Morfism inelar

Un morfism de inele este aplicat între două inele (unitate) A și B , în conformitate cu legile acestor inele și trimite multiplicativ neutru La neutru multiplicativ B .

Definiție

Un morfism inelar este o hartă f între două inele (unitare) A și B care îndeplinește următoarele trei proprietăți:

Pentru toate a , b în A :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b ) f (1 A ) = 1 B .

Exemple

Includerea inelului de numere întregi relative Z în inelul numerelor reale R (adică harta i dintre aceste două mulțimi definite de i ( n ) = n ) este un morfism injectiv;
Pentru n întreg strict pozitiv, proiecția lui Z pe inelul Z / n Z este un morfism surjectiv;
Conjugare complexă este un morfism bijectiv al câmpului comutative C al numerelor complexe pe sine, numit automorphism de C ;
Având în vedere un inel de funcții, de exemplu inelul funcțiilor continue de la R la R și un punct c al setului de pornire, harta care unei funcții f asociază valoarea f ( c ) este un morfism, respectivul morfism de evaluare ;
În același mod, A fiind un inel comutativ și c un element al lui A , harta care asociază cu un polinom P al inelului A [ X ] valoarea sa P ( c ) este un morfism de la A [ X ] la A ;
Dacă P este o matrice inversabilă în inelul matricelor pătrate cu coeficienți într-un inel R , harta care asociază cu o matrice pătrată M matricea PMP –1 este un automorfism al inelului matricilor.
Dacă R este un inel și E un modul (în stânga) pe R , considerăm pentru fiecare a din R aplicația f a de la E la E definită de f a ( x ) = ax , care este un endomorfism al grupului abelian E . Cererea la care are asociat f are atunci un morfism al inelului inele A la inelul de endomorphism grup E .

Pe de altă parte, următoarele exemple nu sunt morfisme:

Cartografierea nulă (cu excepția cazului în care inelul de sosire este inelul trivial ): deși păstrează cele două operații și, ca atare, este un morfism al pseudo-inelelor , nu verifică condiția referitoare la multiplicarea neutrelor.
În același spirit, aplicarea Z la inelul matricilor (2,2) cu coeficienți întregi care asociază matricea cu un număr întreg n păstrează cele două operații, dar nu este un morfism din lipsa trimiterii întreg 1 de pe unitatea matrice . $\ begin {pmatrix} n & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}$

Proprietăți legate de o singură operație

Un morfism inelar este în special un morfism de grup între grupurile aditive subiacente. Prin urmare, recuperăm câteva proprietăți cunoscute pentru acestea în general:

f (0 A ) = 0 B
pentru toate a din A , f (- a ) = - f ( a )
putem introduce nucleul morfismului, definit ca imaginea reciprocă a lui {0 B } și notat Ker ( f ). Un morfism f este injectiv dacă și numai dacă nucleul său este redus la {0 A }.

În mod similar, f fiind un morfism al monoizilor multiplicativi, deducem că dacă a este inversabil în A , f ( a ) este și el și:

f ( a –1 ) = [ f ( a )] –1 .

Compoziția morfismelor

Cartografierea identității oricărui inel A este un morfism.
Compusul din două morfisme este un morfism.

Astfel, prevăzute cu morfismele lor, inelele constituie o categorie .

Mai mult, dacă un morfism inelar este bijectiv, reciprocul său este și un morfism.

Izomorfismul inelelor îl numim morfism bijectiv ( automorfism când inelele de plecare și sosire sunt aceleași). Se spune că două inele între care există un izomorfism sunt izomorfe .

Pungă și extensii

Când avem un morfism injectiv între două inele, adică i de la A la S , este obișnuit să uităm distincția dintre mulțimea A și imaginea sa A 1 = i ( A ). Identificăm structurile izomorfe A și A 1 până la uitarea voluntară a distincției dintre aceste două seturi și să folosim notații care nu le disting.

De exemplu, dacă construim numere complexe ca cupluri de reali, numărul complex 3 este prin definiție cuplul de reali (3.0) și nu este egal cu realul 3. Utilizarea notațiilor care le disting ar fi foarte impracticabil. " lor. Astfel , se afirmă că R este un „subset“ de C , astfel încât, strict vorbind există doar un set cu un morfism injectiv la C .

In astfel de contexte, se spune adesea că A este cufundat în S , sau S este o extensie a A .

Morfisme, subinele, idealuri

Morfismele inelare se comportă cu subinele, cum ar fi morfismele de grup cu subgrupuri:

Imaginea inversă a unei subinel a B de către un morfism este un subinel de A .
Imaginea directă a unui subinel A de către un morfism este un subinel de B .

Cu idealuri, ca și cu subgrupuri distinse, putem concluziona doar într-o singură direcție:

Inversul imaginea unui ideală stânga (resp. Resp dreapta. Două fețe) la B printr - un morfism este un ideal stânga (resp. Resp dreapta. Două fețe) din A . Acesta este în special cazul nucleului , imaginea reciprocă a idealului bilateral nul.
În ceea ce privește imaginea directă a unui ideal de A , putem concluziona doar că este un ideal (de aceeași natură) al subinelului f ( A ).

Morfisme de câmp comutativ

Un morfism corporal comutativ este prin definiție un morfism inelar între două corpuri comutative .

Orice morfism al corpului este injectiv, nucleul său fiind un ideal și un corp neavând alte idealuri decât idealul nul și el însuși. Prin urmare, este un izomorfism dacă și numai dacă este surjectiv.

Toate acestea sunt generalizate la corpurile stângi .

Morfisme din punctul de vedere al categoriilor

În categoria inelelor (unitare), monomorfismele sunt exact morfismele injective. Pe de altă parte, dacă orice morfism surjectiv este un epimorfism (ca în orice subcategorie a categoriei mulțimilor ), inversul nu este adevărat: injectarea lui Z în Q este un epimorfism non-surjectiv.

Note și referințe

Dacă f este surjectiv , a doua proprietate implică a treia: cf. Morfismul monoizilor .
Această expoziție de încorporări și extensii este preluată din consultarea lui David M. Burton, Un prim curs în inele și idealuri , Addison Wesley,1970, p. 31 și Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley ,1974( ISBN 0-471-16430-5 ), p. 137-138
Pentru întreaga secțiune „Morfisme, subinele, idealuri”, vezi DM Burton, op. cit. , p. 27-28 (această carte nu presupune inele unitare, dar asta nu schimbă nimic pentru aceste afirmații)
(în) Louis Rowen , Teoria inelului , vol. 1, Academic Press ,1988( ISBN 0-12-599841-4 ), p. 15. Exemplul includerii lui Z în Q este pentru Rowen „tragedia” din categoria inelelor.