Comatrice

În algebra liniară , comatrixul unei matrici pătrate $A$ este o matrice pătrată de aceeași dimensiune , ai cărei coeficienți, numiți cofactorii lui $A$ , intervin în dezvoltarea determinantului lui $A de$ -a lungul unui rând sau al unei coloane. Dacă $A$ este o matrice inversabilă , comatrixul său intervine și într-o expresie a inversului său.

Pe această pagină, $A$ denotă o matrice pătrată de ordinul $n$ cu coeficienți într - un inel comutativ $K$ .

Definiții

Cofactorul indicelui $i , j$ al lui $A$ este:

{\ displaystyle \ left (\ operatorname {com} A \ right) _ {i, j}: = \ det \ left (A '_ {i, j} \ right) = (- 1) ^ {i + j} \ det \ left (A_ {i, j} \ right)}

, sau

$A ' i , j$ este matricea pătrată de dimensiunea $n$ dedusă din $A$ prin înlocuireacoloanei $j$ -th cu o coloană constând numai din zerouri, cu excepția a $1$ pe rândul $i$ -th;
$A i , j$ este sub-matricea pătrată de mărimea $n - 1$ dedusă din $A$ prin eliminarea $i$ -a rândului și a $j$ -a coloanei (determinantul său este, prin urmare, unul dintre minorii lui $A$ ).

Comatatorul lui $A$ este matricea cofactorilor săi.

Formule Laplace

Determinantul lui $A$ poate fi calculat în funcție de coeficienții unei singure coloane și cofactorii corespunzători. Această formulă, cunoscută sub numele de formula lui Laplace, face posibilă reducerea calculului unui determinant de ordin $n$ la cel al $n$ determinanți de ordin $n - 1$ .

Formule de dezvoltare pentru un determinant de ordinul $n$ :

în ceea ce privește coloana $j$ : ${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i; j} (\ operatorname {com} A) _ {i, j}}$ ;
în ceea ce privește linia $i$ : ${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i; j} (\ operatorname {com} A) _ {i, j}}$ .

Generalizare

Următoarea formulă este dedusă din formulele Laplace și le include:

{\ displaystyle A \; {} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A} = \ left ({} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A} \ right) \; A = \ left (\ det A \ right) \; \ mathrm {I} _ {n}}

unde $I n$ reprezintă matricea identitate de aceeași dimensiune $n$ care $A$ .

Matricea transpusă a matricei adjugate se numește matricea complementară a $A$ . În special dacă $det A$ este inversabil în $K$ , atunci $A$ este inversabil în $M n ( K )$ și inversul său este un multiplu al matricei complementare, ceea ce înseamnă că am obținut o formulă pentru invers, necesitând calcule determinante „numai»:

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \, {} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A}}

Această formulă are puțin mai mult decât un interes teoretic, deoarece, în practică, este prea greu pentru a calcula explicit $A -1$ imediat ce $n \geq 4$ și metoda mai elementară bazată pe operații elementare pe linii (inversarea prin pivot Gaussian ) este mai eficientă , atât pentru oameni, cât și pentru mașini.

Proprietăți Comatrice

Compatibilitate cu transpunere : $com ( t A ) = t (com A )$ .
Compatibilitate cu produsul : $com I n = I n$ și pentru toate matricile pătrate $A$ și $B$ de ordinul $n$ , $com ( AB ) = (com A ) (com B )$ .
Rang (dacă K este un câmp comutativ ):
- dacă $A$ este de rang $n$ ( adică inversabil $A$ ), $com ( A ), de$ asemenea;
- dacă $A$ este de rang $n - 1$ , cu $n \geq 2$ , $com ( A )$ este de rang 1;
- dacă $A$ este de rang mai mic sau egal cu $n - 2$ , $com ( A ) = 0$ .
Determinant: dacă $n \geq 2$ , $det (com A ) = (det A ) n -1$ .
Adjugate matrice de matrice adjugate: dacă $n \geq 2$ , $com (com A ) = (det A ) n -2 A$ .
Dacă $P ( X ) = det ( A - X I n )$ este polinomul caracteristic al lui $A$ și dacă $Q$ este polinomul definit de $Q ( X ) = ( P (0) - P ( X )) / X$ , atunci: $t (com A ) = Q ( A )$ .

