În matematică , se spune că o serie infinită este divergentă dacă secvența sumelor sale parțiale nu este convergentă .
În ceea ce privește seriile de numere reale sau de numere complexe, o condiție necesară de convergență este aceea că termenul general al seriei tinde spre 0 . Prin contrapunere , aceasta oferă multe exemple de serii divergente, de exemplu una în care toți termenii sunt egali cu 1 . Un exemplu de serie divergentă al cărei termen general tinde spre 0 este seria armonică :
În anumite cazuri, este totuși posibil să se atribuie o valoare finită (se vorbește și despre antilimit ) seriei utilizând o procedură cunoscută sub numele de „însumare” sau „sumabilitate”, dintre care există mai multe variante. Seria Grandi 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... este astfel atribuit valoarea 1/2, de exemplu. Valorile astfel obținute nu au adesea nicio legătură cu sumele parțiale ale seriei, ceea ce duce la scrieri paradoxale precum 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12.
În fizica teoretică , în multe situații soluțiile pot fi calculate numai prin intermediul teoriei perturbării , care oferă rezultate sub forma unor serii care sunt cel mai adesea divergente; utilizarea sumelor parțiale adecvate oferă totuși aproximări numerice excelente. Mai surprinzător, valorile obținute prin metode de însumare precum regularizarea zeta au adesea o semnificație fizică, de exemplu în calculul efectului Casimir .
Noțiunea de convergență a dat naștere în rândul matematicienilor greci la întrebări „filosofice” bine reprezentate de paradoxurile lui Zenon ; mai mult, convergența (sau nu) a anumitor serii precum seria armonică (a cărei divergență a fost demonstrată în Evul Mediu de matematicianul Nicole Oresme ), în niciun caz intuitivă, nu necesită definiții precise. Deși nu a fost luată strict la 19 - lea secol , non-convergența seria Grandi sau divergență brută a seriei 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ este clar înțeleasă din 17 - lea secol . Leonhard Euler pare să fi fost primul care a folosit totuși astfel de serii divergente, fiind pe deplin conștient de absurditatea aparentă a ceea ce a scris; observații similare găsim în stiloul lui Abel și Ramanujan . Cu toate acestea, explicația succesului metodelor lor nu va fi dată decât după lucrările lui Borel și Hardy în jurul anului 1930; aplicații mai precise, în special în fizică sau analize numerice, nu au fost justificate până în anii '90.
Un prim mod de a defini suma unei serii divergente constă în schimbarea topologiei setului de numere la care lucrăm. Amintiți-vă că seria de termeni generali converge spre S când secvența sumelor parțiale tinde spre S (notată atunci ), adică când . Această definiție, însă, depinde de alegerea standardului |, și este posibil să se definească astfel, de exemplu, limita unei serii divergente (în sensul obișnuit) de raționale, alegând pe ele o distanță diferită de valoarea absolută. Teorema lui Ostrowski însă, arată că numai absolute valori p -adic au proprietăți suficient de adecvate, care le permite să rezume câteva serii divergente, cum ar fi seriile geometrice care converge spre corpul numerelor p -adic dacă p divide R .
O metodă de însumare este o funcție pornind de la un anumit subset al setului de secvențe de sume parțiale de serii cu termeni reali sau complexi (care se identifică în mod natural cu setul de secvențe cu termeni reali sau complexi, dar este obișnuit și, prin urmare, mai practic nu pentru a face această identificare atunci când vorbim de serii), și cu valori în mulțimea numerelor reale sau complexe. Fixăm următoarele notații: ( a n ) este o serie de numere reale sau complexe, s este seria de termeni generali a n , iar sumele sale parțiale sunt notate . Primele proprietăți de discutat despre o metodă de însumare M sunt:
Unele metode importante, cum ar fi sumarea Borel, nu sunt stabile. Din punct de vedere numeric, abandonarea proprietăților de regularitate și liniaritate permite, de asemenea, să conducă la metode puternice, precum cea a aproximanților lui Padé . Nici schimbarea topologiei menționată în paragraful anterior nu este o metodă obișnuită: este posibil să se construiască secvențe de raționale care converg simultan în real și în p -adics, dar către valori raționale distincte.
