Formă pătratică binară

În matematică , o formă pătratică binară este o formă pătratică - adică un polinom omogen de gradul 2 - în două variabile :

{\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}.}

Proprietățile unei astfel de forme depind într-un mod esențial de natura coeficienților a , b , c , care pot fi de exemplu numere reale sau raționale sau, ceea ce face studiul mai delicat, numere întregi .

Istorie

Fermat a considerat deja formele pătratice binare întregi, în special pentru teorema sa cu două pătrate . Rezoluția altor ecuații diofantine precum cea a lui Pell-Fermat face parte, de asemenea, din teoria lor, al cărei studiu sistematic a fost întreprins de Lagrange în 1773 și 1775 și continuat în 1801 de Gauss , după contribuțiile lui Legendre . Gauss a studiat ca Lagrange întrebările de echivalență și reducere și a introdus compoziția formelor pătratice binare. Această cercetare Gauss a influențat puternic atât teoria aritmetică a formelor pătratice, în plus față de două variabile, cât și dezvoltarea teoriei numerelor algebrice , unde studiul câmpurilor pătratice este extins la cel al câmpurilor numerice .

Forme întregi

O formă pătratică binară q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 se spune că este întreagă dacă coeficienții a , b și c sunt numere întregi relative . Același lucru este să spunem că valorile reprezentate de q - adică q ( x , y ) ca ( x , y ) traversează travers 2 - sunt toate numere întregi . O întrebare clasică este de a descrie setul de numere întregi reprezentate printr-o formă dată și, pentru un astfel de număr întreg, numărul reprezentărilor sale.

O reprezentare primitivă a unui întreg este o reprezentare a formei q ( x , y ) cu x și y prime între ele . De exemplu, a și c sunt reprezentate inițial prin q și orice reprezentare a unui număr prim este primitiv.

Numărul întreg D = b 2 - 4 ac se numește discriminant al formei. Este congruent cu 0 sau 1 modul 4 .

Se spune că două forme întregi sunt echivalente dacă se află pe aceeași orbită pentru acțiunea naturală a grupului liniar GL (2, ℤ) a matricilor 2 × 2 cu coeficienți întregi cu determinant egal cu ± 1, adică dacă unul este alcătuit a celeilalte prin schimbarea variabilelor asociate cu o astfel de matrice . Discriminantul, setul de numere întregi reprezentate și setul de numere întregi reprezentate inițial sunt, prin urmare, invariante prin echivalență. Orice clasă de echivalență este uniunea uneia sau a două clase de echivalență proprii , definite în același mod prin luarea în considerare a acțiunii subgrupului liniar special SL (2, ℤ) al matricilor cu determinant egal cu +1.

Un număr întreg A este reprezentat inițial de q dacă și numai dacă q este echivalent cu Ax 2 + Bxy + Cy 2 pentru anumite numere întregi B și C , care pot fi apoi alese astfel încât echivalența să fie corectă.

Demonstrație

Scrierea generală a unei forme echivalente cu q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 este a (αx + βy) 2 + b (α x + β y ) (γ x + δ y ) + c (γ x + δ y ) 2 cu α, β, γ, δ întregi astfel încât αδ - βγ = ± 1 (+1 pentru o echivalență adecvată), iar coeficientul termenului său în x 2 este q (α, γ). Bachet-Bézout teorema ne permite să încheie.

Prin urmare, numărul întreg N este reprezentat inițial printr-o formă de discriminant D (dacă și) numai dacă D este un pătrat modulo 4N . A doua proprietate fiind stabilă de divizori (adică adevărat pentru orice divizor al lui N când este adevărat pentru N ), rezultă că și prima.

Pentru orice număr întreg D , numărul de clase de D , adică numărul de clase de echivalență a formelor pătratice ale discriminantului D , este finit: o dovedim prin reducere , construind pentru fiecare clasă cel puțin un reprezentant numit o formă redusă , ai cărei coeficienți sunt „cât mai mici posibil” (într-un sens adecvat).

Se spune că forma este degenerată dacă D = 0, definită (pozitivă sau negativă, în funcție de semnul lui a și c ) dacă D <0 și nedefinită dacă D > 0 (aceasta corespunde clasificării formelor reale asociate). Când D este un pătrat perfect , se spune că forma este izotropă și reprezintă 0 de un număr infinit de ori. În general, excludem din studiul formelor nedeterminate acest caz, care este cel al formelor pătratice produse de două forme liniare cu coeficienți întregi.

Reducerea formelor definite

Este suficient să abordăm cazul formelor definitive pozitive.

O formă definitivă pozitivă Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 se spune că este redusă dacă | b | ≤ a ≤ c și dacă în plus, b ≥ 0 de îndată ce a este egal cu | b | sau c .

