Grup de clase ideale

În matematică și mai precis în algebră , teoria câmpurilor numerice - extensiile finite ale câmpului ℚ al numerelor raționale - relevă un grup abelian finit construit din fiecare dintre aceste câmpuri: grupul său de clase ideale .

Istoria și originea grupului de clase ideale

Primele grupuri de clase întâlnite în algebră au fost grupuri de clase de forme pătratice : în cazul formelor pătratice binare , al căror studiu a fost făcut de Gauss , o lege a compoziției este definită pe anumite clase de echivalență a formelor. Obținem astfel un grup abelian finit.

Mai târziu , în XIX - lea secol, Kummer a lucrat la o teorie a câmpurilor cyclotomic . Apoi și-a dat seama că există un motiv bun pentru care încercările de a oferi o dovadă completă a cazului general al ultimei teoreme a lui Fermat prin metode simple de factorizare folosind rădăcinile unității eșuează: absența, în general, a unei factorizări prime în inel generată de o rădăcină a unității , a fost un obstacol major. Primul studiu al acestei obstrucții la factorialitate se găsește în lucrarea lui Kummer. Obstrucția obținut prin Kummer este, într -un limbaj contemporan, o parte din grupul de clase ideale: de fapt, Kummer izolat p - torsiune în acest grup, pentru organism, numit cyclotomic, generat de o rădăcină primitivă p - lea al unității , pentru orice număr prim p , și l-a identificat ca fiind motivul eșecului încercărilor clasice de a rezolva problema lui Fermat (a se vedea numărul prim regulat ).

Dedekind a formulat apoi noul concept de ideal . Acest limbaj a oferit un cadru pentru unificarea diferitelor exemple studiate în special de Kummer. S-a arătat că inelul întregilor algebrici ai unui câmp numeric, care nu este întotdeauna factorial (și a fortiori nu principal ), are însă proprietatea că în acest inel (se integrează), orice ideal diferit de zero este produs din idealuri prime ( adică este un inel al lui Dedekind ). Această proprietate este analizată în articolul „ Ideal fracțional ”. Clasa ideală monoidă este un instrument teoretic pentru a studia întrebarea: care idealuri sunt idealurile principale ? Este un grup dacă inelul este de Dedekind și chiar un grup finit în cazul câmpurilor numerice .

Dezvoltare tehnică

Definiție - monoid claselor de un inel comutativ integrează A este coeficientul de monoid non-zero , idealurile A - sau, care dă același coeficient, al ei nenule idealuri fractionale - (furnizat cu multiplicarea , cu A ca element neutru ) prin relația de echivalență

I ~ J când există în A elemente nenule a și b astfel încât aI = bJ .

Demonstrăm - vezi „ Ideal fracțional ” - că acest monoid (comutativ) este un grup (comutativ) dacă și numai dacă A este un inel Dedekind (cum ar fi inelul O K al întregilor algebrici ai unui câmp de numere K ). Apoi se numește grupul de clase de idealuri ale A . În special, monoidul este banal (adică redus la neutru) dacă și numai dacă A este principal.

În acest sens, clasa monoidă măsoară implicit principatul lui A și a fortiori implicit factorialitatea (orice inel principal este factorial, iar inversul este adevărat pentru un inel Dedekind, cf. § „Inel Dedekind” din Inelul principal 'articol ). Principatul și factorialitatea sunt proprietăți ale inelului ℤ al numerelor întregi relative ; grupul de clase oferă o primă indicație a distanței dintre aritmetica acestui inel și cea a inelelor numerelor întregi algebrice.

Orice grup abelian este grupul de clase ale unui inel Dedekind. Numărul de elemente ale grupului de clase ideale (numit număr de clase de A ) poate fi deci infinit în general. Cu toate acestea, dacă A este un inel de numere întregi algebrice incluse într-o extensie finită a lui ℚ, o teoremă afirmă că acest număr este întotdeauna finit. Acesta este unul dintre principalele rezultate ale teoriei clasice a numerelor algebrice. Calculul efectiv al grupului de clase este complex. În general, se poate face manual pentru câmpuri de număr discriminante mici , utilizând proprietățile geometrice ale inelului. Acest rezultat oferă existența unei legături astfel încât, în fiecare clasă de idealuri, există un reprezentant, un anumit ideal, a cărui normă este un număr întreg mai mic decât această legătură. Știind că există doar un număr finit de idealuri ale unei norme date, rămâne doar un număr finit de combinații de testat. Adesea, legătura nu este suficient de bună pentru a face calculul practicabil manual într-un câmp cu un discriminant mare; dar computerele completează efectiv matematicianul în această sarcină.

