Grup divizibil

În matematică și mai ales în teoria grupelor , un grup abelian divizibil este un grup abelian G astfel încât, pentru orice număr natural n ≥ 1, avem (în notație aditivă) G = nG. Aceasta înseamnă a spune că pentru orice element x al lui G și orice număr natural n ≥ 1, există cel puțin un element y al lui G astfel încât x = ny. Putem extinde această definiție la grupuri non-abeliene, un grup divizibil fiind un grup în care (în notație multiplicativă) fiecare element este puterea a n-a, oricare ar fi numărul natural n ≥ 1. Între grupurile divizibile, însă, doar Abelian divizibil grupurile constituie un capitol clasic al teoriei grupurilor și numai acestea vor fi discutate în acest articol.

Exemple

Grupul aditiv ℚ al numerelor raționale este divizibil.
Mai general, grupul aditiv al oricărui spațiu vectorial de pe câmpul ℚ este divizibil (obținem astfel toate grupurile divizibile fără torsiune ).
Orice coeficient al unui grup divizibil este divizibil. În special, ℚ / ℤ este divizibil.
Pentru un număr prim dat p , componenta primară p ℤ [1 / p ] / ℤ a lui ℚ / ℤ - de asemenea notată ℤ ( p $\infty$ ) - este divizibilă. Aceasta înseamnă a spune că grupurile Prüfer sunt divizibile.
Grupul multiplicativ ℂ * al numerelor complexe nenule este divizibil, deoarece un complex are n -a rădăcini pentru toate n .

Proprietăți

Un grup abelian G este divizibil dacă și numai dacă G = p G pentru orice număr prim p .
Un grup abelian p-primar (cu alte cuvinte un grup p abelian) este divizibil dacă și numai dacă G = pG.
Suma directă a unei familii de grupuri abeliene este divizibilă dacă și numai dacă fiecare dintre aceste grupuri este divizibil.
(Baer, 1940) Dacă f este un omomorfism dintr-un grup abelian A într-un grup abelian divizibil D, dacă B este un grup abelian din care A este un subgrup, f poate fi extins într-un homomorfism de la B la D.
Orice subgrup divizibil al unui grup Abelian este un factor direct . (Într-adevăr, dacă un subgrup D al unui grup abelian A este divizibil, atunci, conform proprietății anterioare, omomorfismul identitar al lui D poate fi extins într-un omomorfism al lui A pe D și știm că acest lucru implică faptul că D este factorul direct al lui A.)
Orice grup abelian poate fi cufundat într-un grup abelian divizibil.
Un grup abelian este divizibil dacă și numai dacă nu are un subgrup maxim .

Teorema structurii grupurilor abeliene divizibile

Structura grupurilor abeliene divizibile este complet descrisă de următoarea teoremă:

Orice grup abelian divizibil este în mod unic suma directă a unei familii (finite sau infinite) de grupuri, fiecare dintre ele fiind un grup Prüfer sau un grup izomorf la grupul aditiv ℚ al numerelor raționale.

Mai explicit, pentru orice grup abelian divizibil $G$ :

{\ displaystyle G \ simeq T (G) \ oplus (G / T (G)), \ quad G / T (G) \ simeq \ mathbb {Q} ^ {(I)}, \ quad T (G) = \ oplus _ {p} T_ {p} (G), \ quad T_ {p} (G) \ simeq \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})},}

sau în cele din urmă:

G≃⊕pZ(p∞)(Eup)⊕Î(Eu),{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

unde

T ( G )

este subgrupul de torsiune și

T p ( G )

componentele sale principale, cardinalul lui

I

este dimensiunea spațiului ℚ-vectorial al cărui

G / T ( G )

este grupul aditiv și cardinalul lui

I p

este dimensiunea F p -spatiul vector al carui subgrup { g ∈ G | pg = 0} din

T p ( G )

este grupul aditiv.