Compararea a două metode de însumare distincte se poate face prin următoarele noțiuni: două metode A și B sunt considerate compatibile (sau consistente) dacă atribuie aceeași valoare fiecărei serii pe care o însumează amândouă. Între două metode compatibile, dacă una reușește să însumeze toate seriile pe care cealaltă reușește să le însumeze, se spune că este mai puternică.
Punctul de vedere axiomatic constă în găsirea consecințelor asupra proprietăților unei metode de însumare din proprietățile de bază. De exemplu, orice metodă regulată, stabilă și liniară care reușește să însumeze seria geometrică a rațiunii r alta decât 1 le însumează la aceeași valoare, specificată în următorul calcul:
O metodă de însumare M se spune că este regulată dacă rezultatele pe care le oferă sunt, pentru seria convergentă, aceleași cu sumele acestor serii în sens clasic. Un astfel de rezultat poartă denumirea generală a teoremei abeliene , iar teorema lui Abel referitoare la valoarea seriilor întregi pe cercul convergenței este un prototip al acesteia. Cele taubériens Teoremele sunt rezultate reciproce, asigurând o metodă M însumare fiind solidara, orice serie rezumată prin această metodă satisface o anumită condiție suplimentară ( în funcție de metoda) este de fapt o serie convergent . Solicitarea unei condiții suplimentare este importantă, întrucât o metodă de verificare a teoremei tauberiene fără o astfel de condiție nu ar fi de fapt în măsură să adune alte serii decât cele convergente și, prin urmare, nu ar avea niciun interes pentru studiul seriilor divergente.
Operatorul care își atribuie suma unei serii convergente este liniar; în plus, conform teoremei lui Hahn-Banach , poate fi extinsă într-un operator liniar pe spațiul seriei a cărui succesiune de sume parțiale este mărginită. Cu toate acestea, acest mod de a ataca problema se dovedește a nu fi foarte fertil: pe de o parte, dovada astfel obținută se bazează pe lema lui Zorn și, prin urmare, este neconstructivă ; pe de altă parte, nu există un rezultat unic, iar diferitele metode de însumare obținute nu sunt foarte compatibile.
Problema însumării seriilor divergente este astfel centrată pe căutarea metodelor explicite, cum ar fi însumarea lui Abel , lema lui Cesàro sau însumarea lui Borel și relațiile lor. Teoremele tauberiene sunt, de asemenea, un subiect important; în special prin teorema tauberiană a lui Wiener care aruncă lumină asupra legăturilor neașteptate dintre analiza Fourier și metodele rezultate din studiul algebrelor Banach .
Suma seriilor divergente este, de asemenea, legată de metodele de extrapolare și metodele de transformare a secvenței , cum ar fi aproximanții Padé .
Fie p = ( p n ) o secvență cu termeni pozitivi și care verifică convergența:
Fie s o secvență s , a termenului general s m . Media sa Nörlund relativă la secvența p este limita secvenței de termeni generali:
și se notează N p ( s ).
Aceste metode de însumare sunt regulate, liniare, stabile și consistente între ele. Pentru k întreg strict pozitiv, cazul special al secvenței p ( k ) a termenului general:
este metoda de însumare a lui Cesàro de ordinul k , notată C k , prin urmare: C k ( s ) = N ( p ( k ) ) ( s ). Această definiție este extinsă în general prin denumirea C 0 a însumării obișnuite a seriilor convergente; C 1 este însumarea obișnuită Cesàro, deoarece . Pentru h > k , suma Cesàro a ordinii h este mai puternică decât cea a ordinii k .
Fie λ = {λ 0 , λ 1 , λ 2 , ...} o secvență strict crescătoare de reali pozitivi care tind spre infinit. Suma lui Abel legată de secvența λ a unei serii s a termenului general a n este
cu condiția ca următoarea sumă care definește funcția f să fie convergentă pentru x suficient de aproape de 0:
Seriile acestei forme sunt generalizări ale seriei Dirichlet .
Aceste metode de însumare sunt regulate, liniare, stabile, dar în general nu există consistență între două astfel de metode (adică pentru două alegeri distincte ale lui λ).
