Teorema lui Schmidt (teoria grupurilor)

În matematică , în special în teoria grupurilor , teorema Schmidt , demonstrată de Otto Schmidt în 1924, a spus că dacă G este un grup finit în care toate subgrupurile proprii sunt nilpotente , G este rezolvabil . K. Iwasawa a dat o descriere mai precisă a grupului G sub aceleași ipoteze.

Demonstrație

Noi raționament prin inducție pe ordinea grupului . Cele Grupurile ciclice sunt rezolvabile. Prin urmare, presupunem, pentru un anumit n , că afirmația este adevărată pentru toate grupurile de ordine < n și că G este un grup neciclic de ordinul n (deci n > 1) din care toate subgrupurile proprii sunt nilpotente. După Lema 2 de mai jos, G nu este simplu . Prin ipoteză de inducție și conform teoremei corespondenței , este, prin urmare, rezolvabilă (deoarece nilpotența merge la coeficienți și rezoluția la extensii ).

Lema 1  -  Într-un grup finit ale cărui subgrupuri maxime au intersecție trivială 2 până la 2, unul dintre aceste subgrupuri maxime este normal .

Demonstrație

Să presupunem că niciun subgrup maxim de G nu este normal. Asa de :

H \ { e } pentru maxim H (unde e desemnează elementul neutru) fiind presupus în plus să fie disjuncte 2 la 2, ele formează o partiție de G \ { e }. Notând c numărul claselor lor de conjugare, h i indexul subgrupurilor clasei a- i -a și g ordinea lui G , deducem o contradicție:

Lema 2  -  Fie G un grup finit neciclic. Dacă toate subgrupurile maxime ale lui G sunt nilpotente, atunci G nu este simplu.

Demonstrație

Dintre intersecțiile a două subgrupuri maxime distincte (dacă există), fie I = H ∩ K de ordin maxim. Este un subgrup adecvat al grupului nilpotent H, astfel încât includerea I în normalizatorul N H ( I ) este strictă. Cu maximum de I |, singurul maxim subgrup al lui G ce conține N H ( I ) este H . De asemenea, K este singurul subgrup maxim care conține N K ( I ). Subgrupul N G ( I ), care conține atât N H ( I ), cât și N K ( I ), nu este așadar inclus în niciun subgrup maxim, adică este egal cu G sau, din nou, că I este normal.

Dacă G este simplu, deducem că | Eu | = 1 (sau altfel, G are un singur subgrup maxim). Prin urmare, putem aplica Lema 1: unul dintre subgrupurile maxime de G este normal. După cum G se presupune neciclică, acest subgrup nu este banal, ceea ce contrazice simplitatea G .

Detalii despre structura grupului

Fie G un grup finit din care toate subgrupurile proprii sunt nilpotente, atunci G este nilpotent sau de ordinul p m q n cu p și q prime distincte și m , n ≥ 1.

Demonstrație

Orice finit p -în este nilpotent. Să presupunem că | G | are cel puțin trei divizori primi. Deoarece (conform teoremei lui Schmidt) G este rezolvabil, are un subgrup normal H de indice prim p . Deoarece H este un subgrup adecvat de G , este nilpotent. Sale subgrupuri Sylow , prin urmare , sunt (complet) caracteristic în H , astfel normală în G . Să alegem în G , pentru fiecare divizor prim q al | G |, a q -Sylow P q . Conform celor de mai sus, pentru orice q ≠ p , P q este normal în G . Pe măsură ce fiecare P p P q (pentru q ≠ p ) este nilpotent (pentru proprii în G ), P p este centralizat de către toate P q așa este, ca ei, normal la G . Prin urmare, G este nilpotent.

Numere nilpotente

Un număr nilpotent este un număr întreg n ≥ 1 astfel încât orice grup de ordine n este nilpotent. Numerele nilpotente se caracterizează prin următoarea teoremă:

Să p 1 K 1 ... p r k r fi prim factorizarea de n . Numărul n este nilpotent dacă și numai dacă pentru tot i ≠ j , k i este strict mai mic decât ordinea multiplicativă a p i modulul p j .

Demonstrație

Fie n un întreg a cărui descompunere în factori primi nu satisface condiția enunțului. Atunci, n este un multiplu al unui număr întreg de forma p k q cu p și q primii distincti, k ≥ 1 și p k ≡ 1 mod q . Construim cu ușurință un grup non-nilpotent de ordine p k q , ca produs semi-direct al GL ( k , F p ) cu ℤ / q ℤ și deducem un grup non-nilpotent de ordine n , prin produs direct de un grup arbitrar de ordine adecvată.

