Ecuația polară
Planul este prevăzut cu un sistem de coordonate ortonormale . Dacă este o funcție numerică, putem considera ansamblul de puncte M pentru care un sistem de coordonate polare satisface ecuația:
(O,eu→,j→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}
f{\ displaystyle f}
(ρ,θ){\ displaystyle (\ rho, \ theta)}
ρ=f(θ){\ displaystyle \ rho = f (\ theta)}
.
Spunem că curba plană în cauză are ecuația polară :
ρ=f(θ){\ displaystyle \ rho = f (\ theta)}.
Dacă , atunci se va plasa punctul M la originea mărcii de referință, deși în orice teorie, nu se mai poate defini unghiul .
ρ=0{\ displaystyle \ rho = 0}
(eu→,OM→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {OM}})}
Dacă o curbă are o ecuație polară și intervalul este inclus în domeniul definiției, restricția curbei la acel interval poate fi parcursă rotind în sens invers acelor de ceasornic de la unghi la altul .
[θ1,θ2]{\ displaystyle \ left [\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ right]}![{\ displaystyle \ left [\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ef1e2b9cf7b01ffa7fdd9629e1c6519202829b)
θ1{\ displaystyle \ theta _ {1}}
θ2{\ displaystyle \ theta _ {2}}
Baza mobilă
Introducem pentru fiecare valoare a θ o bază ortonormală directă , obținută prin rotirea θ de la bază . Asa de
(tu→(θ),v→(θ)){\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} (\ theta), {\ vec {v}} (\ theta) \ right)}
(eu→,j→){\ displaystyle \ left ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ right)}
tu→(θ)=(cosθpăcatθ)v→(θ)=(-păcatθcosθ)=tu→(θ+π2){\ displaystyle {\ vec {u}} (\ theta) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ qquad {\ vec {v}} (\ theta) = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ vec {u}} (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}})}
.
Vom încerca să exprimăm toate noțiunile geometrice folosind această bază. Cu toate acestea, deoarece acești doi vectori depind de θ, nu trebuie să uităm să-i diferențiem și.
dtu→dθ=v→dv→dθ=-tu→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ vec {v}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {v}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ vec {u}}}
Notă: derivarea acestor vectori echivalează cu supunerea lor la o rotație de π / 2.
Vectorul de poziție
Prin definiția coordonatelor polare,
este un vector unitar coliniar și de aceeași direcție ca și așa
tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}
OM→=f(θ)tu→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = f (\ theta) {\ vec {u}}}
.
Împreună cu formulele de derivare ale vectorilor u și v de mai sus, această formulă face posibilă calcularea tuturor obiectelor obișnuite cu geometrie diferențială .
Tangent la curbă
Dacă funcția este diferențiată atunci
f{\ displaystyle f}
dOM→dθ=f′(θ)tu→(θ)+f(θ)v→(θ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {OM}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = f '(\ theta) {\ vec {u}} (\ theta) + f (\ theta) {\ vec {v}} (\ theta)}
.
Dacă acest vector nu este zero, este un vector de direcție al tangentei (T) către curbă în punctul asociat cu . Apoi, pentru orice punct M distinct de origine, unghiul dintre vector și vectorul tangent satisface, așadar:
θ{\ displaystyle \ theta}
V{\ displaystyle V}
OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}dOM→dθ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {OM}}} {\ mathrm {d} \ theta}}}
bronzatV=f(θ)f′(θ){\ displaystyle \ tan V = {\ frac {f (\ theta)} {f '(\ theta)}}}
daca ,
f′(θ)≠0{\ displaystyle f '(\ theta) \ neq 0}
V=±π2{\ displaystyle V = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}
da .
f′(θ)=0{\ displaystyle f '(\ theta) = 0}
Abscisa curbiliniară
Dacă se ia în considerare originea, atunci abscisa curbiliniară , adică lungimea algebrică a curbei dintre punct și , este:
θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}
M(θ0){\ displaystyle M (\ theta _ {0})}
M(θ1){\ displaystyle M (\ theta _ {1})}
∫θ0θ1f′2(θ)+f2(θ)dθ{\ displaystyle \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta _ {1}} {\ sqrt {f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta)}} \ , \ mathrm {d} \ theta}
.
Raza de curbură
Raza de curbură este raza cercului tangenta la (T) și care „cel mai bun“ , se apropie de curba.
Dacă funcția este de două ori diferențiată și dacă nu este zero, raza de curbură este:
f{\ displaystyle f}2f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f″(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}
(f′2(θ)+f2(θ))3/22f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f″(θ){\ displaystyle {\ frac {(f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta)) ^ {3/2}} {2f' ^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f '' (\ theta)}}}
.
Punct de inflexiune
Dacă funcția este de două ori diferențiată, punctele de inflexiune sunt printre punctele care anulează cantitatea . Anularea acestei cantități exprimă, de fapt, că primele două derivate vectoriale ale razei vectoriale sunt coliniare.
f{\ displaystyle f}2f′2(θ)+f2(θ)-f(θ)f″(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}
Ramuri nesfârșite
Pentru a studia ramurile infinite, ne întoarcem la coordonatele carteziene.
Ecuații polare parametrice
Dacă curba este dată de o ecuație polară parametrică r ( t ), θ ( t ), vectorii de viteză și accelerație pot fi calculați în baza în mișcare; se notează cu un punct derivarea în comparație cu parametrul t :
V→=r˙tu→+rθ˙v→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ dot {r}} {\ vec {u}} + r {\ dot {\ theta}} {\ vec {v}}}
;
LA→=(r¨-rθ˙2)tu→+(rθ¨+2r˙θ˙)v→{\ displaystyle {\ vec {A}} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {u}} + (r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}) {\ vec {v}}}
.
Vezi și tu
Rosette , Spiral , Limaçon , lemniscate ...