Pentru a continua studierea aritmeticii inelelor de numere întregi algebrice, este necesar să se introducă un alt grup: grupul de elemente inversabile, numit grupul de unități ; în cazul numerelor întregi relative, acest grup este redus la 1 și –1. Ce unități noi se găsesc în celelalte inele? Existența unor noi unități este un alt obstacol în calea aritmeticii inelelor de numere întregi algebrice care este similară cu cea a lui ℤ.

Aceste două obstacole, grupul de clase și grupul de unități, pot fi corelate după cum urmează: definiți o hartă de la K \ {0} la setul tuturor idealurilor fracționate diferite de A prin trimiterea fiecărui element al câmpului la ideal ( fracțional) principal pe care îl generează. Acesta este un morfism de grup ; său de bază este grupul de unități A și cokernel ei este grupul de clase de idealurile A . Non-banalitatea acestor grupuri, care măsoară distanța dintre aritmetica lui A și cea a lui ℤ, este tocmai defectul izomorf al hărții.

Asocierea cu un inel de numere întregi ale grupului său de clase este funcțională, iar grupul de clase poate fi interpretat în termeni de teorie K algebrică : K 0 ( A ) este functorul care atribuie lui A grupele sale de clase de idealuri; mai precis, K 0 ( A ) = ℤ × C ( A ), unde C ( A ) este grupul de clase. Grupele K n pentru mai mare n poate fi de asemenea folosit și interpretat aritmetic în raport cu inelele întregi.

Exemple de grupuri de clase ideale

Inelele al căror grup de clase este banal sunt inelele principale.

De inele euclidens în parte, ca ℤ inel de întregi sau a unor inele de numere întregi de câmpuri pătratice : ℤ [ $i$ ] ( numere întregi Gaussian , $i$ desemnează unitatea imaginară ), ℤ [ $j$ ] ( numere întregi în Eisenstein , $j$ denotă un cub primitiv rădăcina unității ), ℤ [(√5 + 1) / 2] ( inelul întregilor lui ℚ (√5) ).
Stark-Heegner teorema confirmă lista, conjectured inițial de Gauss, de doar nouă inele de numere întregi de câmpuri pătratice imaginare care sunt principale (acest rezultat este un caz special al problemei numărului de clase ).

Grupul de clase al inelului ℤ [ $i$ √ 5 ] este de ordinul 2.

Configurația generală a grupului de clase ale inelului întregilor unui câmp pătratic este studiată în articolul „ Idealul inelului întregilor unui câmp pătratic ”.

Monoid a claselor ideale ale inelului de polinoame K [ X 0 , X 1 , X 2 , ...] peste un câmp K este numărabilă .

Principiul metodei

Găsirea unui punct de normă mică într-un ideal

Obiectivul principal este de a arăta că grupul de clase al unui câmp numeric K - adică, prin definiție, grupul de clase al inelului O K al întregilor săi algebrici - este finit. Metoda constă în arătarea existenței unei constante c astfel încât fiecare clasă să conțină un ideal de normă mai mic decât c . Pentru a face acest lucru, considerăm un ideal M diferit de zero și căutăm în M un element μ de cea mai mică normă posibilă, în valoare absolută.

Metoda constă în considerarea O K ca un grup aditiv. Dacă d este gradul de extensie K peste ℚ, atunci acest grup este izomorf la o rețea de ℝ d , adică la un grup aditiv compus din vectori cu coordonate în ℤ pe baza une d .

Abordarea aleasă aici se bazează pe utilizarea instrumentelor geometrice; vorbim de geometrie aritmetică . Minkowski Teorema afirmă că orice convex compact , relativ simetric față de vectorul de zero, volum mai mare sau egal cu 2 d ori volumul fundamental al rețelei, conține cel puțin două nenuli puncte ale rețelei. Volumul fundamental este cel al paralelipipedului format din vectori de coordonate între 0 și 1 în baza care definește rețeaua. Această tehnică este ilustrată de figura din dreapta. Câmpul considerat este construit din numerele întregi ale lui ℚ [ $\sqrt -17$ ], rețeaua este imaginea inelului prin morfismul grupurilor care la 1 asociază (1, 0) și la ω, aici egal cu $\sqrt - 17$ , se potrivesc (0, √ 17 ). Ideal este ca multipli de 2 în O K . Volumul fundamental al idealului corespunde zonei dreptunghiului prezentat în roșu, este egal cu 4 √ 17 , discul verde are o suprafață egală cu de 4 ori volumul fundamental, și anume 16 √ 17 . Discul verde, conform teoremei lui Minkowski, conține cel puțin un punct non-nul μ al idealului, de exemplu 4.

