Relativitatea generală este o teorie relativitatii a gravitatiei , adică, descrie influența prezenței energiei materiale și , în general, mișcarea stelelor , luând în considerare principiile relativității speciale . Relativitatea generală cuprinde și înlocuiește teoria gravitației universale a lui Isaac Newton, care reprezintă limita la viteze mici (în comparație cu viteza luminii ) și câmpuri gravitaționale slabe.
Este în principal opera lui Albert Einstein , care a dezvoltat-o între 1907 și 1915 și este considerată a fi realizarea sa majoră. 25 noiembrie 1915, își prezintă manuscrisul teoriei relativității generale la secțiunea de matematică și fizică a Academiei Regale de Științe Prusace , care o publică pe2 decembrie.
Numele lui Marcel Grossmann și David Hilbert sunt, de asemenea, asociate cu acesta, primul ajutându-l pe Einstein să se familiarizeze cu instrumentele matematice necesare înțelegerii teoriei ( geometria diferențială ), al doilea luând împreună cu Einstein ultimele etape care au condus la finalizarea teoriei după ce acesta din urmă îi prezentase ideile generale în cursul anului 1915.
Relativitatea generală se bazează pe concepte radical diferite de cele ale gravitației newtoniene. El afirmă în special că gravitația nu este o forță, ci manifestarea curburii spațiului (de fapt spațiu-timp ), curbură însăși produsă prin distribuția energiei , sub formă de masă sau energie cinetică , care diferă în funcție de cadrul de referință al observatorului. Această teorie relativistă a gravitației prezice efecte absente din teoria newtoniană, dar verificate, cum ar fi expansiunea Universului , undele gravitaționale și găurile negre . Nu face posibilă determinarea anumitor constante sau anumite aspecte ale universului (în special evoluția acestuia, indiferent dacă este finit sau nu etc.): observațiile sunt necesare pentru a specifica parametrii sau pentru a face alegeri între mai multe posibilități lăsate de teorie .
Niciunul dintre numeroasele teste experimentale efectuate nu a putut da vina. Cu toate acestea, întrebările rămân fără răspuns: în principal la nivel teoretic, modul în care relativitatea generală și fizica cuantică pot fi unite pentru a produce o teorie completă și coerentă a gravitației cuantice ; și în ceea ce privește observațiile astronomice sau cosmologice, cum să conciliez anumite măsuri cu predicțiile teoriei ( materia întunecată , energia întunecată ).
O analogie care permite o vizualizare a relativității constă în reprezentarea spațiului-timp în trei dimensiuni ca o foaie întinsă care se deformează sub greutatea obiectelor pe care cineva le pune acolo. Dacă fața de masă este bine întinsă și fără corp pe ea, o bilă ușoară care se rostogolește peste ea trece în linie dreaptă. Dacă așezăm o minge grea în centru, fața de masă se deformează și mingea ușoară nu mai merge în linie dreaptă și poate chiar să cadă spre minge grea dând iluzia că bila ușoară este atrasă de minge grea în timp ce această atracție este rezultatul indirect al formei „foii” care se aplică maselor de pretutindeni în ea.
Această analogie pare să presupună o sursă externă de gravitație (care ar da greutate mingii deformând fața de masă), dar mai degrabă trebuie să considerăm că gravitația exercitată de bila însăși este cea care deformează spațiul-timp din jurul ei. , chiar prin transmiterea acestuia o parte din dinamica sa (viteza de mișcare, rotație asupra sa).
Spațiu-timp , nu este tridimensională dar patru (trei din spațiu și unul dintre timp ) și toate patru sunt distorsionate de prezența unei mase.