Observați că atunci, Q ( x , y ) ≥ ( a - | b | + c ) min ( x 2 , y 2 ) deci cea mai mică valoare diferită de zero luată de Q este a , și este doar de două ori dacă a < c (următoarea cea mai mică valoare fiind apoi c ), de 4 ori dacă c = a > b (≥ 0) și de 6 ori dacă c = a = b . Mai mult, atunci când a și c sunt cunoscute, precum și discriminantul, b este cunoscut de cel mai apropiat semn.

Orice formă definită pozitivă q este echivalentă în mod corespunzător cu o formă redusă unică.

Unicitate. Să fie redus Q ca mai sus, să arătăm că nicio altă formă redusă nu este echivalentă în mod corespunzător cu aceasta. Conform observației privind cea mai mică valoare, este imediat dacă a = c sau dacă b = a < c , iar în cazul rămas | b | < a < c , rămâne să arătăm că dacă ax 2 + ε bxy + cy 2 este echivalent în mod corespunzător cu Q cu ε = ± 1, atunci este egal cu acesta. Fie α, β, γ, δ numere întregi astfel încât αδ - βγ = 1 și ax 2 + ε bxy + cy 2 = a (αx + βy) 2 + b (α x + β y ) (γ x + δ y ) + c (γ x + δ y ) 2 . Prin identificarea coeficienților x 2 și ale y 2 , a = Q (α, γ) și c = Q (β, δ) , prin urmare , - conform mențiunii privind cele mai mici valori - γ = β = 0, și coeficientul termenului din xy dă apoi: ε b = b αδ = b , care concluzionează.
Existenţă. Fie Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 o formă echivalentă în mod corespunzător cu q pentru care | b | este minim. Compunând dacă este necesar cu ( x , y ) ↦ (- y , x ), putem presupune și c ≥ a și, în cazul c = a , b ≥ 0. În Q ( x + ky , y ), coeficientul din xy este 2 ak + b . Deducem că | b | ≤ | 2 ak + b | pentru tot întregul k , adică a ≥ | b |. Deci, Q este redus, cu excepția cazului în care b = –a . Dar în acest caz, Q ( x + y , y ) = ax 2 + axy + cy 2 este redusă.

Pentru orice D <0, numărul formelor definitive pozitive reduse ale discriminantului D este finit.

Într-adevăr, dacă | b | ≤ a ≤ c , apoi | D | = 4 ac - b 2 ≥ 3 a 2 deci 0 < a ≤ $\sqrt | D | / 3$ . Odată ce a fost ales, numărul de valori posibile pentru b (inclus între - a și a și cu aceeași paritate ca D ) este mărit cu a + 1. În cele din urmă, c este determinat în totalitate de D , a și b .

Reducerea formelor anizotrope nedefinite

Fie D un întreg pozitiv non-pătrat. Se spune că o formă ax 2 + bxy + cy 2 cu discriminant D este redusă dacă 0 < $\sqrt D$ - b <2 | a | < $\sqrt D$ + b , care este echivalent cu aceeași succesiune de inegalități cu a înlocuit cu c . Deci avem :

Pentru orice întreg pozitiv nu pătrat D , există un număr finit de forme reduse ale discriminant D .

Spre deosebire de cazul formelor definite, nu mai avem unicitate, ci doar:

Orice formă nedefinită anizotropă este echivalentă în mod corespunzător cu cel puțin o formă redusă.

Reducerea algoritmului constă în înlocuirea forma q ( x , y ) = ax 2 + Bxy + cy 2 (dacă nu este deja redus) prin a'x 2 + b'xy + c'y 2 : = q (- y , x + ty ) (deci a '= c și b' = –b + 2 ct ), numărul întreg t fiind determinat de: $\sqrt D$ - 2 | c | < b ' < $\sqrt D$ (deoarece q nu este redus, astfel de t este unic). Atâta timp cât obținem | ea | <| c | și q ' nu este redus, începem din nou. Conform acestei clauze, algoritmul se încheie . Deoarece a '= c , tripletul final ( A , B , C ) este redus sau satisface | A | ≤ | C | și $\sqrt D$ - 2 | A | < B < $\sqrt D$ . Să arătăm că este redus și în al doilea caz. Avem 0 < $\sqrt D$ - B <2 | A | deci 0 <( $\sqrt D$ - B ) | $\sqrt D$ + B | = D - B 2 = –4 AC , deci –4 AC = 4 | AC | și | $\sqrt D$ + B | > 2 | C | ≥ 2 | A | > $\sqrt D$ - B deci B > 0 și $\sqrt D$ + B > 2 | A |, care încheie.

Putem demonstra în continuare că formele reduse ale fiecărei clase de echivalență adecvate se organizează într-un singur ciclu de „forme adiacente”, forma adiacentă din dreapta unei forme reduse q fiind q (- y , x + ty ), pentru unicul întreg t astfel încât acesta din urmă este redusă.

Exemplu Singurele forme pătratice reduse ale discriminantului 20 sunt, cu o inversiune apropiată de x și y : 2 ( x 2 + xy - y 2 ) și ( x + 2 y ) 2 - 5 y 2 .