Deoarece orice subgrup al unui grup abelian de tip finit este el însuși de tip finit și că nici ℚ și niciun grup Prüfer nu sunt de tip finit, rezultă că un grup abelian divizibil de tip finit este neapărat nul (ceea ce poate fi demonstrat mai direct).

Grupuri abeliene reduse

Am demonstrat că orice grup abelian G admite un subgrup divizibil mai mare, adică un subgrup divizibil care conține toate celelalte. Acest subgrup este notat dG. Se spune că un grup abelian G pentru care dG = 0 (cu alte cuvinte un grup abelian care are doar subgrupul său nul ca subgrup divizibil) este redus . Demonstrăm că orice grup abelian G admite o descompunere sumă directă G = dG ⊕ R, unde R este un grup redus.

Generalizări

Noțiunea de grup divizibil poate fi extinsă la modulele A, unde A este un inel de un astfel de tip. De exemplu, Bourbaki definește un A-modul divizibil, A fiind un inel integral , ca un A-modul M astfel încât pentru orice element x al lui M și orice nenulă element de un al A, există un element y al M astfel încât x = ay. Un grup abelian este atunci divizibil dacă și numai dacă este divizibil ca modulul Z.
Proprietatea grupurilor divizibile menționată în teorema lui Baer (cf. § Proprietăți ) este de fapt caracteristică: un grup abelian D este divizibil dacă și numai dacă îl satisface, cu alte cuvinte dacă este injectiv ca modulul Z (mai general, pe un inel principal , modulele divizibile sunt exact modulele injective).

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Divisible group ” (a se vedea lista autorilor ) .

WR Scott, Teoria grupului , 1964, stuf. Dover 1987, p. 95, definește grupurile divizibile fără a presupune că sunt abeliene, dar după această definiție, toate grupurile divizibile pe care el le consideră sunt abeliene.
Vezi de exemplu (în) Joseph J. Rotman , Introducere în teoria grupurilor [ detaliu ediții ], Ediția a 4- a , ediția 1999, Ex. 10.23, i, p. 324.
Vezi de exemplu Rotman 1999 , exerc. 10.23, ii, p. 324.
A se vedea de exemplu Rotman 1999 , exemplul 10.7, p. 320.
Pentru o demonstrație, a se vedea de exemplu Rotman 1999 , p. 320-321. JJ Rotman numește această teoremă „Proprietate injectivă”.
A se vedea de exemplu Rotman 1999 , p. 321.
Pentru o demonstrație, vezi de exemplu Rotman 1999 , p. 323.
Vezi de exemplu Rotman 1999 , exerc. 10.25, p. 324.
Vezi de exemplu Rotman 1999 , exerc. 10.7, ii, p. 318.
Dovadă prin inducție pe cardinalul n al unei familii generatoare finite. Afirmația este evidentă dacă acest cardinal este zero. Dacă un grup Abelian divizibil G este generat de o familie finită x 1 , ..., x n , cu n ≥ 1, atunci G / ⟨x n ⟩ este generat de n - 1 elemente, apoi, prin ipoteza de inducție la n G / ⟨x n ⟩ este zero, deci G este ciclic. Nu poate fi infinit monogen, deoarece ℤ nu este divizibil. Deci G este terminat. Fie n ordinea sa. Deoarece G este divizibil, G = n G = 0.
Pentru o demonstrație, vezi de exemplu Rotman 1999 , p. 322.
N. Bourbaki , Algebra , voi. Eu, p. II.197, exerc. 33.
Vezi de exemplu Rotman 1999 , exerc. 10.22, p. 324. Dacă un grup G are proprietatea injectivă a teoremei lui Baer, atunci, pentru orice element x al lui G și pentru orice număr natural diferit de n , omomorfismul unic f al lui n Z în G care se aplică n lui x poate fi extins în un homomorfism g de la Z la G. Imaginea lui 1 cu g este apoi un element y al lui G astfel încât x = ny. (Am fi putut extinde și la Q omomorfismul lui Z în G care se aplică de la 1 la x .)