Teoria gravitatiei universale de propus Newton la sfârșitul XVII - lea lea sa bazat pe conceptul de rezistență în acțiune la distanță, adică faptul că forța exercitată de către un organism ( de exemplu, Soare ) pe un alt (The Pământ ) este determinată de poziția lor relativă la un moment dat, și aceasta indiferent de distanța dintre ele și această forță fiind exercitată într-un mod instantaneu. Această instantaneitate este incompatibilă cu principiile relativității speciale conform cărora nicio informație nu se poate propaga mai repede decât viteza luminii în vid. Aceasta îl conduce pe Einstein din 1907 să se gândească la o teorie a gravitației care este compatibilă cu relativitatea specială. Rezultatul căutării sale este teoria relativității generale.
În secolul al XVI- lea, Galileo spune (inclusiv argumentând despre mișcarea vaselor) că legile fizicii sunt aceleași în depozite în traducere rectilinie și uniforme între ele. Acesta este principiul relativității galileene .
De asemenea, va folosi aditivitatea vitezelor, o consecință a căreia poate fi atinsă la orice viteză, întreaga fiind doar o chestiune de mijloace. Dacă o minge se deplasează cu 10 km / h într-un tren (și în direcția de deplasare) care se duce la 100 km / h deasupra solului, glonțul se deplasează la 110 km / h deasupra solului.
În mecanica sa , Isaac Newton presupunea că corpurile erau înzestrate cu viteză absolută, cu alte cuvinte că erau fie „cu adevărat” în repaus, fie „cu adevărat” în mișcare. El a observat, de asemenea, că aceste viteze absolute nu erau măsurabile decât în raport cu viteza altor corpuri (în același mod, poziția unui corp era măsurabilă doar în raport cu cea a unui alt corp etc.). În consecință, toate legile mecanicii newtoniene trebuiau să funcționeze identic indiferent de corpul considerat și oricare ar fi mișcarea acestuia.
Cu toate acestea, Newton credea că teoria sa nu poate fi semnificativă fără existența unui cadru de referință fix absolut în care viteza oricărui corp ar putea fi măsurată, chiar dacă nu ar putea fi detectată.
De fapt, este posibil în practică să construim o mecanică newtoniană fără această presupunere: teoria rezultată (numită și relativitatea galileană ) nu are un interes operațional special și nu trebuie confundată cu relativitatea lui Einstein implică o mai mare consistență a vitezei luminii în toate depozitele și în mai puțin ipoteza lui Galileo că se adaugă vitezele relative (aceste două postulate sunt efecte incompatibile reciproc).
În secolul al XIX- lea, fizicianul scoțian James Clerk Maxwell a formulat un set de ecuații, ecuațiile câmpului electromagnetic , conducând la prezicerea vitezei de propagare a undei electromagnetice într-un mediu electrostatic de constantă și constantă magnetostatică . Această viteză fenomenal de mare, chiar și într-un mediu rarefiat ca aerul, a avut aceeași valoare ca viteza de propagare a luminii. El a propus ca lumina să nu fie altceva decât o undă electromagnetică.
Teoriile corpusculare ale luminii păreau compatibile cu principiul relativității lui Galileo, precum și cu teoria lui Maxwell care a favorizat existența unui eter luminifer prevăzut de Huygens . Măsurarea vitezei sistemului solar în raport cu acest mediu elastic a fost obiectul experimentelor de interferometrie efectuate de Michelson și Morley . Experimentele lor au arătat că vântul eteric aparent era zero, indiferent de perioada anului. Să presupunem că eterul a fost în mod constant atașat de Pământ ar fi fost o întrebare prea serioasă a principiului relativității lui Galileo . Pe de altă parte, eterul avea dezavantajul de a fi atât intangibil, cât și foarte rigid, deoarece era capabil să propage undele la o viteză fenomenală.
Abia în 1905, Albert Einstein a pus sub semnul întrebării radical noțiunea de eter, a duce principiul relativității lui Galileo la cel mai înalt nivel, postulând că ecuațiile lui Maxwell respectă acest principiu și să tragă consecințele revoluționare dintr-un articol care a rămas. faimos: Despre electrodinamica corpurilor în mișcare .
