1{\ displaystyle {\ mathbb {P} ^ {1}}}k{\ displaystyle k}

Exemple

• O curbă proiectivă plană dată de o ecuație omogenă de grad este de gen .nu{\ displaystyle n}(nu-1)(nu-2)/2{\ displaystyle (n-1) (n-2) / 2}
• O curbă hipereliptică corespunzătoare unei extensii (în altă caracteristică decât 2) cu grad de separare , este de gen . O bază a formelor diferențiale este dată de .y2=f(X){\ displaystyle y ^ {2} = f (x)}f(X)∈k[X]{\ displaystyle f (x) \ in k [x]}d{\ displaystyle d}g=[(d-1)/2]{\ displaystyle g = [(d-1) / 2]}dX/y,...,XgdX/y{\ displaystyle dx / y, \ ldots, x ^ {g} dx / y}
• Pe linia proiectivă, împărțitor canonic este liniar echivalent si este orice punct rațional.-2[X]{\ displaystyle -2 [x]}X{\ displaystyle x}

Clasificarea curbelor proiective netede

Un prim invariant pentru a face distincția între curbele algebrice este genul, care, să ne amintim, este dimensiunea spațiului vectorial al formelor diferențiale de pe curbă. Prin urmare, este un număr întreg pozitiv sau zero.

Curbe de gen mic

• Avem dacă și numai dacă este o secțiune conică (nedegenerată). O secțiune conică este izomorfă (ca o varietate algebrică) față de linia proiectivă dacă și numai dacă are un punct rațional. Divizorul canonic pe o curbă de gen 1 este divizorul zero.g(VS)=0{\ displaystyle g (C) = 0}VS{\ displaystyle C}
• Dacă și dacă are un punct rațional, atunci are o structură de curbă eliptică . În cazul general, Jacobian a este o curbă eliptică și este un torsor (spațiu omogen principal) sub ( aproximativ vorbind , funcționează tranzitiv și în mod liber ).g(VS)=1{\ displaystyle g (C) = 1}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C} J{\ displaystyle J}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}J{\ displaystyle J}J{\ displaystyle J}VS{\ displaystyle C}
• Dacă , atunci este o curbă hipereliptică.g(VS)=2{\ displaystyle g (C) = 2}VS{\ displaystyle C}
• Pentru toate , există o curbă de gen . Căci , este suficient să luăm în considerare o curbă hipereliptică definită de cu separabil de grad și sau 0, în funcție de caracteristica 2 sau nu.g≥0{\ displaystyle g \ geq 0}g{\ displaystyle g}g>1{\ displaystyle g> 1}y2+lay=f(X){\ displaystyle y ^ {2} + ay = f (x)}f(X)∈k[X]{\ displaystyle f (x) \ in k [x]}2g+1{\ displaystyle 2g + 1}la=1{\ displaystyle a = 1}k{\ displaystyle k}
• Curbele genului 3 sunt fie hipereliptice pe gardul algebric , fie o curbă plană de gradul 4.k{\ displaystyle k}

Spațiul modulului curbelor genului g

Un spațiu de modul este o varietate algebrică sau mai general o diagramă ale cărei puncte corespund unei clase de obiecte provenind din geometria algebrică. Se spune că un spațiu de modul este bun atunci când reprezintă un functor din categoria soiurilor algebrice din categoria mulțimilor.

Să reparăm corpul de bază și un gen . Putem lua în considerare ansamblul claselor izomorfe ale curbelor genului de pe . Ne arată că există o galerie algebrică integrală, normală și cvasi - proiective pe astfel că există o hartă naturală (naturale înseamnă o compatibilitate cu extensiile de câmpuri de bază), care este un bijectie pe un corp algebric închis. Acest distribuitor este numit spațiul modulului curbelor genului . Este de dimensiunea 0 dacă , de dimensiunea 1 (și chiar izomorfă pentru linia afină) dacă (pe un câmp închis algebric, orice curbă din genul 1 este o curbă eliptică, iar clasa sa de izomorfism este determinată de invariantul modular ). În natură cel puțin 2, este de dimensiune . Din punct de vedere moral, parametrii (și relațiile algebrice) sunt suficiente pentru a descrie setul de curbe de gen . k{\ displaystyle k}g{\ displaystyle g}VSg{\ displaystyle C_ {g}}g{\ displaystyle g}k{\ displaystyle k}Mg{\ displaystyle M_ {g}}k{\ displaystyle k}VSg→Mg(k){\ displaystyle C_ {g} \ to M_ {g} (k)}g{\ displaystyle g}g=0{\ displaystyle g = 0}g=1{\ displaystyle g = 1}j{\ displaystyle j}Mg{\ displaystyle M_ {g}}3g-3{\ displaystyle 3g-3}3g-3{\ displaystyle 3g-3}g{\ displaystyle g}

Se spune că spațiul modulului este grosier, deoarece nu reprezintă functorul curbelor proiective netede ale genului (funcționer care pur și simplu nu este reprezentabil), dar punctele sale pe un câmp închis algebric sunt în bijecție cu mulțimea , iar varietatea este într-o sens minim pentru această proprietate. Mg{\ displaystyle M_ {g}}g{\ displaystyle g}VSg{\ displaystyle C_ {g}}

Rețineți că, spre deosebire de suprafețele topologice, ceea ce precede spune că genul (de la 1) nu determină absolut curba până la izomorfism.