Obiectivul este de a obține un număr întreg algebric de normă în sens aritmetic cât mai mic posibil. În cazul în care d este egal cu 2 și dacă câmpul nu este total real , adică dacă este generat de o rădăcină negativă, este întotdeauna posibil să se aleagă o normă geometrică (cea utilizată pentru teorema lui Minkowski) al cărei pătrat este egal la norma aritmetică. Aici, norma aritmetică a numărului întreg algebric μ este egală cu 4 2 + 0 × 17 = 16. Aria discului verde este egală cu 64 √ 17 și, prin urmare, pătratul razei este de aproximativ 5,25. Prin urmare, știm că există un număr întreg algebric μ în idealul M cu o normă aritmetică mai mică sau egală cu 5, deoarece norma unui număr întreg algebric este întreg.

Procesul este analog dacă corpul este total real . Cu toate acestea, dacă d este egal cu 2 și dacă rădăcina se referă la un întreg strict pozitiv (care generează un câmp total real), alegerea rețelei anterioare nu mai este operațională, deoarece norma aritmetică este acum exprimată ca o diferență de două pătrate. Tehnica utilizată constă în asocierea cu baza canonică a inelului (1, ω) punctelor (1, 1) și (ω, ω c ) unde ω c denotă conjugatul lui ω. Figura din stânga ilustrează cazul în care câmpul K este ℚ [ √ 17 ], ω este egal cu (1 + √ 17 ) / 2 și conjugat cu (1 - √ 17 ) / 2. Inelul este alcătuit din numere de forma a + b ω, cu a și b elemente de ℤ. Acest inel este studiat în întregul articol pătratic . Punctele reprezintă imaginile inelului din rețea, punctele roșii reprezintă imaginile idealului M al multiplilor de 2 din inel.

În rețeaua aleasă, norma aritmetică a unui punct corespunde produsului celor două coordonate ale sale, deoarece norma unui întreg pătratic α este egală cu α.α c (cf. articolul „ Normă (teoria corpurilor) ”). Zona punctelor normei aritmetice inferioară, în valoare absolută, la o constantă dată, aleasă egal cu 4 în figură, este reprezentată în albastru. Rețineți că această zonă nu poate corespunde nici unei bile pentru o distanță dată, nici unei suprafețe utilizabile pentru teorema lui Minkowski, de fapt nu este convexă. Convexul care acoperă cel mai bine suprafața albastră este pătratul verde din figură. Corespunde distanței pe care, la ( x , y ), o asociază | x | + | y |. O creștere a normei geometrice oferă pur și simplu o creștere a normei aritmetice, de fapt, dacă (α, α c ) sunt coordonatele imaginii unui număr al idealului și dacă N (α) denotă norma aritmetică a lui α și ||. || norma geometrică definită mai sus:

{\ displaystyle | {\ mathcal {N}} (\ alpha) | = | \ alpha \ cdot \ alpha _ {c} | = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} (| \ alpha | + | \ alpha _ {c} |) ^ {2} - (| \ alpha | - | \ alpha _ {c} |) ^ {2} {\ Big)} \ leq {\ frac {1} {4} } \ | \ alpha \ | ^ {2}.}

Putem aplica aceeași abordare ca în cazul anterior, considerăm discul de suprafață de 4 ori mai mare decât volumul fundamental al idealului, adică a cărui rază pătrată este egală cu de 2 ori volumul fundamental. Acest disc conține un punct non-nul μ al idealului M al cărui pătrat al normei geometrice este mai mic decât dublu față de volumul fundamental, norma sa aritmetică este mai mică de jumătate din volumul fundamental.

Utilizarea punctului normativ mic

Considerăm o clasă C a grupului de clase, vom arăta că conține un reprezentant al normei mai mic decât o constantă c . Această clasă are un invers pentru legea grupului, să fie M un element ideal al acestui invers. Paragraful de mai sus arată că este posibil să se aleagă un nenulă întreg μ algebrică, de mici aritmetică și standardul M . Principalul ideal P generat de μ este inclus în M , ceea ce arată că N = PM -1 este un ideal. Ideal P este principal, este în clasa elementului de identitate, iar N este reversul acelei clase de M , astfel încât în C . Norma lui N este egală cu cea a lui P divizată cu cea a lui M ; această multiplicativitate a normei idealurilor este prezentată în articolul „ Normă (teoria corpurilor) ”.

Având în vedere modul am construit μ, este o constantă c independentă de ideală M ca standard P mai mic de c ori standardul M . Am construit un N ideal în clasa C cu o normă mai mică de c . Deoarece există doar un set finit de idealuri ale unei norme date, am arătat că grupul de clase este finit.

