Seria Grandi

În analiza matematică , seria 1 - 1 + 1 - 1 + ... sau este uneori numită seria Grandi , numită după matematicianul, filosoful și preotul Luigi Guido Grandi , care a dat o analiză celebră în 1703. Este vorba despre „o serie divergentă , adică secvența sumelor sale parțiale nu are limită. Dar ei sumă Cesaro , adică limita de Cesaro înseamnă a aceleiași secvențe, există și este egală cu de 1 / cu 2 . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n}}$

Euristică

O metodă evidentă de a face față seriei

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

este să o tratezi ca pe o serie telescopică și să efectuezi scăderile la nivel local:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +… = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Cu toate acestea, o altă paranteză analogă duce la un rezultat aparent contradictoriu:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +… = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Astfel, prin aplicarea parantezelor seriei Grandi în moduri diferite, se pot obține „valorile” 0 sau 1 (variații ale acestei idei, numite tracțiunea mâinii lui Eilenberg-Mazur (en) , sunt uneori folosite. În teoria nodurilor sau algebra ).

Tratând seria Grandi ca o serie geometrică divergentă (în) , se pot utiliza aceleași metode algebrice care evaluează seria convergentă geometrică pentru a obține o a treia valoare:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., deci 1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S ,

rezultând S = 1 ⁄ 2 . Ajungem la aceeași concluzie calculând - S , scăzând rezultatul din S și rezolvând 2 S = 1.

Manipulările de mai sus nu iau în considerare ce înseamnă de fapt suma seriei. Cu toate acestea, în măsura în care este important să putem parantezi seria așa cum dorim și, mai presus de toate, să facem aritmetica asupra lor, putem ajunge la două concluzii:

seria 1 - 1 + 1 - 1 + ... nu are sumă
… Dar suma sa ar trebui să fie egală cu 1 ⁄ 2 .

De fapt, ambele situații pot fi specificate și dovedite, dar numai folosind concepte matematică care au fost dezvoltate în definite al XIX - lea secol. La sfârșitul XVII - lea secol , cu introducerea de calcul , dar înainte de apariția rigorii moderne, tensiunile dintre răspunsurile au alimentat un argument încălzit între matematicieni și fără sfârșit.

Divergenţă

În matematica modernă, suma unei serii infinite este definită ca limita secvenței sumelor sale parțiale, dacă există. Secvența sumelor parțiale din seria Grandi este 1, 0, 1, 0, ..., ceea ce în mod clar nu se apropie de niciun număr (chiar dacă acest lucru are ca rezultat valori de adeziune de 0 și 1). Astfel, conform definiției moderne a convergenței unei serii, seria Grandi este divergentă. Mai mult, conform acestei definiții, o serie convergentă trebuie să-și vadă în mod necesar termenul general tendind spre 0, ceea ce nu este cazul seriei Grandi, deoarece aceasta este alternativ egală cu -1 sau 1.

Putem arăta că nu este valid să se efectueze operațiuni pe o serie, aparent inofensivă, dar numeroase, cum ar fi reordonarea anumitor termeni, cu excepția cazului în care seria este absolut convergentă . Dacă nu este, aceste operații pot modifica rezultatul însumării. Putem dovedi cu ușurință că o reordonare a termenilor seriei Grandi poate da, ca valori de aderență a secvenței sumelor parțiale, orice set de cel puțin două numere întregi relative consecutive și nu doar perechea {0, 1}.

Convocare

Prin chemarea lui Cesàro

Prima metodă riguroasă de calcul al seriilor divergente vine de la Ernesto Cesàro . Ideea principală este de a calcula media sumelor parțiale ale seriei: pentru fiecare n , calculăm media $σ n$ a primelor n sume parțiale, iar suma este limita acestei noi serii de sume.

Pentru seria Grandi, aceste medii dau succesiv:

1, \, {\ frac 12}, \, {\ frac 23}, \, {\ frac 24}, \, {\ frac 35}, \, {\ frac 36}, \, {\ frac 47}, \, {\ frac 48}, ...

este

\ sigma _ {n} = {\ frac 12}

dacă n este par și dacă n este impar.

\ sigma _ {n} = {\ frac 12} + {\ frac {1} {2n}}

Această secvență are într - adevăr converg la de 1 / cu 2 , o valoare numită sumă a seriei Grandi Cesaro lui .

Prin chemarea lui Abel

Această metodă implică aplicarea teoremei lui Abel .

Pentru o serie digitală $de 0 + a 1 + a 2 + ...$ , vom construi întreaga serie asociat $un 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...$ . Dacă întreaga serie converge pentru toți $0 < x <1$ către o funcție care admite o limită la $x = 1$ , atunci această limită este suma lui Abel din seria numerică.

Pentru seria Grandi, recunoaștem:

\ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ n = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-x) ^ n = \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ frac {1} {1 + x} = \ frac12.

Prin chemarea lui Borel

Suma Borel a seriei Grandi este de asemenea 1 / cu 2 . Într-adevăr, seria asociată în acest caz este

{\ displaystyle 1-x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} { 4!}} - \ cdots = \ mathrm {e} ^ {- x}}

Care dau

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- x} \ mathrm {e} ^ {- x} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- 2x} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}}.}

Articole similare

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Seria lui Grandi ” ( vezi lista autorilor ) .
(ro) Keith Devlin , Matematică, știința tiparelor , Biblioteca Americană Științifică,1994, 216 p. ( ISBN 0-7167-6022-3 ) , p. 77
(ro) Harry F. Davis , Fourier Series and Orthogonal Functions , New York, Dover ,1989, 403 p. ( ISBN 0-486-65973-9 , citit online ) , p. 152
(în) Morris Kline (în) , „ Euler și seria infinită ” , Revista de matematică , vol. 56, nr . 5,Noiembrie 1983, p. 307-314 ( DOI 10.2307 / 2690371 )
(ro) Konrad Knopp , Theory and Application of Infinite Series , Dover ,1990( 1 st ed. 1922), 563 p. ( ISBN 0-486-66165-2 , citit online ) , p. 457