Aceasta este nașterea relativității speciale :
Scriind expresia energiei cinetice a unui corp de masă în cel mai simplu mod respectând principiul relativității, Einstein a dezvăluit o energie în repaus: E (0) = m (0) .c 2 care va fi măsurată ulterior în fenomenele de fuziunea și fisiunea nucleară (dar care se manifestă și în reacții chimice, precum și în orice schimb de energie, chiar dacă nu este încă direct detectabil).
Teoria Relativitatii ( 1905 ) modificat ecuațiile utilizate pentru a compara măsurătorile lungimii și durată realizate în diferite cadre de referință se deplasează una în raport cu cealaltă. Drept urmare, fizica nu mai putea trata timpul și spațiul separat, ci doar ca un spațiu cu patru dimensiuni, numit spațiu-timp al lui Minkowski .
Într-adevăr, în timpul mișcărilor la viteze nelimitate în față (viteza luminii în vid), timpul și spațiul sunt modificate într-un mod legat, un pic ca două coordonate ale unui punct din geometria analitică sunt modificate într-un mod legat. axele sistemului de coordonate sunt rotite.
De exemplu, în geometria euclidiană obișnuită, distanța dintre două puncte de coordonate și verifică (cu etc.), dar în spațiul Minkowski două puncte sunt marcate de coordonate și , unde și sunt coordonatele timpului, iar „distanța” este apoi notată între aceste puncte satisface: . Acest calcul dă o „distanță” zero între două puncte pe traseul unei raze de lumină. De asemenea, oferă toate măsurătorile de lungimi ale materialelor, intervale de timp, viteze în relativitatea specială , care trezesc întotdeauna uimire.
Deoarece spațiul-timp al lui Minkowski este totuși de curbă zero (adică plat), se numește spațiu pseudo-euclidian .
Acesta ar trebui să fie, pentru Einstein, spațiu fără gravitație (și fără accelerare pentru observator). Gravitația newtoniană, care se propagă instantaneu, nu este compatibilă cu existența unei viteze limitative: prin urmare, Einstein a plecat în căutarea unei noi teorii a gravitației .
El a admis egalitatea dintre masa gravitațională și masa inerțială ca presupunere, celebra formulă autorizând apoi să folosească energia totală a unui corp în locul masei sale. Acest lucru se va face folosind instrumentul matematic numit tensor de energie.
Expert în experimente de gândire , și-a imaginat un disc rotativ. Din moment ce Huygens știm că acest lucru implică faptul că există o forță centrifugă la nivelul perimetrului, percepută ca o forță gravitațională (deoarece masa gravitațională și masa inertă sunt egale prin presupunere). Mai mult, dorind să rămână în cadrul relativității speciale, el concluzionează că un observator de pe perimetru și unit cu discul observă o creștere a perimetrului discului, dar nu și în raza acestuia (contracția măsurii paralelă cu mișcarea, dar nu ceea ce este perpendicular): acest lucru nu este posibil într-un spațiu plat. Concluzie: gravitația obligă să utilizeze o geometrie neeuclidiană .
Einstein și-a imaginat un experimentator blocat într-un lift cu pereți opaci, supus unei urcări constante de accelerație: ascensorul lui Einstein în care este imposibil pentru o persoană să știe dacă există o accelerație constantă sau o atracție gravitațională constantă (deoarece masa gravitațională și masa inertă sunt egale cu presupunere). Concluzie: echivalența locală între mișcarea accelerată și gravitația, care se regăsea în ecuațiile diferențiale ale noii teorii. Acesta este principiul său de echivalență .
În cele din urmă, Einstein a dorit să găsească o expresie a legilor naturii (la vremea respectivă: dinamică, gravitație și electromagnetism) care este neschimbată indiferent de cadrul de referință (accelerat sau galilean etc.): este relativitatea galileană generalizată la toate repere (aceasta se numește covarianță ).