Demonstrații

Egalitățile $com ( t A ) = t (com A )$ și $com (I n ) = I n$ sunt imediate.
Produs: dacă $A$ și $B$ sunt inversabile, formula rezultă din proprietățile multiplicative ale transpunerii, ale inversării (fiecare dintre cele două inversând ordinea) și ale determinantului. Sau ecuația $com ( AB ) = (com A ) (com B )$ este polinom cu coeficienți întregi în elementele celor două matrice $A$ și B . Considerând aceste $2 n 2$ elemente ca indeterminate ale unui inel de polinoame cu coeficienți în ℤ și aplicând cele de mai sus câmpului fracțiilor ( rațional cu coeficienți în ℚ ) asociați (în care $A$ și $B$ sunt inversabile), prin urmare obține o egalitate „absolută”. Când aceste nedeterminări sunt apoi înlocuite de elementele oricărui inel comutativ, egalitatea se menține.
Rang :
- Dacă $A$ este inversabila atunci $com ( A ) = (det A ) t A -1$ are inversă $(det A ) -1 t A$ .
- Dacă $A$ este de rang $n - 1$ și presupunând, de exemplu, că primele sale coloane $n - 1$ sunt liniar independente și că ultima este o combinație liniară , cu coeficienți λ 1 , ..., λ n –1 , atunci, în $com ( A )$ , ultima coloană este diferită de zero și k -th, pentru toate $k < n$ , este produsul ultimei cu $-λ k$ .
- Dacă $A$ este de rang mai mic decât $n - 2$ atunci, în $A$ , orice $n - 1$ coloane sunt legate astfel încât toți cofactorii sunt zero.
Determinant: dacă $n \geq 2$ și $A$ este inversabil, atunci $det (com A ) = det [(det A ) t A -1 ] = (det A ) n det ( t A -1 ) = (det A ) n -1$ . Pentru $un$ non-inversabil, putem face același „raționament generic” ca și pentru produs sau - dacă suntem mulțumiți de cazul în care matricile au coeficienți într-un câmp - observăm mai simplu că cei doi membri sunt zero în funcție de proprietăți de rang. Pentru matricile cu coeficienți reali sau complecși, se poate raționa și după densitate .
Comatrice a comatricei: dacă $n \geq 2$ , $(det A ) com (com A ) = A t com A com (com A ) = det (com A ) A = (det A ) n -1 A$ deci dacă $A$ este inversabil , $com (com A ) = (det A ) n -2 A$ . Cazul general se reduce la cazul inversabil ca mai sus.
Polinom caracteristic: conform teoremei Cayley-Hamilton , $P ( A ) = 0$ deci $A Q ( A ) = P (0) I n = (det A ) I n = A t (com A )$ . Dacă $A$ este inversabil, deducem $Q ( A ) = t (com A )$ . Cazul general se reduce la cazul inversabil ca mai sus.

Câteva proprietăți anecdotice

Dacă $n \geq 3$ , matricile astfel încât $A$ $= com$ $A$ sunt matricea nulă și matricele speciale ortogonale. Dacă $n$ $= 2$ , acestea sunt matricele multiple ale matricilor speciale ortogonale. ${\ displaystyle A \ în M_ {n} (\ mathbb {R})}$

Exemple

Dimensiunea moare (1.1)

Comatatorul oricărei matrice de dimensiuni (1,1) este matricea de identitate $I 1 = (1)$ .

