Teoremele lui Sylow

In teoria grupurilor finite , a teoremelor Sylow formează o reciprocă parțială a teoremei lui Lagrange , conform căruia, în cazul în care H este subgrup al unui grup finit G , atunci ordinea de H divide ordinul lui G . Aceste teoreme garantează, pentru anumiți divizori de ordinul lui G , existența subgrupurilor de ordine egale cu acești divizori și oferă informații despre numărul acestor subgrupuri.

Aceste teoreme poartă numele matematicianului norvegian Ludwig Sylow , care le-a demonstrat în 1872. Ulterior, au fost parțial generalizate în cazul grupurilor infinite.

Definiție

Fie p un număr prim și G un grup finit; apoi definim un Sylow p -subgrup al lui G ca un element maxim al setului de p -subgrupuri ale lui G , ordonat prin incluziune. Cu alte cuvinte, este un p -subgrup al lui G care nu este conținut în nici un alt p -subgrup al lui G. Orice p -subgrup al lui G este inclus într-un p -subgrup maxim, ceea ce garantează existența Sylow p -subgrupuri . Ansamblul (nu este gol, așa) tuturor p grupări -under-Sylow pentru un prim număr întreg p dat este uneori notat Syl p G . Ele sunt , de asemenea , numite mai simplu: p -Sylow a G .

Colecțiile de subgrupuri maxime, într-un sens sau altul, nu sunt neobișnuite în teoria grupurilor. Rezultatul este surprinzător aici faptul că , în cazul Syl p G , toți membrii sunt de fapt conjugate împreună (și , prin urmare , izomorfe) și această proprietate poate fi exploatată pentru a determina alte proprietăți G .

Teoremele lui Sylow

Următoarele propuneri au fost prezentate și demonstrate de matematicianul norvegian Ludwig Sylow în 1872.

Teoremele lui Sylow pentru grupuri finite - Fie G un grup de ordine p n s , unde p este un număr prim, n este un număr natural natural și p nu împarte s , cu alte cuvinte n este evaluarea p-adică a ordinii G . Asa de :

Teorema 1 : Există un p -Sylow de G de ordinul p n .
Teorema 2 : Toate p -Sylow ale G sunt conjugate între ele, adică, în cazul în care H și K sunt două p -Sylow de G , atunci există un element g în G verificarea GES -1 = K .
Teorema 3 : Fie n p numărul p -Sylow al G .
- n p divide s .
- n p ≡ 1 mod p

În special, primele două teoreme implică faptul că

p -Sylow a G sunt exact subgrupurilor de ordinul p n ,

de aceea orice p -subgrup al lui G este inclus într-un subgrup de ordinul p n .

Mai mult decât atât, a doua teorema implică faptul că toate p -Sylow de G sunt izomorfe , iar Normalizarea fiecăruia este să indice n p în G .

Exemple, aplicații

Fie G un grup de ordine 15 = 3 · 5. Trebuie să avem n 3 împarte 5 și n 3 ≡ 1 mod 3. Singura valoare care îndeplinește aceste constrângeri este 1; astfel, există un singur subgrup de ordinul 3 și trebuie să fie normal (deoarece nu are conjugate distincte). În mod similar, n 5 împarte 3 și n 5 ≡ 1 mod 5; prin urmare, are și un singur subgrup normal de ordinul 5. Deoarece 3 și 5 sunt coprimă, intersecția acestor două subgrupuri este banală și, prin urmare, G este în mod necesar un grup ciclic . Astfel, există un singur grup de ordine 15 (până la izomorfism): gruparea Z / 15 Z .

Să dăm un exemplu mai complex. Putem arăta că nu există un grup simplu de ordine 350. Dacă | G | = 350 = 2 · 5 2 · 7, atunci n 5 trebuie să împartă 14 (= 2 · 7) și n 5 ≡ 1 mod 5. Deci n 5 = 1 (din moment ce nici 6, nici 11 nu împart 14) și deci G trebuie să au un subgrup normal de ordinul 5 2 și, prin urmare, nu pot fi simple.

Articolul grup simplu de ordine 168 folosește o teoremă Sylow pentru a demonstra simplitatea unui grup. Articolul de grup alternativ folosește aceste teoreme pentru a arăta că cel mai mic grup simplu non-abelian este de ordinul 60.