Marea dificultate fiind aceea de a pune aceste principii în formă matematică, le-a discutat cu David Hilbert care, la început îndoielnic, aproape că i-a furat spectacolul găsind teoria în același timp cu el (vezi: Controversă privind autorul relativității ) .
Relativitatea generală adăugat la relativității că prezența materiei ar putea deformeze local în sine spațiu - timp (și nu numai căile), astfel încât așa-numitele traiectorii geodezic - adică, intuitiv de lungime minimă - prin spațiu - timp au proprietăți de curbură în spațiu și timp. Calculul „distanței” în acest spațiu-timp curbat este mai complicat decât în relativitatea specială, de fapt formula „distanței” este creată prin formula curburii și invers.
Geodezicele sunt traiectorii care verifică principiul acțiunii minime, urmate de particulele testate (adică a căror influență asupra câmpului gravitațional în care se mișcă este neglijabilă, ceea ce este cazul de exemplu al unui satelit artificial în jurul Pământului sau un foton care trece lângă Soare, dar nu o stea care orbitează alta într-un sistem binar cu oscilare rapidă), deci au o importanță practică majoră pentru înțelegerea intuitivă a unui spațiu curbat.
Lumina urmărește geodezica (liniile spațiu-timp) care sunt deformate la periferia unui corp masiv de efectul gravitației. În consecință, și contrar previziunilor newtoniene, traiectoria luminii poate fi puternic inflexionată în prezența unui corp masiv (de exemplu, o planetă deosebit de masivă). Două raze provenind de la același corp prezent pe o parte a unei stele masive și direcționate în direcții diferite, se pot întâlni pe partea opusă a stelei și pot crea o imagine divizată, un fel de miraj de origine gravitațională.
Astfel de fenomene au fost observate de mulți ani și ar putea fi utilizate pentru a detecta materia întunecată din univers .
Gaură neagrăÎn urma descoperirii metricei Schwarzschild (1916), a apărut în ecuații că pentru orice masă sferică există o distanță până la centru ( raza Schwarzschild ) unde apar fenomene particulare, dacă masa este rază inferioară: pentru un observator puțin la distanță, corpurile care se apropie de această rază par a fi imobilizate, ceasurile lor se opresc și asta pentru eternitate; în plus, în afară de fenomenele gravitaționale, nici o informație nu pare să poată proveni din această masă centrală, nici măcar din lumină, iar masa centrală în sine este detectabilă doar prin efectele sale gravitaționale.
Cu toate acestea, această rază Schwarzschild a apărut la început doar ca o posibilă singularitate topologică a spațiului-timp , o absurditate care a marcat o limită a teoriei, care nu l-a satisfăcut pe Einstein. Între 1938 ( Georges Lemaître ) și 1939 ( Robert Oppenheimer ) se prezintă ipoteza că a fost un fenomen realist, numit colaps gravitațional . În anii 1960, natura acestui fenomen a fost clarificată: s-a înțeles că raza Schwarzschild nu este o singularitate a spațiului-timp, ci doar o singularitate a metricei utilizate datorită curburii spațiului în timp ce metrica este construită ca și cum ar fi spațiul era plat. Fenomenele descrise de metrica Schwarzschild rămân valabile pentru observatorul îndepărtat, metrica Kruskal-Szekeres (1960) a făcut posibilă înțelegerea modului în care are loc trecerea razei Schwarzschild pentru călător.
De atunci, au fost identificate diferite tipuri de găuri negre (cu sau fără sarcină sau impuls unghiular ), dinamica lor a fost studiată în detaliu, ipoteza evaporării lor a fost formulată cu precizie și noțiunea, foarte ipotetică, a viermelui găurii a fost a fost avansat. Observarea și detectarea găurilor negre este în continuare obiectul unei munci intense, dar multe gauri negre ( stelare , intermediare și supermasive ) au fost detectate dincolo de orice îndoială rezonabilă. În 2019, a fost publicată prima fotografie reală a unei găuri negre.
