Minge (topologie)

În topologie , o minge este un anumit tip de vecinătate într-un spațiu metric . Numele evocă în mod corect mingea solid în spațiul tridimensional de obicei, dar ideea este generalizată , printre altele , spații de o mai mare (sau mai mici) , dimensiune sau de non - euclidiene norma . În acest caz, o minge nu poate fi „rotundă” în sensul obișnuit al termenului.

Definiție generală

În spațiul obișnuit ca în orice spațiu metric : $(E, d)$

mingea închis centrată într - un punct și raza reală este setul de puncte a căror distanță pentru a este mai mică sau egală cu : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ left \ {M \ în E \, \ mid \, d (M, P) \ leq r \ right \}}

;

corespunzătoare mingea deschisă este setul de puncte a căror distanță pentru a este strict mai mică decât : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ left \ {M \ în E \, \ mid \, d (M, P) <r \ right \}}

Într-un spațiu vector normalizat , bila deschisă este bilă deschisă centrată la origine și pe raza 1 (în mod similar, bila bilă închisă este bila închisă ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

Bilele unui plan euclidian sunt numite și discuri .

Notă: definiția bilelor poate fi extinsă la spații pseudometrice care generalizează noțiunea de spațiu metric.

Exemple în spațiul bidimensional

În spațiul bidimensional , pentru următoarele trei standarde, bilele corespunzătoare de rază 1 au forme diferite. $\ mathbb {R} ^ {2}$

standardul 1 : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
norma euclidiană : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
standardul „infinit” : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).$

Proprietăți

O minge deschisă este întotdeauna una deschisă din spațiul metric în care este definită. La fel, o minge închisă este întotdeauna una închisă .
O bilă deschisă cu rază strict pozitivă are un interior ne-gol (deoarece acest interior este mingea în sine).
Toate bilele unui spațiu metric sunt părți delimitate .
Într-un spațiu vector normalizat, toate bilele deschise (resp. Închise) cu raze strict pozitive sunt similare prin traducere și omotitate, iar orice bilă este simetrică în raport cu centrul său.
Într-un spațiu vectorial real normalizat, bilele sunt convexe .
Într-un spațiu vectorial real normalizat, interiorul unei bile închise este bila deschisă cu același centru și aceeași rază, iar adeziunea unei bile deschise ne-goale este bila închisă corespunzătoare (de aici și limita d 'a non- bila goală este sfera corespunzătoare). În orice spațiu metric avem doar:

{\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {și}} \ qquad \ operatorname {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Exemple de bile exotice

În spațiul real tridimensional prevăzut cu norma infinită , bilele au o formă cubică cu fețe perpendiculare pe axe.
Într-un spațiu discret (prevăzut cu distanța discretă), orice parte (în special orice bilă deschisă și orice bilă închisă) este deschisă-închisă .
Într-un spațiu prevăzut cu o distanță ultrametrică (cum ar fi inelul Z p de p -adic întregi sau spațiul N N de secvențe de numere întregi ), bilele sunt deschise-închise, orice punct al unei bile este un centru și dacă două bile se întâlnesc , una este conținută în cealaltă.

utilizare

O parte dintr-un spațiu metric este delimitat dacă și numai dacă este conținută într-o minge.
O parte a unui spațiu metric este deschisă dacă și numai dacă este întâlnirea bilelor deschise pe care o conține.
Într-un spațiu metric separabil (de exemplu un spațiu euclidian ), totul deschis este o uniune numărabilă de bile deschise .
Bilele (deschise sau închise) cu același centru și raze strict pozitive formează un sistem fundamental de cartiere ale acestui centru. Prin a ne limita la o serie de raze arbitrar mici, vom obține chiar și un numărabil sistem fundamental de vecinătăți.
Riesz compactitate teorema afirmă că un spațiu vectorial real este normalizat finit dimensional dacă și numai dacă mingea sa unitate închisă este compactă .

Articol asociat

Sferă