Demonstrații

Dovada teoremelor Sylow se bazează pe proprietățile acțiunii prin conjugare grupării G de pe sine și la toate părțile sale , precum și restrângerea acestei acțiuni la un subgrup H :

ecuația a claselor de G , | G | = | Z ( G ) | + ∑ i [ G : Z i ], unde
- Z ( G ) este centrul lui G ,
- fiecare Z i este un subgrup strict de G , cu index [ G : Z i ]> 1;
| Cl ( S ) | = [ G : N ( S )], unde
- S este orice subset al lui G ,
- Cl ( S ) este clasa sa de conjugare , ale cărei elemente sunt părțile lui G de forma gSg -1 , pentru fiecare g din G ,
- subgrupul N ( S ) este normalizatorul lui S în G ;
în mod similar, | Cl H ( S ) | = [ H : N H ( S )], unde
- Cl H ( S ) este clasa conjugării lui S cu elementele lui H , adică setul de hSh -1 , pentru fiecare h în H ,
- N H ( S ) = H ∩N ( S ).

Dovada teoremei 1

Vom proceda prin inducție pe ordinea de G . Dacă această ordine valorează 1 (sau mai general dacă n = 0, adică dacă p nu împarte ordinea lui G ), grupul trivial este într-adevăr un subgrup de G de ordinul p n = 1. Să presupunem acum că G este nu banal, iar teorema 1 este verificată pentru orice grup de ordine strict inferior ca G .

Dacă G are un subgrup strict de indice prim la p atunci, conform ipotezei de inducție, acest subgrup are un subgrup de ordin p n ; astfel, este același pentru G .
Dacă, dimpotrivă, toate subgrupurile stricte ale lui G au un indice divizibil cu p atunci, în ecuația clasei, | G | și toate [ G : Z i ] sunt divizibile cu p , deci | Z ( G ) | de asemenea. Deoarece Z ( G ) este și abelian , are un subgrup H de ordinul p . Acest subgrup H fiind normal în G (deoarece este inclus în centrul lui G ), putem considera grupul coeficient G / H , al cărui ordin este p n -1 s . Conform ipotezei de inducție, G / H are apoi un subgrup L de ordinul p n -1 . Fie K imaginea reciprocă a lui L prin proiecția canonică a lui G pe G / H : este un subgrup de G care conține H , iar K / H este izomorf pentru L (conform primei teoreme a izomorfismului ). Deoarece H este de ordinul p , atunci K este de ordinul p n .

Dovada teoremelor 2 și 3

Să K o p -Sylow de G , n K numărul de conjugate, și H o p -Sylow pe oricare dintre G . In timp ce conjugarea clasei CI ( K ), orbita K pentru acțiunea grupării G este în mod natural împărțit în sub-orbite de acțiune (restrânsă) grupa H . Astfel n K = ∑ i | Cl H ( L i ) |, unde am ales un element L i în fiecare suborbită.

Acum cardinalul [ H : N H ( L )] al oricărei suborbite a unui element L de Cl ( K ):

este o putere de p , ca orice indice finit al unui subgrup într - un p -în ;
este egal cu 1 (și dacă) numai dacă H = L . Într-adevăr, dacă 1 = [ H : N H ( L )] = [ H : H ∩N ( L )] atunci H este inclus în N ( L ), astfel încât HL este un grup în care L este normal. Mai mult, conform celei de- a doua teoreme a izomorfismului , grupul coeficient de HL de L este izomorf la grupul H / ( H ∩ L ), deci este un grup p . Deoarece L este, de asemenea, un grup p , la fel este și HL . Prin maximalitate de H și L este dedus: H = HL = L .

Prin aplicarea celor de mai sus cazului particular H = K , deducem că n K este o sumă de puteri ale lui p, dintre care exact una este egală cu 1, prin urmare, n K este congruent cu 1 modul p .
În special, n K nu este divizibil cu p . Deci , apoi aplicând mai sus la un p -Sylow H orice, se deduce că există cel puțin un L în CI ( K ) astfel încât M = L , și anume: că H este un conjugat de K . Prin urmare, numărul n p a p -Sylow a G este exact n K .
Celălalt fapt despre n p urmează aproape imediat: deoarece n p = n K este congruent cu 1 modul p , este prim cu p n . Totuși, în plus, n K = [ G : N ( K )] împarte | G | = p n s . Deducem că împarte s .

Rețineți că argumentele 1 și 2 de mai sus (și analiza anterioară care le-a fondat) rămân valabile atunci când | Cl ( K ) | = [ G : N ( K )] este finit; astfel putem afirma într-un mod analog:

Teorema lui Sylow pentru grupuri infinite - Dacă unul dintre p -Sylows din G are doar un număr finit de conjugate, atunci toate p -Sylows din G sunt conjugate, iar numărul lor este congruent cu 1 modulo p .