Lucrarea pentru stabilirea dovezii într-un mod riguros constă în definirea aplicației care leagă inelul de o rețea de ℝ d , pentru a construi o normă geometrică adecvată, care să țină cont de cele două configurații precedente, pentru a măsura volumul unei bile de raza r pentru această normă, pentru a aplica teorema lui Minkowski. Apoi este suficient să găsim o creștere adecvată a normei aritmetice a unui întreg algebric a cărui imagine este în minge și să încheiem, ghidat de principiul enunțat în acest paragraf. Articolul detaliat conține o versiune mai simplă a acestei demonstrații, deoarece este limitată la dimensiunea 2.

Demonstrații

Fundaluri

Aici K denotă o extensie finită de ℚ de grad d și ℂ câmpul numerelor complexe. Inelul O K al întregilor algebrici conținut în K este un inel Dedekind și orice ideal este descompus în mod unic într-un produs al idealurilor prime. Acest rezultat se obține prin adăugarea idealurilor atunci numite fracționare, pentru a obține o structură de grup. Aceste proprietăți sunt analizate în articolul detaliat.

K admite un element primitiv notat aici ζ, adică un număr astfel încât orice element al lui K să fie exprimat ca o combinație liniară a puterilor lui ζ, cu coeficienți în ℚ. Polinomul său minim P ( X ) este prin definiție ireductibil. În acest context, K este câmpul de fractură al lui ζ, ceea ce înseamnă că putem considera K drept coeficientul inelului de polinoame ℚ [ X ] de idealul maxim generat de P ( X ). Elementul ζ este apoi exact egală cu clasa X în K . Polinomul P ( X ) nu admite o rădăcină multiplă deoarece este ireductibilă (vezi câmpul perfect ) . Considerat ca un polinom cu valori în ℂ, P ( X ) admite d rădăcini diferite dacă d este dimensiunea lui K sau gradul de P ( X ). Există d încorporări ale lui K în ℂ, termenul încorporare desemnează aici un morfism corporal, neapărat injectiv. Fiecare încorporare se asociază cu ζ o rădăcină a polinomului P ( X ). Dacă, de exemplu, polinomul P ( X ) este egal cu X 3 - 2 , atunci diferitele imagini posibile ale lui ζ sunt 2 1/3 , 2 1/3 $j$ și conjugatul său 2 1/3 $j$ , unde $j$ denotă rădăcina cubic al unității cu o componentă imaginară strict pozitivă. Vom nota cu σ 1 , ..., σ d centru d diferite embeddings de K în ℂ.

Este deja posibil să observați că aceste încorporări nu sunt toate de aceeași natură. Dacă imaginea lui ζ este reală, atunci încorporarea are valori în ℝ. Dacă este complex atunci există o altă încorporare care asociază cu ζ complexul conjugat. Natura încorporărilor sale modifică comportamentul standardului, dacă încorporarea are valori complexe, se găsește într-o configurație similară cu primul caz studiat în paragraful Principiul metodei . Dacă este real, este al doilea caz.

În ceea ce privește fiecare încorporare cu valoare complexă, harta conjugată este, de asemenea, o încorporare, numărul de încorporări complexe este egal. Notăm cu r 1 numărul de încorporări reale și 2 r 2 numărul de încorporări complexe non-reale. Ordonăm indexarea încorporărilor după cum urmează: dacă i variază între 1 și r 1 , încorporarea este reală, atunci încorporarea indicelui r 1 + j dacă j variază de la 1 la r 2 are ca conjugat r 1 + r 2 + j .

Setul K ℝ desemnează spațiul vectorial ℝ r 1 × ℂ r 2 și Σ următoarele morfismul de ℚ- algebre :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ Sigma: & K & \ longrightarrow & K _ {\ mathbb {R}} & \\ & \ alpha & \ mapsto & \ Sigma (\ alpha) & = {\ big (} \ sigma _ {1} (\ alpha), \ cdots, \ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (\ alpha) {\ big)}. \ End {matrix}}}

De asemenea, definim o funcție N ℝ , din K ℝ în ℝ, prin:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ mathcal {N}} _ {\ mathbb {R}}: & K _ {\ mathbb {R}} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} & \\ & x = (x_ {1}, \ cdots, x_ {r_ {1} + r_ {2}}) & \ mapsto & {\ mathcal {N}} _ {\ mathbb {R}} (x) & = | x_ {1 } | \ cdot \; \ cdots \; \ cdot | x_ {r_ {1}} | \ cdot | x_ {r_ {1} +1} | ^ {2} \ cdot \; \ cdots \; \ cdot | x_ {r_ {1} + r_ {2}} | ^ {2}, \ end {matrix}}}

unde $| x k |$ denotă valoarea absolută a lui $x k$ sau modulul său , în funcție de coordonata $x k$ reală sau complexă.