În schimb, să presupunem că factorizarea primă a lui n îndeplinește condiția enunțului și arată că orice grup G de ordinul n este nilpotent. Procedăm printr -o inducție bine întemeiată , presupunând că afirmația este adevărată pentru toate ordinele < n . Conform secțiunii anterioare, G este apoi nilpotent unde n are exact doi factori primi p și q . Dar, în acest al doilea caz, pe ipoteza factorizării prime a teoremei lui n și 3 e a lui Sylow , G are un p -Sylow și q -Sylow unic atât de normal, astfel încât G este produsul lor direct, prin urmare, din nou, G este nilpotent.

(În special, chiar și numerele nilpotente sunt , prin urmare, puterile 2 )

Pentru orice număr întreg c ≥ 1, avem o afirmație mai precisă cu privire la clasa de nilpotență:

Pentru orice număr nilpotent n , următoarele două proprietăți sunt echivalente:

Demonstrație

Orice grup de ordine n (deci nilpotent) este un produs direct al subgrupurilor sale Sylow. Clasa sa de nilpotență este, așadar, maximul lor.

Pentru toate p prime:

Note și referințe

  1. (de) OJ Schmidt, "Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind", Mathematical Collection [ Mat. Sbornik ], Moscova, vol. 31, 1924, p.  366-372 . (Referință dată de (en) John S. Rose, Un curs despre teoria grupurilor , CUP ,1978( citiți online ) , p.  264 și 298.) Original rusesc online .
  2. Pentru o dovadă a teoremei în această formă, a se vedea G. Endimioni, „  An introduction to nilpotent groups: Cours de DEA  ” , Centre for Mathematics and Computer Science, Universitatea din Provence (Franța), 1996/1997 , p.  17-18.
  3. (de) K. Iwasawa, "Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind", Proc. Phys.-Math. Soc. Japonia , vol. 23, 1941, p.  1-4 . (Referință dată de Rose 1978 , p.  264 și 297.)
  4. Endimioni 1996/1997 , Lemma 4.2. Comparați cu lema lui (ro) Joseph Gallian și David Moulton: „  Când este Z n singurul grup de ordine n ?  » , Elemente der Mathematik , vol.  48, n o  3,1993, p.  117-119 ( citește online ), care se referă la numere ciclice .
  5. Pentru mai multe detalii, a se vedea (de) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , vol.  Eu, Springer , col.  „  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  134),2013( 1 st  ed. 1967) ( linia citit ) , p.  281.
  6. (ro) OEIS A056867  : Urmărirea numerelor nilpotente.OEIS 
  7. (in) Gerhard Pazderski, "  Die Ordnungen, zu denen nur mit Gruppen gegebenen gehören Eigenschaften  " , Arch. Matematica. , vol.  10,1959, p.  331-343 ( DOI  10.1007 / BF01240807 ).
  8. (în) Jonathan Pakianathan și Shankar Krishnan, „  numere nilpotente  ” , Amer. Matematica. Lunar , vol.  107, nr .  7,2000, p.  631-634 ( JSTOR  2589118 , citiți online )(caracterizarea numerelor rezolvabile , nilpotente, abeliene sau ciclice ).
  9. Inspirat de Pakianathan și Shankar 2000 .
  10. (în) Thomas W. Müller, „  O teoremă aritmetică legată de grupuri de clasă nilpotentă mărginită  ” , Journal of Algebra , Vol.  300, n o  1,2006, p.  10-15 ( Math Reviews  2228629 , citiți online ), susține că demonstrează în mod direct caracterizarea aritmetică completă a „numerelor nilpotente din clasă cel mult c  ” și astfel le găsim pe cele ale numerelor nilpotente (pentru c = ∞ ) și a numerelor abeliene (pentru c = 1). În realitate, dovada sa se bazează nu numai, precum cea de mai sus, pe teorema lui Schmidt și structura grupului - într-o versiune mai precisă ( Huppert 2013 , p.  281) decât cea utilizată aici, ci și pe o teoremă Hall referitoare la numărul de automorfisme ale unui grup p , în timp ce  a treia teoremă a lui Sylow ne -a fost suficientă.
  11. (în) Charles Leedham-Green  (în) și Susan McKay, Structura grupurilor de primă putere , OUP ,2002( citește online ), secțiunea 3.1.

linkuri externe