În această teoremă, presupunerea este crucială: există grupuri (neapărat infinite) care au p -Sylow neconjugate și chiar neizomorfe, de exemplu produsul liber al a două grupuri- p nu este izomorf și nu trivial sau „grupul simetric numărabil” , adică subgrupul grupului simetric format din permutații cu suport finit. $\ scriptstyle {\ mathfrak {S}} (\ mathbb {N})$

Alte demonstrații

O altă dovadă a primei teoreme (existența lui p -Sylow, în sensul: p -subgrupuri de indici primi la p ) constă în verificarea mai întâi a acestei teoreme pentru grupul liniar GL n ( Z / p Z ), care este de ordin ( p n –1) ( p n –p )… ( p n –p n –1 ) , menționând că subgrupul format din matricile triunghiulare superioare cu 1s pe diagonala principală este de ordinul p × p 2 × ... × p n –1 este deci un p -Lung. Etapa cheie este apoi o lemă de „stabilitate a primei teoremei subgrupe“ care construiește, pentru orice subgrup H al unui grup finit G , un p -Sylow pentru H dintr - o p -Sylow pentru G . În concluzie, este suficient să observăm că, datorită teoremei lui Cayley , orice grup de cardinal n este identificat cu un subgrup (format din matrici de permutare ) din grupul GL n ( Z / p Z ).
De asemenea, putem face ca G să acționeze prin multiplicare dreaptă pe mulțimea părților lui G ale cardinalului p n . Setul acestor părți este de cardinal care nu este divizibil cu p , deci există o parte al cărei cardinal al orbitei nu este divizibil cu p ; verificăm apoi dacă stabilizatorul său este un p -Sylow. ${\ displaystyle {\ binom {p ^ {n} s} {p ^ {n}}}}$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Teoreme Sylow ” ( vezi lista autorilor ) .

M. L. Sylow, „ Teorema asupra grupurilor de substituție ”, Math. Ann. , vol. 5,1872, p. 584-594 ( citește online )
(de) AP Dietzmann , A. Kurosch și AI Uzkow , „ Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen ” , Rec. Matematica. [Catarg. Sbornik] NS , voi. 3 (45), nr . 1,1938, p. 179–185 ( citește online )
Această proprietate este aproape de finitudinea G . În cazul unui grup infinit G (ale cărui p- Slow sunt definite exact în același mod), acesta este asigurat de lema lui Zorn , cf. JJ Rotman, O introducere în teoria grupurilor , Springer, 1995, ( ISBN 978-0 -387-94285-8 ) , p. 78 .
(în) H. și B. Kurzweil Stellmacher, Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer, 2004 ( ISBN 0-387-40510-0 ) , p. 63 și următoarele
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaliu ediții ]p. 19-20
În declarația teoremei 1, precizia " p -Sylow„este desigur redundant: fiecare subgrup al lui G de ordin p n este , evident , o p -Sylow de G .
Uneori această caracterizare este luată ca o definiție a lui p -Sylow, ca în: Bourbaki, Algebra, Partea 1, Springer 2006 ( ISBN 9783540338499 ) p. AI74 § 6 def 10 ; J.-P. Serre, grupuri finite (Curs la ENSJF 1978/79); Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaliu ediții ]p. 18; Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]cap. I § 6; Aviva Szpirglas , Algebra L3: Curs complet cu 400 de teste și exerciții corectate [ detaliul ediției ]def 6.115; M. Reversat, B. Bigonnet, Algèbre pour la license, Cours et Exercices corrigés , Dunod (2000) p. 50 sau cursul Wikiversității despre teoremele lui Sylow .
Elementele acestei dovezi sunt în esență aceleași ca în Serge Lang , Algèbre [ detaliul edițiilor ], dar prezentată într-o ordine diferită, astfel încât o parte din dovadă rămâne valabilă chiar și atunci când grupul G este infinit.
Această notație este introdusă la p. 59 de H. Kurzweil, B. Stellmacher, Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer, 2004.
Vezi articolul Grupul abelian finit sau (fără a invoca abelianitatea) articolul Teorema lui Cauchy .
Demonstrația prezentată aici este în esență aceeași cu (în) WR Scott, Theory Group , Dover,1987( 1 st ed. 1964) ( linia citit ), Teorema 6.1.10, p. 133 .
Această dovadă este detaliată în paragraful „Prima teoremă a lui Sylow” a paginii Wikiversitate legată mai jos . Este prezentat de Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaliu ediții ](p. 18 al ediției din 1996) preluat din cursul lui Jean-Pierre Serre la ENSJF în 1978/79: Grupuri finisate .

Vezi și tu