Valuri gravitationaleDetectarea undelor gravitaționale, emise de mase (mari) în mișcare accelerată, face obiectul unor cercetări internaționale intense, cu toate acestea, micimea energiilor implicate le face dificil de perceput. Primele detecții au fost indirecte: în 1974, s-a observat o pierdere de energie într-un pulsar binar ( PSR 1913 + 16 ) și a fost interpretată ca urmare a emisiei undelor gravitaționale; ulterior, multe observații mai precise au confirmat doar modelul teoretic; o prezentare mai detaliată a acestor observații pot fi găsite în secțiunea corespunzătoare a binar Pulsar articol .
14 septembrie 2015, Cercetătorii LIGO au detectat unde gravitaționale ale evenimentului GW150914 : coalescența a două găuri negre . A fost anunțat pe11 februarie 2016la o conferință a National Science Foundation din Washington. Rezultatul este publicat în aceeași zi în revista Physical Review Letters . Ar fi, de asemenea, „prima dovadă directă a existenței găurilor negre” , afirmă Thibault Damour , fizician teoretic francez.
Fizica cuantică permite hypothesise că acest val are asociat particula responsabilă de interacțiunea gravitațională: a graviton , a masei zero , deoarece se deplasează la viteza luminii în vid.
Detalii matematiceAvând în vedere un câmp gravitațional redus, metrica putinul se abate de la metrica de spațiu Minkowski : . Cu condiția de micitate și adăugând o condiție de ecartament, tensorul Ricci poate lua forma simplă , unde este d'Alembertian .
În vid, se scrie ecuația lui Einstein , care este o ecuație de undă . Gravitatea poate , prin urmare, în aceste condiții, să fie considerate ca un val.
Putem considera, de asemenea, gravitația ca o perturbare a undelor în raport cu orice metrică netulburată , adică într-un spațiu-timp curbat și staționar, și putem lua în considerare și unde gravitaționale de intensitate puternică și putem studia radiația energetică a acestor unde (folosind tensorul energie-impuls ).
Modele de UniversPresupunerea omogenității și izotropiei, care constituie principiul cosmologic și care este în acord cu observațiile la scară largă, implică faptul că se poate alege un timp universal astfel încât metrica spațiului să fie uniformă în orice moment, pentru toate punctele și în toate direcțiile, ceea ce este compatibil cu teoria Big Bang-ului care prevalează în prezent.
Din ecuațiile lui Einstein, sunt posibile mai multe modele ale Universului . În 1915, Einstein a conceput Universul ca fiind staționar , lucru pe care observațiile cosmologice l-au contrazis. Mai târziu, Alexandre Friedmann și Georges Lemaître au propus modele non-staționare: metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker arată că trei modele omogene și izotrope ale Universului sunt posibile în funcție de valoarea unui parametru în metrică: spațiul plat (în medie) , cu curbură pozitivă (așa-numitul univers închis : de volum finit), sau cu curbură negativă ( numit univers deschis : de volum infinit). Alte modele cosmologice mai exotice sunt compatibile cu ecuațiile relativității generale. De exemplu: Universul lui de Sitter corespunzător în fizică unui univers omogen, izotrop, gol de materie și având o constantă cosmologică pozitivă; universul mixmaster care este un univers golit de materie, omogen , dar anizotrop, a cărui rată de expansiune diferă în cele trei direcții ale spațiului; Universul Gödel , care nu respectă principiul cauzalității .
Test spațial al principiului echivalențeiMicroscop micro-satelit , cu o greutate de 300 kg, lansat înaprilie 2016, transportă două mase în platină și titan, care au realizat echivalentul unei căderi de 85 de milioane de km. Misiunea, programată până la sfârșitul anului 2018, se confirmă înnoiembrie 2017validitatea principiului echivalenței .
