Teorema Hopf-Rinow
Fie ( M , g ) o varietate Riemanniană conectată ( fără limite ). Hopf-Rinow teorema spune că următoarele proprietăți sunt echivalente:
- Există un punct m în M pentru care aplicarea exponențială inițială m este setat la T m M .
- Pentru orice punct m în M , exponențială inițială m este setat la T m M .
- Colectorul ( M , g ) este complet geodezic, adică geodezicele sunt definite pe ℝ.
- Spațiul M este complet pentru distanța Riemanniană.
- Părțile închise și delimitate sunt compacte .
De asemenea, în această situație, orice două puncte a și b ale lui M pot fi conectate printr-o geodezică de lungime d ( a , b ). În special, harta exponențială (oricare ar fi originea ei) este surjectivă .
Teorema este numită după Heinz Hopf și elevul său Willi Rinow (de) (1907-1979).
Admite o versiune mai generală în cadrul spațiilor de lungime .
Exemple
- Teorema Hopf-Rinow implică faptul că toate varietățile Riemanniene compacte și conectate sunt geodezice complete. De exemplu, sfera este geodezică completă.
- Euclidian spațiu ℝ n și spațiile hiperbolice sunt geodesically complet.
- Spațiul metric M : = ℝ 2 \ {0} cu metrica euclidiană indusă nu este complet geodezic. Într-adevăr, în M , două puncte opuse nu sunt conectate de nicio geodezică. De asemenea, spațiul metric M nu este complet, deoarece nu este închis în ℝ 2 .
Aplicarea la grupurile Lie
Fie G un grup Lie înzestrat cu o metrică Riemanniană bi-invariantă (o astfel de metrică există întotdeauna dacă G este compact ). Exponențialul din elementul neutru asociat cu o astfel de metrică coincide cu exponențialul în sensul teoriei grupurilor Lie . În special, geodezicele care trec prin elementul neutru sunt identificate cu subgrupuri cu un singur parametru . Prin urmare:
- pentru orice grup Lie compact G , exponențialul (în sensul teoriei grupurilor Lie) este surjectiv;
- grupul Lie SL (2, ℝ) nu admite nici o metrică Riemanniană bi-invariantă (deoarece exponențialul nu este surjectiv, luăm de exemplu ).