Dacă N K / ℚ denotă funcția care unui element α din K își asociază elementul normativ relativ al lui ℚ, obținem diagrama comutativă :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} & K & {\ xrightarrow {\ Sigma}} & K _ {\ mathbb {R}} \\ {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} & \ downarrow && \ downarrow & {\ mathcal {N}} _ {\ mathbb {R}} \\ & \ mathbb {Q} & {\ xrightarrow {| \ cdot |}} & \ mathbb {R} \ end {matrix }}}

Într-adevăr, norma aritmetică a unui element al lui K este egală cu coeficientul constant al polinomului său minim, cu alte cuvinte cu produsul tuturor rădăcinilor polinomului său minim, dacă se consideră că are valori complexe. One oferă K ℝ cu următoarea norma geometrice :

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ | \ cdot \ |: & K _ {\ mathbb {R}} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} _ {+} & \\ & x & \ mapsto & \ | x \ | & = | x_ {1} | + \ cdots + | x_ {r_ {1}} | +2 | x_ {r_ {1} +1} | + \ cdots +2 | x_ {r_ {1} + r_ {2}} |. \ end {matrix}}}

Rolul coeficientului 2 apare clar în cazul numerelor întregi pătratice, domeniul fundamental al unui y ideal este egal cu discriminantul său dacă inelul este total real (încorporările lui K în ℂ au valori în ℝ) și la jumătate al discriminantului altfel. Coeficientul 2 de aici face posibilă obținerea unei relații simple între volumul fundamental și discriminantul unui ideal.

Discriminantul unei forme biliniară într - un ℤ- modul pe un inel corespunde determinantul unei matrice pe care îl reprezintă. Deoarece endomorfismele inversabile au un determinant care este și inversabil și, prin urmare, egal cu ± 1, o schimbare de bază nu modifică discriminantul. Acest termen se aplică și unui inel de numere întregi algebrice sau unui ideal al inelului. Forma biliniară asociată dă valoarea perechii ( a , b ) ca urmă a hărții liniare care asociază abx cu x , poartă numele de formă de urmă .

Leme tehnice

Următorul marcaj este verificat întotdeauna:

{\ displaystyle \ forall x \ in K _ {\ mathbb {R}} \ quad | {\ mathcal {N}} _ {\ mathbb {R}} (x) | ^ {1 / d} \ leq {\ frac {\ | x \ |} {d}}.}

Această lemă înseamnă pur și simplu că media geometrică este mai mică decât media aritmetică .

Fie δ o lungime, adică un număr real pozitiv:

Volumul V al unei bile cu K ℝ de rază δ este dat de următoarea formulă:

{\ displaystyle V = 2 ^ {r_ {1}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {\ delta ^ {d}} {d !}}.}

Imaginea lui O K în K ℝ este un modul ℤ. Volumul său fundamental este măsura ariei compuse din setul de vectori de coordonate, toate luate în intervalul [0, 1 [dacă baza aleasă este o bază a modulului. Deoarece fiecare izomorfism ℤ-modul are un determinant inversabil în ℤ, izomorfismul are un determinant egal cu ± 1. Astfel, volumul fundamental este independent de alegerea bazei modulului. Acest volum corespunde cu cel al lui K ℝ / Σ ( O K ). Din acest motiv, îl denumim Vol ( K ℝ / Σ ( O K )). A treia lemă tehnică se referă la un volum de această natură:

Fie M un ideal al lui O K , se menține următoarea egalitate:

{\ displaystyle {\ text {Vol}} \ left ({\ frac {K _ {\ mathbb {R}}} {\ Sigma (M)}} \ right) = 2 ^ {- r_ {2}} | { \ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}. {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M).}

Funcția Σ este cea definită în paragraful anterior.

Demonstrații

Următorul marcaj este verificat întotdeauna:

{\ displaystyle \ forall x \ in K _ {\ mathbb {R}} \ quad | {\ mathcal {N}} _ {\ mathbb {R}} (x) | ^ {1 / d} \ leq {\ frac {\ | x \ |} {d}}.}

Această proprietate este o consecință a convexității funcției exponențiale . Dacă a i denotă valoarea absolută sau modulul lui x i , creșterea care trebuie demonstrată este următoarea:

{\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {d} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {d}} \ leq {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {d} a_ {i}} {d}}.}

Pentru a putea utiliza proprietățile de convexitate ale exponențialei, folosim proprietățile logaritmului :

{\ displaystyle \ ln \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {d} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {d}} = {\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ ln (a_ {i}).}

Orice funcție convexă are proprietatea ilustrată în dreapta: imaginea baricentrului prin funcția convexă este mai mică decât baricentrul imaginilor. Coeficientul baricentrului, t în figură, este ales între 0 și 1. Această proprietate este adevărată pentru două puncte, dar și pentru d puncte. Convexitatea exponențialei ne permite să concluzionăm:

{\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {d} a_ {i} \ right) ^ {\ frac {1} {d}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {d }} \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ ln (a_ {i}) \ right) \ leq {\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} \ exp \ circ \ ln (a_ {i}) = \ left ({\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} a_ {i} \ right).}

Observăm că, dacă unul dintre coeficienții a i este zero, dovada nu mai este valabilă. Cu toate acestea, dacă a i este zero, termenul din stânga este zero și cel din dreapta este pozitiv, creșterea este într-adevăr verificată.

