Număr ciclic (teoria grupurilor)

În teoria grupurilor , un număr ciclic este un număr întreg n astfel încât există un grup finit de ordinul n ( până la izomorfism ) grupul ciclic (ℤ / n ℤ +) , sau un număr întreg n astfel încât orice grup de ordin n este ciclic.

De asemenea, un număr abelian este un număr întreg n astfel încât orice grup de ordine n este abelian .

Orice număr ciclic este abelian și orice număr abelian este nilpotent . Apartenența unui număr întreg la una dintre aceste clase poate fi citită din descompunerea sa în factori primi .

Exemple și contra-exemple

Numărul 1 este ciclică (vezi „ grupul trivială “).
Fiecare număr prim este ciclic (vezi „ Aplicațiile teoremei lui Lagrange ”).
Numărul 15 este ciclică (vezi „ Aplicații ale teoremelor lui Sylow “).
Orice pătrat dintr-un număr prim este abelian, dar nu ciclic (a se vedea „ Nota privind grupele p ”).
Niciun număr par mai mare sau egal cu 6 nu este abelian (a se vedea „ Grupul diedru ”).
Niciun cub de număr prim p nu este abelian (a se vedea „ Grupul Heisenberg pe F p ”).
Orice divizor al unui număr abelian (respectiv ciclic) este abelian (respectiv ciclic) (vezi „ Produs direct ”).

Vezi și: „ Lista grupurilor mici ”.

Caracterizare

Fie p 1 k 1 … p r k r descompunerea lui n în factori primi (cu p 1 <… < p r și k i ≥ 1).

n este ciclic dacă și numai dacă n este prim cu φ ( n ), unde φ indică indicatorul Euler sau mai explicit: dacă n este fără pătrat (adică toți exponenții k i sunt egali cu 1) și pentru toți $i < j$ , $p i$ nu împarte $p j - 1$ .
n este abelian dacă și numai dacă n este "fără cub" (adică pentru fiecare i , k i este egal cu 1 sau 2) și pentru tot $i \neq j$ , $p i$ nu împarte $p j k d - 1$ .

Corolari:

Dacă n este abelian, numărul grupelor abeliene de ordinul n este egal cu . ${\ displaystyle 2 ^ {\ sum (k_ {i} -1)}}$
Pentru toate naturale numerele a și b nu există atât la zero o infinitate de numere abeliene conținând un factori de prim la puterea 1 și b factorii principali la puterea 2 (conform a lui Dirichlet progresie aritmetică teorema ). În mod similar, pentru toate nu este zero, există un număr ciclic infinit având un factor prim.

Demonstrație

Orice grup ciclic este abelian, adică nilpotent de clasă cel mult 1. Cu toate acestea, articolul detaliat arată că:

întregul n este nilpotent ( adică orice grup de ordine n este nilpotent) dacă și numai dacă pentru toate $i \neq j$ și toate $k$ între $1$ și $k i$ , $p j$ nu împarte $p i k - 1$ ;
orice grup de ordine n este nilpotent din clasă cel mult c (pentru c ≥ 1) dacă și numai dacă, în plus, n este „fără puteri ( c + 2) -ths”.

Numerele abeliene sunt deci numerele nilpotente fără cuburi. La fel, să arătăm că numerele ciclice sunt numerele nilpotente fără pătrate. Orice grup finit nilpotent este un produs direct al subgrupurilor sale Sylow ; este deci ciclic dacă (și numai dacă) subgrupurile sale Sylow sunt ciclice . În consecință, întregul n este ciclic dacă și numai dacă este nilpotent și dacă, în plus, fiecare dintre factorii săi primari p i k i este un număr ciclic, adică (a se vedea mai sus ) k i = 1.

Note și referințe

(De) Tibor Szele , " Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört " , Comment. Matematica. Helv. , vol. 20,1947, p. 265-267 ( DOI 10.1007 / BF02568132 ).
(în) Dieter Jungnickel , „ Despre unicitatea grupului ciclic de ordine $n$ ” , Amer. Matematica. Lunar , vol. 99, nr . 6,1992, p. 545-547 ( JSTOR 2324062 , citiți online ).
(în) Joseph Gallian și David Moulton, „ Când este $Z n$ singurul grup de ordine $n$ ? » , Elemente der Mathematik , vol. 48, n o 3,1993, p. 117-119 ( citește online ).
(în) Jonathan Pakianathan și Shankar Krishnan, „ numere nilpotente ” , Amer. Matematica. Lunar , vol. 107, nr . 7,2000, p. 631-634 ( JSTOR 2589118 , citiți online ).
(în) Sumit Kumar Upadhyay și Shiv Kumar Datt, „ Existența unui singur grup de ordine finită ” , preimprimare ,2011( arXiv 1104.3831 ).
(în) THE Dickson , „ Definiții ale unui grup și ale unui câmp de postulate independente ” , Trans. Amar. Matematica. Soc. , vol. 6,1905, p. 198-204 ( citiți online ), § 5.
(în) Thomas W. Müller, „ O teoremă aritmetică legată de grupuri de clasă nilpotentă mărginită ” , Journal of Algebra , Vol. 300, n o 1,2006, p. 10-15 ( citiți online ).

linkuri externe

(en) suite A003277 din OEIS a numerelor ciclice
(en) suite A051532 din OEIS a numerelor abeliene
(ro) „ Pentru care $n$ există un singur grup de ordine $n$ ? » , On MathOverflow (atinge întrebări de densitate asimptotică )