Dimensiuni matrite (2.2)

{\ displaystyle \ operatorname {com} {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix} }}

Dimensiunea moare (3.3)

{\ displaystyle \ operatorname {com} {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} && a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} && a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} && a_ {33} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} + {\ begin {vmatrix} a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {32} & a_ { 33} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {21} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {21} & a_ {22} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {vmatrix}} \\ - {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {vmatrix}} \\ + {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {22} & a_ {23} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {23} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {vmatrix}} \ end {pmatrix}}}

Ne amintim că (vezi determinant ). ${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc}$

Variații ale funcției determinante

Presupunem aici că $K$ este câmpul numerelor reale și ne interesează harta determinantă, văzută ca o funcție a coeficienților matricei:

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n ^ {2}} \ simeq \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R}, \; A \ mapsto \ det A }

The Leibniz Formula arată că este o funcție polinomială ( omogenă ) , astfel infinit diferențiabilă .

Putem găsi și specifica această regularitate grație formulelor lui Laplace (a se vedea mai sus ): în orice punct $A$ al lui M n (ℝ), funcția $det$ este afină față de variabila indicelui $i , j$ , iar derivata sa parțială este cofactorul din $A$ cu același indice:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ det} {\ partial E_ {i, j}}} (A) = (\ operatorname {com} A) _ {i, j}.}$

Deducem, încă la punctul $A$ , gradientul de $det$ (dacă dotăm M n (ℝ) cu produsul său scalar canonic ): ${\ displaystyle \ nabla \ det (A) = \ operatorname {com} A}$

sau, din nou, diferențialul său, prin urmare, dezvoltarea sa limitat la ordinea 1: ${\ displaystyle \ det (A + H) = \ det A + {\ rm {tr}} \ left (\ left ({} ^ {t} \! \ operatorname {com} A \ right) H \ right) + o \ left (\ left \ | H \ right \ | \ right)}$ .

În special pentru cazul în care $A$ este matricea de identitate: ${\ displaystyle \ nabla \ det (\ mathrm {I} _ {n}) = \ mathrm {I} _ {n} {\ text {et}} \ det (\ mathrm {I} _ {n} + H) = 1 + {\ rm {tr}} (H) + o (\ | H \ |)}$ .

Comatrice și produs vector

Dacă $A$ este o matrice reală de ordinul 3, acționează asupra vectorilor spațiului euclidian orientat ℝ 3 . Comatrixul lui $A$ descrie apoi interacțiunea lui $A$ cu produsul încrucișat :

{\ displaystyle Au \ wedge Av = \ operatorname {com} A \, (u \ wedge v)}

. Demonstrație

Indicați produsul dot. Pentru orice vector de ℝ 3 , $\ cdot$ $X$

{\ displaystyle (\ det A) u \ wedge v \ cdot x = \ det A [u, v, x] = [Au, Av, Ax] = (Au \ wedge Av) \ cdot Ax = {} ^ {\ operatorname {t}} \! A (Au \ wedge Av) \ cdot x}

Prin urmare,

{\ displaystyle {} ^ {\ operatorname {t}} \! A (Au \ wedge Av) = (\ det A) u \ wedge v = {} ^ {\ operatorname {t}} \! A \ operatorname {com } A \, (u \ wedge v)}

Deducem egalitatea anunțată dacă $A$ este inversabil.

Rezultatul se extinde la matricele de densitate neinversibile.

Note și referințe

Aceste formule esențiale sunt demonstrate în toate lecțiile de algebră liniară, cum ar fi:
- J.-P. Marco și L. Lazzarini, Matematica L1: curs complet cu 1000 de teste și exerciții corectate , Pearson ,2012( citește online ) , cap. 20 („Determinanți”), p. 541 și 546 ;
- F. Cottet-Emard, Algebra liniară și bilineară , De Boeck Supérieur ,2005( citește online ) , cap. 2 („Determinanți”), p. 36 și 42 ;
- capitolul „Determinant” de pe Wikiversitate.
În literatura de limbă engleză, matricea complementară (transpunerea comatrixului) este uneori denumită „matrice adjuvantă”, ceea ce creează riscul confuziei cu un alt sens al matricei adjuvante , denotând transpunerea matricei conjugate.
Henri Lombardi și Claude Quitté, Algebră comutativă - Metode constructive - Module proiective de tip finit , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. 2011) ( arXiv 1,611.02942 , prezentare on - line ) , p. 96-97.