Volumul V al unei bile cu K ℝ de rază δ este dat de următoarea formulă:

{\ displaystyle V = 2 ^ {r_ {1}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {\ delta ^ {d}} {d !}}.}

Calculul este rezultatul unei recurențe duble, mai întâi pe r 1 apoi pe r 2 . Să notăm cu V λμδ volumul sferei dacă r 1 este egal cu λ și r 2 la μ și raza δ.

Se verifică următoarea egalitate:

{\ displaystyle V _ {\ lambda, 0, \ delta} = 2 ^ {\ lambda} {\ frac {\ delta ^ {\ lambda}} {\ lambda!}}.}

Mingea are dimensiuni similare cu o matriță 2 de fețe. În dimensiunea 3, este alcătuită din două piramide, dintre care jumătate este prezentată în figura din dreapta. Dacă λ este egal cu 1, egalitatea este verificată, într-adevăr:

{\ displaystyle V_ {1,0, \ delta} = \ int _ {- \ delta} ^ {\ delta} 1 ~ \ mathrm {d} t = 2 \ delta.}

Acest calcul înseamnă a spune că un segment de rază δ este de lungime 2 length. Să presupunem acum că propoziția pentru λ - 1 este stabilită și arătăm-o pentru λ. Integrala utilizată este cea ilustrată în figură. Se calculează doar jumătatea superioară, deoarece volumul jumătății inferioare este același. Integrala se află pe variabila r , care variază de la 0 la δ. Secțiunea obținută prin tăierea mingii de către hiperplanul punctelor primei coordonate egale cu r corespunde zonei albastre. Volumul său este egal cu V λ- 1.0, δ-r . Putem deduce:

{\ displaystyle V _ {\ lambda, 0, \ delta} = 2 \ int _ {0} ^ {\ delta} V _ {\ lambda -1,0, \ delta -r} ~ \ mathrm {d} r. }

Cu modificarea variabilei t = δ - r , obținem:

{\ displaystyle V _ {\ lambda, 0, \ delta} = 2 \ int _ {0} ^ {\ delta} V _ {\ lambda -1,0, t} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {2 ^ {\ lambda}} {\ lambda!}} \ Int _ {0} ^ {\ delta} \ lambda t ^ {\ lambda -1} ~ \ mathrm {d} t = 2 ^ {\ lambda} { \ frac {\ delta ^ {\ lambda}} {\ lambda!}}.}

Atunci este suficient să se trateze cazul complex:

Se verifică următoarea egalitate:

{\ displaystyle V_ {r_ {1}, \ mu, \ delta} = 2 ^ {r_ {1}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {\ mu} {\ frac {\ delta ^ {r_ {1} +2 \ mu}} {(r_ {1} +2 \ mu)!}}.}

De data aceasta, adăugăm discuri la minge. În dimensiunea 3, dacă r 1 și r 2 sunt egale cu 1, partea superioară corespunde cu figura din dreapta. Cercul este de rază δ / 2 deoarece există un coeficient 2 în fața termenilor complecși. O astfel de configurație sugerează utilizarea coordonatelor polare ρ și θ. Continuăm în continuare prin recurență.

Dacă μ este egal cu 0, calculele precedente stabilesc rezultatul. Să presupunem că rezultatul este adevărat pentru ordinea μ - 1 și se arată pentru μ.

{\ displaystyle V_ {r_ {1}, \ mu, \ delta} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ delta / 2} \ rho V_ {r_ {1}, \ mu -1, \ delta - 2 \ rho} ~ \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {2 ^ {r_ {1} +2}} {(r_ {1} +2 \ mu)!}} \ Left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {\ mu} \ int _ {0} ^ {\ delta / 2} (r_ {1} +2 \ mu) (r_ {1} +2 \ mu -1) \ rho (\ delta -2 \ rho) ^ {r_ {1} +2 \ mu -2} ~ \ mathrm {d} \ rho.}

La fel ca înainte, stabilim modificarea variabilei t = δ - 2.ρ:

{\ displaystyle V_ {r_ {1}, \ mu, \ delta} = {\ frac {2 ^ {r_ {1}}} {(r_ {1} +2 \ mu)!}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {\ mu} \ int _ {0} ^ {\ delta} (r_ {1} +2 \ mu) (r_ {1} +2 \ mu -1) ( \ delta -t) t ^ {r_ {1} +2 \ mu -2} ~ \ mathrm {d} t = {\ frac {2 ^ {r_ {1}}} {(r_ {1} +2 \ mu )!}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {\ mu} \ delta ^ {r_ {1} +2 \ mu},}

ceea ce demonstrează propunerea.

