Teorema lui Cayley
În teoria grupurilor , teorema lui Cayley este un rezultat elementar care stabilește că orice grup realizează ca un grup de permutări , adică ca un subgrup al unui grup simetric :
Orice grup G este izomorf la un subgrup al grupului simetric S ( G ) de permutări ale G . În special, dacă G este un grup finit de ordinul n , este izomorf pentru un subgrup al lui S n .
Demonstrație
Fie G un grup și g un element al acestui grup. Definim harta t g de la G la G ca fiind traducerea din stânga:
∀X∈Gtg(X)=gX.{\ displaystyle \ forall x \ in G \ qquad t_ {g} (x) = gx.}
Asociativitatea a legii de grup este echivalent cu:
(⋆)∀g,h∈Gtgh=tg∘th.{\ displaystyle (\ star) \ qquad \ forall g, h \ in G \ qquad t_ {gh} = t_ {g} \ circ t_ {h}.}
Deducem în special că t g este o permutare (de bijecție reciprocă t g −1 ), care permite definirea unei hărți t de la G la S ( G ) prin:
∀g∈Gt(g)=tg.{\ displaystyle \ forall g \ in G \ qquad t (g) = t_ {g}.}
Conform primei teoreme a izomorfismului , t realizează deci un izomorfism între G și subgrupul Im ( t ) al lui S ( G ) .
Observații
- Dacă G este de ordinul n , grupul S n în care este scufundat este de ordinul n ! .
- Teorema este reformulată spunând că orice grup acționează fidel asupra sa. Acțiunea pe care o construim este de fapt chiar pur și simplu tranzitivă .
Utilizări
Istoric
Teorema este de obicei atribuită lui Arthur Cayley și datată în 1854. Cu toate acestea, uneori este atribuită și lui Camille Jordan , care a formulat-o și a dovedit-o mai explicit într-un tratat din 1870: permutările t g sunt „regulate”, adică , pentru g ≠ e , t g nu are punct fix și ciclurile disjuncte din care este produs sunt toate de aceeași lungime.
Note și referințe
-
(în) Arthur Cayley, „ Despre teoria grupurilor, în funcție de ecuația simbolică θ n = 1 ” , Philos. Mag. , vol. 7, n o 4,1854, p. 40-47.
-
De exemplu în (în) William Burnside , Teoria grupurilor de ordine finită , Cambridge,2004( 1 st ed. 1911) ( ISBN 978-0-486-49575-0 , citit on - line ) , p. 22.
-
Camille Jordan , Tratat privind substituțiile și ecuațiile algebrice , Paris, Gauther-Villars,
1870( citiți online ) , p. 60-61.
-
Aceste observații despre paternitatea teoremei de la introducerea
(în) Eric Nummela , „ Teorema lui Cayley pentru grupuri topologice ” , Amer. Matematica. Lună. , vol. 87, nr . 3,1980, p. 202-203 ( JSTOR 2321608 ).
Articol asociat
Lema Yoneda
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">