Subgrup maxim al unui grup

În teoria grupurilor , numim subgrup maxim al unui grup G orice element maxim al setului de subgrupuri proprii de G, acest set fiind ordonat prin incluziune. (Termenul „subgrup adecvat al lui G” va fi înțeles aici ca însemnând un subgrup al lui G diferit de G. ) Cu alte cuvinte, un subgrup maxim al lui G este un subgrup propriu H al lui G astfel încât niciun subgrup al lui G nu este strict între H și G .

Toate elementele unui grup G aparținând oricărui maxim subgrup al lui G este , evident , un subgrup al G . Se numește subgrupa Frattini al G .

Exemple de subgrupuri maxime

• Conform formulei indexului , orice subgrup de index primit finit este un subgrup maxim.
• Știm că grupul alternativ A 4 este un grup de ordinul 12 care nu are subgrup de ordinul 6; un subgrup de ordinul 3 al lui A 4 (există, evident, unele) este, prin urmare, un subgrup maxim de index 4 (nu prim).

Unele fapte

• Un grup redus la elementul neutru nu are subgrupuri adecvate și, prin urmare, nu are subgrupuri maxime.
• Într-un grup finit , orice subgrup adecvat este conținut în cel puțin un subgrup maxim.
  (Dintre subgrupurile proprii ale unui grup finit G care conțin subgrupul adecvat H , considerăm unul a cărui ordine este cea mai mare posibilă.)
• În special, orice grup finit care nu este redus la elementul neutru admite cel puțin un subgrup maxim.
  (În cele de mai sus, faceți H = 1.)
• Mai general, în orice grup de tip finit , orice subgrup adecvat este conținut în cel puțin un subgrup maxim.
  Justificare. Să G un grup finit generat și H un subgrup propriu G . Fie E să noteze setul de subgrupuri proprii de G care conțin H și să demonstreze că E , ordonat prin incluziune, este inductiv . Acesta include H și, prin urmare, nu este gol. Deci , doar pentru a demonstra că întâlnirea U un set de non-gol X total comandat prin includerea unor anumite subgrupuri de G care conțin H este ea însăși un subgrup corespunzătoare G conținând H . Este ușor de arătat că această întâlnire este un subgrup al lui G ce conține H . Prin urmare, principalul lucru este să dovedim că această reuniune nu este egală cu întreaga lui G. Alegeți un subset finit {x 1 , ..., x n } din G generatoare G . Este suficient să se demonstreze că U nu include toate x i . Altfel, nu ar exista în X un subgrup H 1 cuprinde x 1 , ..., un subgrup H n care cuprinde x n . Deoarece mulțimea X este complet ordonată prin incluziune, unul dintre aceste n subgrupuri ar conține atât x 1 , ... cât și x n , prin urmare ar fi egal cu G întreg întreg, contradicție. Prin urmare, am demonstrat, așa cum sa menționat, că setul E al subgrupurilor proprii de G conținând H , ordonate prin incluziune, este inductiv. Conform lemei Zorn , deci are un element maximal și este clar că un astfel de element de maximal este un subgrup maximal al G conținând H .
• Dacă un subgrup maxim este normal , indicele său este finit și prim.
  Într-adevăr, dacă un subgrup normal M al lui G este un subgrup maxim al lui G , atunci, conform teoremei corespondenței , grupul G / M este non-trivial (prin „trivial” înțelegem aici redus la l 'element neutru) și are niciun alt subgrup decât el însuși și subgrupul său trivial, deci G / M este de ordin finit și prim .
• Deoarece orice subgrup al unui grup abelian este normal, rezultă din faptul anterior că orice subgrup maxim al unui grup abelian are un indice finit și prim.

Se arată cu ușurință că singurul subgrup index finit al grupului aditiv Q al numerelor raționale este Q însuși. (Fie G un subgrup al indicelui finit al lui Q , fie n indicele lui G din Q. Apoi, pentru toate x din Q , nx ​​aparține lui G. Dar orice număr rațional este de forma nx pentru un anumit număr x rațional , deci G = Q. ) Deci, din cele de mai sus,

• Q nu are subgrupuri maxime.
• Mai general, un grup abelian este divizibil dacă și numai dacă nu are un subgrup maxim.
• Vedem astfel că un grup infinit poate să nu aibă un subgrup maxim.

Un subgrup maxim nu este neapărat normal (am văzut că un subgrup de ordinul 3 al grupului alternativ A 4 este maxim, dar un astfel de subgrup nu este normal), dar dovedim că în orice grup nilpotent , orice subgrup maxim este normal.

Un exemplu de utilizare a noțiunii de subgrup maxim este următoarea teoremă: o operație tranzitivă a unui grup G pe un set X de cel puțin două elemente este primitivă dacă și numai dacă, pentru orice element x al lui X , stabilizatorul x este un subgrup maximal al G .

Note și referințe

1. Definiția este conformă cu Josette Calais , Elements of group theory , Paris, PUF ,1984, p.  159.
2. A se vedea de exemplu (en) Joseph J. Rotman  (en) , Introducere în teoria grupurilor [ detaliu ediții ], Ediția a 4- a , ediția 1999, p. 48.
3. Vezi de exemplu Calais 1984 , p.  163.
4. Vezi de exemplu Calais 1984 , p.  161, sau Rotman 1999 , p.  117.
5. Vezi de exemplu Calais 1984 , cap. IV, exerc. 36, c), p. 174.
6. De exemplu, a se vedea (în) WR Scott , Theory Group , repr. Dover,1987( citiți online ) , p.  143, enunț 6.4.9.
7. Pentru o demonstrație, a se vedea de exemplu Rotman 1999 , p.  258.

Articol asociat

Grup super-rezolvabil