Fie M un ideal al lui O K , se menține următoarea egalitate:

{\ displaystyle {\ text {Vol}} \ left ({\ frac {K _ {\ mathbb {R}}} {\ Sigma (M)}} \ right) = 2 ^ {- r_ {2}} | { \ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}. {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M).}

Fie B egal cu ( b i ) pentru i de la 1 la d o bază O K . Să stabilim mai întâi volumul fundamental al lui Σ ( O K ). Este egal cu următorul determinant:

{\ displaystyle {\ text {Vol}} \ left ({\ frac {K _ {\ mathbb {R}}} {\ Sigma ({\ mathcal {O}} _ {K})}} \ right) = \ left | \ det {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {1} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {1} (b_ {d}) \\\ vdots && \ vdots \\\ sigma _ {r_ {1}} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {r_ {1}} (b_ {d}) \\ {\ text {Re}} (\ sigma _ {r_ {1} + 1} (b_ {1})) & \ cdots & {\ text {Re}} (\ sigma _ {r_ {1} +1} (b_ {d})) \\ {\ text {Im}} (\ sigma _ {r_ {1} +1} (b_ {1})) & \ cdots & {\ text {Im}} (\ sigma _ {r_ {1} +1} (b_ {d})) \\\ vdots && \ vdots \\ {\ text {Re}} (\ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (b_ {1})) & \ cdots & {\ text {Re}} (\ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (b_ {d})) \\ {\ text {Im}} (\ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (b_ {1})) și \ cdots & {\ text {Im}} (\ sigma _ {r_ {1} + r_ {2}} (b_ {d})) \\\ end {pmatrix}} \ right |}

Înmulțind matricea anterioară din stânga cu o matrice de blocuri diagonale cuprinzând r 1 1 × 1 matrice egale cu (1) și cu r 2 2 × 2 matrice egale cu:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \\\ end {pmatrix}}}

Obținem următoarea egalitate:

{\ displaystyle {\ text {Vol}} \ left ({\ frac {K _ {\ mathbb {R}}} {\ Sigma ({\ mathcal {O}} _ {K})}} \ right) = 2 ^ {-r_ {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {1} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {1} (b_ {d}) \\\ vdots && \ vdots \\\ sigma _ {r_ {1}} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {r_ {1}} (b_ {d}) \\\ sigma _ {r_ {1} + 1} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {r_ {1} +1} (b_ {d}) \\\ sigma _ {r_ {1} + r_ {2} +1} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {r_ {1} + r_ {2} +1} (b_ {d})) \\\ vdots && \ vdots \\\ sigma _ {r_ {1} + 2r_ {2}} (b_ {1}) & \ cdots & \ sigma _ {r_ {1} + 2r_ {2}} (b_ {d}) \\\ end {pmatrix}} \ right | = 2 ^ {- r_ {2}} | \ det (A) | \ quad {\ text {cu}} \ quad A = (\ sigma _ {i} (b_ {j})).}

Notă ( b ij ) coordonatele transpusa lui A . Este definit de b ij = σ j ( b i ). Avem :

{\ displaystyle ^ {t} A \ cdot A = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {d} b_ {ik} a_ {kj} \ right) = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {d} \ sigma _ {k} (b_ {i}) \ sigma _ {k} (b_ {j}) \ right) = \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {d} \ sigma _ {k} (b_ {i} .b_ {j})) \ right).}

Recunoaștem forma urmelor; putem deduce:

{\ displaystyle \ det (A ^ {2}) = \ det (A) ^ {2} = \ det (^ {t} A \ cdot A) = {\ text {discr}} ({\ mathcal {O} } _ {K}) \ quad {\ text {et}} \ quad | \ det (A) | = | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1 / 2}}

În concluzie, este suficient să se utilizeze următoarea egalitate, demonstrată în articolul „ Urmare formular ”:

{\ displaystyle {\ text {discr}} (M) = {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M) ^ {2} ~ {\ text {discr}} ({\ mathcal {BINE}).}

Teoreme

Odată stabilite cele trei leme, teorema fundamentală:

grupul de clase al oricărui câmp numeric este finit

este relativ ușor de demonstrat. Dovada utilizează rezultatul intermediar:

În orice ideal non-nul M al lui O K , există un element m ≠ 0 astfel încât ${\ displaystyle | {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (m) | \ leq \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {r_ {2} } {\ frac {d!} {d ^ {d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2} {\ mathcal {N} } _ {K / \ mathbb {Q}} (M).}$ Această propoziție este consecința directă a teoremei lui Minkowski și a lemelor precedente. Deducem din ea teorema legăturii lui Minkowski (în) :
Orice clasă de idealuri ale lui O K conține un ideal cu o normă mai mică sau egală cu ${\ displaystyle \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {d!} {d ^ {d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}.}$