Grup de automorfisme

Orice automorfism al se extinde într-un automorfism al . Prin urmare, ne limităm la curbe peste un câmp închis algebric. VS{\ displaystyle C}VSk¯{\ displaystyle C _ {\ bar {k}}}k{\ displaystyle k}

• Grupul de automorfisme ale liniei proiective este izomorfismul grupului de omografii .PGL2(k){\ displaystyle PGL_ {2} (k)}
• Presupunem genul 1 și desemnați în mod arbitrar un punct . Pentru a evita posibilele confuzii, vom nota cu curba eliptica formată din cu ca element neutru. Deci grupul se încadrează într-o suită exactăVS{\ displaystyle C}X0{\ displaystyle x_ {0}}E{\ displaystyle E}VS{\ displaystyle C}X0{\ displaystyle x_ {0}}LAtut(VS){\ displaystyle \ mathrm {Aut} (C)}

1→LAtut(E)→LAtut(VS)→E(k)→1,{\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Aut} (E) \ to \ mathrm {Aut} (C) \ to E (k) \ to 1,}

ultima săgeată trimitând un automorfism pe . Grupul este în general grupul ciclic de ordinul 2 și poate fi excepțional ciclic de ordinul 4 sau 6. Dacă câmpul este de caracteristica 2 sau 3, acest grup poate fi, de asemenea, de ordinul 12 sau 24. σ{\ displaystyle \ sigma}σ(X0){\ displaystyle \ sigma (x_ {0})}LAtut(E){\ displaystyle \ mathrm {Aut} (E)}

• Dacă este de gen , atunci este un grup finit. Dacă, în plus, câmpul de bază este caracteristic zero, atunci ordinea grupului este mărginită de . În caracteristicile pozitive, această limită liniară nu mai este valabilă. Este necesar să se înlocuiască o legătură polinomială de tip cu o constantă explicită de ordinul 14x16.VS{\ displaystyle C}g>1{\ displaystyle g> 1}LAtut(VS){\ displaystyle \ mathrm {Aut} (C)}84(g-1)=42deg⁡K{\ displaystyle 84 (g-1) = 42 \ deg K}vs.g4{\ displaystyle cg ^ {4}}vs.{\ displaystyle c}
• Dacă și dacă este suficient de general , atunci este banal. Mai exact, există un spațiu deschis dens de spațiu modul, cum ar fi concluzia de mai sus pentru orice curbă care induce un punct în .g>2{\ displaystyle g> 2}VS{\ displaystyle C}LAtut(VS){\ displaystyle \ mathrm {Aut} (C)}U{\ displaystyle U}Mg{\ displaystyle M_ {g}}U{\ displaystyle U}

Plonjați-vă într-un spațiu proiectiv

• Pe un corp infinit, orice curbă proiectivă netedă se cufundă în .P3{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}

Mai canonic:

• • dacă , divizorul canonic induce o încorporare în cazul în care și numai dacă curba nu este hipereliptică (activată ).g>2{\ displaystyle g> 2}Pg-1{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {g-1}}k¯{\ displaystyle {\ bar {k}}}
  • dacă , atunci (care corespunde puterii tensorului ) induce o încorporare a curbei în .g>1{\ displaystyle g> 1}3K{\ displaystyle 3K}ΩVS/k⊗3{\ displaystyle \ Omega _ {C / k} ^ {\ otimes 3}}P5g-6{\ displaystyle {\ mathbb {P}} ^ {5g-6}}

Curbe pe anumite corpuri

Pe numere complexe

Pe corpurile globale

Mordell-Weil, Mordell

Pe corpuri finite

Numărarea punctelor: ipoteza Riemann pe un câmp finit.

Caz general

Regularitate

Fie X o varietate algebrică integrală a dimensiunii 1. Atunci următoarele proprietăți sunt echivalente

• X este normal (adică pentru orice afin U deschis , inelul O X ( U ) este complet închis );
• O X ( U ) este un inel Dedekind pentru orice U afin deschis ;
• inelul local O X, x este un inel de evaluare discret pentru orice punct închis x ;
• X este un soi algebric obișnuit, adică O X, x este un inel local obișnuit pentru orice punct x .

Dacă câmpul de bază k este perfect , aceste proprietăți sunt echivalente cu

• X este non-singular (sau neted), adică după extinderea câmpului de bază până la închiderea algebrică a lui k , soiul este regulat.

Proiectivitate

O curbă algebrică este proiectivă dacă și numai dacă este adecvată. Este adecvat dacă și numai dacă fiecare componentă ireductibilă este adecvată. O curbă ireductibilă este adecvată dacă și numai dacă nu este afină.

Astfel, o curbă algebrică integrală este fie afină, fie proiectivă.

Curbe singulare sau neproiective

Dacă este o curbă algebrică separată, atunci este cvasiproiective. Dacă niciuna dintre componentele sale ireductibile nu este proiectivă, atunci este afină. VS{\ displaystyle C}

O curbă poate prezenta singularități, dacă luăm normalizarea ei , atunci este un morfism finit surjectiv și este o curbă regulată. VS′{\ displaystyle C '}VS′→VS{\ displaystyle C '\ to C}VS′{\ displaystyle C '}

Bibliografie

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">