În cazul λ n = n , obținem prin schimbarea variabilelor z = e - x expresia:
Și limita lui f pe măsură ce x se apropie de 0 este, prin urmare, limita întregii serii de mai sus, pe măsură ce z se apropie de 1 (de-a lungul axei reale, cu valori mai mici).
Convocarea lui Abel este compatibilă cu cea a lui Cesàro și este mai puternică decât aceasta la orice ordine.
În cazul λ n = n ln ( n ), obținem:
Limita pe măsură ce x se apropie de 0 este suma Lindelöf a termenului general seria a n . Această metodă are aplicații pentru întreaga serie.
Metodele precedente pot fi interpretate ca valori ale funcțiilor asociate seriei; alte câteva metode de însumare se bazează pe o extensie analitică a unei astfel de funcții.
Dacă Σ a n x n converge pentru x de modul mic și poate fi extins de la punctul x = 0 la punctul x = 1 printr-o anumită cale, atunci suma Σ a n poate fi definită ca valoarea acestei prelungiri în x = 1 . Rețineți că această însumare se poate modifica în funcție de calea aleasă.
Suma Euler este în esență o formă explicită de continuare analitică. Dacă o serie întreagă Σ a nz n converge pentru orice complex z și poate fi prelungită analitic continuu pe discul deschis cu diametrul [−1 / ( q +1), 1] și este continuă la 1, atunci valoarea în acest moment este numită suma Euler a seriei Σ a n și notată (E, q ) Σ a n Euler a folosit această tehnică înainte ca ideea extensiei analitice să fie clar definită și a dat mai multe rezultate pentru cazul întregii serii.
Suma Euler poate fi iterată, ceea ce va da în cele din urmă o continuare analitică a întregii serii la punctul z = 1.
Se poate defini suma seriei Σ a n ca valoarea dată de continuarea analitică a unei serii de Dirichlet
pentru s = 0, dacă valoarea limită există și este unică.
Dacă seria
(pentru un n pozitiv) converge pentru s suficient de mare și poate fi extins analitic pe linia reală spre s = −1, atunci valoarea sa în s = −1 se numește suma seriei „zeta-regularizate” Σ a n . Această regularizare este neliniară.
În aplicații, numerele a i sunt uneori valorile proprii ale unui operator autoadjunct A de rezolvare compactă și, în acest caz, f ( s ) este urmele lui A - s . De exemplu, dacă A admite ca valori proprii 1, 2, 3, ... atunci f ( s ) este funcția zeta Riemann , ζ ( s ), a cărei valoare în s = −1 este egală cu −1/12, ceea ce permite să dea această valoare seriei 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . Alte valori ale lui s pot fi date pentru seriile divergente unde B k este un număr Bernoulli .
Paradoxal, utilizarea seriilor divergente (de obicei provenite din expansiuni asimptotice ) prin calcularea doar a sumelor parțiale trunchiate la cel mai mic termen oferă adesea rezultate numerice mai precise (și cu mai puține calcule) decât cele obținute folosind seriile convergente. În fizica teoretică , în multe situații, cum ar fi problema cu N corpuri in mecanica cereasca , atunci când N > 2, problema de a N corpul relativității generale , atunci când N > 1, problema pentru N > 2 corpuri în mecanica cuantică , cuantumul teoriei câmpurile perturbative ale „ modelului standard ” etc., soluțiile pot fi calculate numai prin intermediul teoriei perturbațiilor , care oferă rezultate sub forma unor serii care sunt cel mai adesea divergente, dar pentru care metoda sumelor parțiale oferă aproximări excelente .
Jean-Pierre Ramis , „Seria divergentă”, Pour la science , 350 (decembrie 2006), 132-139.
Biblioteca virtuală„Seriile divergente sunt o invenție a diavolului și este păcat că îndrăznim să bazăm orice demonstrație pe ele. Putem obține de la ei orice vrem când le folosim și ei sunt cei care au produs atâtea eșecuri și atâtea paradoxuri. Ne putem gândi la ceva mai înspăimântător decât să spunem: Prietenii mei, iată ceva de râs. "