Demonstrații

În orice ideal non-nul M al lui O K , există un element m ≠ 0 astfel încât

{\ displaystyle | {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (m) | \ leq \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {r_ {2} } {\ frac {d!} {d ^ {d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2} {\ mathcal {N} } _ {K / \ Q} (M).}

Teorema lui Minskowski indică faptul că o bilă B (δ) cu centrul originii și raza δ conține un element diferit de zero al unei rețele fundamentale de volum v dacă if este astfel încât volumul mingii B (est) este mai mare de 2 d v . Rețeaua care ne interesează este Σ ( O K ), volumul său fundamental este rezultatul calculului uneia dintre lemele anterioare. Volumul mingii B (δ) este dat și de una dintre lemele precedente. În consecință, mingea conține în mod necesar un punct diferit de zero al rețelei Σ ( O K ) dacă următoarea creștere este adevărată:

{\ displaystyle 2 ^ {r_ {1}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {\ delta ^ {d}} {d!} } \ geq 2 ^ {d-r_ {2}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}. {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M).}

Deducem că dacă δ satisface următoarea creștere, există un element diferit de zero m al idealului M în bila B (δ)

{\ displaystyle \ delta ^ {d} \ geq {\ frac {2 ^ {d-r_ {1}} d!} {\ pi ^ {r_ {2}}}} | {\ text {discr}} ({ \ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2} {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M).}

Mai mult, elementul m satisface, conform primei leme și menționând că d - r 1 este egal cu 2 r 2 :

{\ displaystyle | {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (m) | \ leq {\ frac {\ | x \ | ^ {d}} {d ^ {d}}} \ leq {\ frac {\ delta ^ {d}} {d ^ {d}}} \ leq {\ frac {4 ^ {r_ {2}} d!} {\ pi ^ {r_ {2}} d ^ { d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}. {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M),}

ceea ce demonstrează propunerea.

Orice clasă de idealuri ale lui O K conține un ideal cu o normă mai mică sau egală cu

{\ displaystyle \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {d!} {d ^ {d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}.}

Fie C o astfel de clasă, C −1 clasa sa inversă în grup, M un element al lui C −1 și m un element nenul al lui M a cărui normă satisface limita superioară a propoziției precedente. Fractional ideală N : = mM -1 este apoi inclusă în O K , iar produsul său de M este idealul principal generat de m . Acest ideal N aparține deci lui C și (prin multiplicativitatea normei)

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (N) = {\ frac {| {\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (m) | } {{\ mathcal {N}} _ {K / \ mathbb {Q}} (M)}} \ leq \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ right) ^ {r_ {2}} {\ frac {d!} {d ^ {d}}} | {\ text {discr}} ({\ mathcal {O}} _ {K}) | ^ {1/2}.}

In caz contrar :

Pentru orice număr întreg n > 0 , O K are doar un număr finit de idealuri cu norma n.Într-adevăr, întrucât ( O K , +) este un grup de tip finit , are doar un număr finit de subgrupuri normale de index n .

Teorema principală este consecința ultimelor două rezultate.

Conexiuni cu teoria câmpurilor de clasă

Teoria câmpului de clasă este o ramură a teoriei numerelor algebrice , care urmărește să clasifice toate extensiile abeliene de câmpuri numerice date, adică extensiile Galois cu grupul Galois Abelian. În special, un exemplu important se găsește în câmpul clasei Hilbert al unui câmp numeric, care poate fi definit ca extensia abeliană maximă neramificată a unui astfel de câmp. Câmpul de clasă Hilbert L al unui câmp numeric K este unic și are următoarele proprietăți:

Fiecare ideală a unui inel întreg de K devine principal în L , este de a spune că, dacă am este un ideal integrează K , atunci imaginea I este un ideal principal în L .
L este o extensie a Galois K cu un grup Galois izomorf cu grupul de clasă ideală de K .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Ideal class group ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) Luther Claborn, „ Fiecare grup abelian este un grup de clasă ” , Pacific J. Math. , vol. 18, n o 21966, p. 219–222 ( DOI 10.2140 / pjm.1966.18.219 , citiți online ).
Pentru o dovadă mult mai simplă, a se vedea de exemplu (în) Robin Chapman, " Teoria numerelor algebrice, rezumatul evaluării " ,Mai 2000 p. 41-42 sau (en) „ versiunea 2005 ” , p. 42-43 .

Articole similare

Formula numărului de clase (în)
Grup de clasă în sens restrâns (în)