Una dintre cele mai descoperiri profunde lui Gauss a fost aceea a existenței unei naturale drept compoziție pe setul de clase ( de echivalență corespunzătoare) de forme pătratice binare ale unui anumit discriminantă și care face un grup abelian în cele din urmă numit grupul de clasă de discriminant D . Grupul de clasă a unui discriminantă de bază (în) D este izomorf cu grupul de clase în sens restrâns (în) a câmpului pătratic ℚ ( $\sqrt D$ ) de discriminant D . Acesta din urmă este grupul claselor ideale dacă D este negativ, dar poate fi de două ori mai mare dacă D este pozitiv.

O formă q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 se spune că este primitivă dacă GCD ( a , b , c ) (care este GCD al tuturor valorilor pe care le reprezintă) este egal cu 1. C 'este, desigur, cazul dacă discriminantul său D este fără factor pătrat sau dacă q reprezintă un număr întreg prim cu D , dar și dacă D este un discriminant fundamental.

Gauss a studiat, de asemenea, o relație de echivalență mai puțin fină, care împarte grupul de clase în sexe (en) .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Binary quadratic form ” (a se vedea lista autorilor ) .

Joseph-Louis Lagrange, „Cercetări în aritmetică, Amintiri noi ale Academiei Regale de Științe și Scrisori Belles din Berlin , reproduse în Joseph-Louis Lagrange, Lucrări , vol. III, p. 695-795 .
Carl Friedrich Gauss ( trad. A.-C.-M. Poullet-Delisle), Cercetări aritmetice [„ Disquisitiones Arithmeticae ”],1807( citiți online ) , p. 118-428, în special cap. V.
A se vedea, de exemplu (în) Pete L. Clark, „ Subiecte în geometria aritmetică II, fișa 3: Teoria elementară a formelor cuadratice ” .
Aceasta este alegerea inițială a lui Lagrange și tradițională de la Eisenstein , în timp ce, între timp, Gauss s-a plasat în cadrul în care întregul b este egal, adică unde coeficienții antidiagonali b / 2 din matricea simetrică asociată sunt numere întregi, ca și coeficienții diagonali a și c .
Această definiție diferă de cea a discriminantului unei forme pătratice binare cu coeficienți într-un câmp , care este ac - ( b / 2) 2 modulo pătratele elementelor nenule.
Este totuși posibil să o tratați în același mod, decretând de exemplu că o astfel de formă este redusă dacă c = 0 și 0 ≤ a <| b | : (ro) „ Teoria numerelor elementare - Secțiunea 3.2 Forme binare pătratice ” .
(în) Leonard Eugene Dickson , Introducere în teoria numerelor , Dover ,1957( 1 st ed. 1929), cap. VII.
(în) Duncan A. Buell , Forme quadratice binare: teoria clasică și matematica modernă , Springer,1989( citiți online ) , p. 22-23.
(în) „ Reducerea unei forme pătratice binare nedeterminate ” pe numbertheory.org .
Pentru o versiune optimizată, vezi (en) Henri Cohen , Un curs de calcul al teoriei numerelor algebrice [ detaliul ediției ], § 5.6.1.
Buell 1989 , p. 23-24.
(ro) Albrecht Fröhlich și Martin J. Taylor , Teoria numerelor algebrice , CUP , al. „Studii Cambridge în matematică avansată” ( nr . 27),1993, 355 p. ( ISBN 978-0-521-43834-6 , citit online ), Teorema 58 .
Cohen 1993 , § 5.2.

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

(ro) Peter Luschny , „ Numere pozitive reprezentate printr-o formă pătratică binară ” , pe OEIS Wiki
(ro) AV Malyshev , „Binary quadratic form” , în Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , citit online )
(ro) Keith Matthews, „ Unele programe de teorie a numerelor BCMath / PHP ” (§ 11: Forme binare pătratice și câmpuri pătratice: discriminanți pozitivi, discriminanți negativi)

Bibliografie

(ro) Johannes Buchmann (de) și Ulrich Vollmer, Binary Quadratic Forms , Springer ,2007( ISBN 978-3-540-46367-2 și 3-540-46367-4 , citiți online )
(ro) JH Conway și NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , col. „ Grund. matematica. Wiss "( nr . 290)1999, 3 e ed. ( 1 st ed. 1993) ( linia citit ) , cap. 15 („Despre clasificarea formelor pătratice integrale”)
(ro) David A. Cox , Primes of the Form $x 2 + ny 2$ , Wiley ,2011( 1 st ed. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , citit on - line )
(ro) Leonard Eugene Dickson , Istoria teoriei numerelor (ro) [ detaliile edițiilor ], vol. 3
(ro) Gilles Lachaud, „Fracții continuate, forme binare pătratice, câmpuri pătratice și funcții zeta” , în Algebra and Topology 1988 , Taejon , Korea Inst. Tehnologie. ,1988( citiți online ) , p. 1-56