Comportamentele obiectelor dense în cădere liberăÎn 2018 , observarea traiectoriei unui pulsar și a unei pitici albe , cu densități foarte diferite, pe orbită în jurul unui al treilea pitic alb la 4.200 de ani lumină de Pământ; diferența relativă dintre accelerațiile suferite de cele două corpuri a fost măsurată mai puțin de , ceea ce este în acord cu relativitatea generală care prezice, la fel ca teoriile anterioare, că accelerația suferită de un obiect nu depinde de densitatea acestuia.
Mișcarea unei mase de testare (foarte mică) supusă doar gravitației maselor înconjurătoare este de fapt o mișcare inerțială într-un spațiu-timp curbat de aceste mase (curbura observată depinde și de cadrul de referință al observatorului). Linia universului trasată în acest spațiu-timp curbat este o geodezică pentru o metrică care respectă ecuațiile neliniare ale lui Einstein care leagă curbura spațiului-timp (văzută din cadrul de referință ales) și prezența maselor.
Ideea centrală a relativității este că nu putem vorbi de mărimi precum viteza sau accelerația fără a fi ales anterior un cadru de referință, un cadru de referință . Orice mișcare, orice eveniment este apoi descris în raport cu cadrul de referință al acestui observator .
Relativitatea specială postulează că acest cadru de referință trebuie să fie inerțial și poate fi extins la infinit în spațiu și timp.
Pentru a nu favoriza niciun tip de cadru de referință în special în scrierea legilor naturii ( principiul general al covarianței ), relativitatea generală se ocupă și de cadrele de referință non-inerțiale, adică în care un corp liber de orice constrângerea nu urmează o mișcare rectilinie și uniformă . Prin urmare, orice sistem de coordonate este a priori admisibil și, în general, limitele sale sunt dezvăluite odată cu utilizarea.
În fizica clasică , un exemplu de cadru de referință non-inerțial este cel al unui vehicul în care este plasat unul și care urmează o curbă: forța centrifugă pe care o simți împiedică mișcarea inerțială a corpurilor față de vehicul. Un alt exemplu este cadrul de referință legat de pământ, care, datorită rotației pământului, vede manifestată forța Coriolis , bine evidențiată de pendulul Foucault . Se spune că o forță centrifugă este fictivă deoarece este doar o manifestare a inerției (primul principiu al lui Newton) și nu datorită aplicării unei forțe .
În relativitatea generală, se acceptă faptul că putem defini doar un cadru de referință local și pe o perioadă finită. Această limitare este o necesitate, deoarece este necesară în mai multe cazuri:
Deoarece nu a fost niciodată posibil să se demonstreze vreo diferență între masa de inerție (rezistența unei accelerații a corpului) și masa grea (care determină greutatea sa într-un câmp gravitațional), principiul echivalenței în relativitatea generală postulează că nu este nevoie să distinge local o mișcare de cădere liberă într-un câmp gravitațional constant, de o mișcare uniform accelerată în absența unui câmp gravitațional: gravitația este (local) echivalentă cu alegerea unui cadru de referință accelerat pentru observator ( accelerație constantă sau variabilă) cu respectarea unui cadru de referință inerțial ; este deci local doar un efect relativist.
Acest rezultat este doar local , adică valabil pentru un spațiu restricționat, „mic”. Într-un volum mai mare și cu accelerometre sensibile, dimpotrivă, putem distinge clar un câmp de greutate (forțe concurente), o accelerație simplă (forțe paralele) și un efect centrifugal (forțe divergente). Dar într-un volum cvasi-punctual, nicio măsură nu poate face distincția.
Această echivalență este utilizată în cadrul antrenamentului astronauților : aceștia urcă în avioane efectuând un zbor parabolic , simulând astfel puțin mai mult de cincisprezece secunde „căderea liberă” a unui corp care orbitează (dar pentru cei din urmă căderea liberă poate ultima la infinit, deoarece traiectoria sa este o buclă).
Existența unui cadru de referință inerțial în fiecare punctÎn fiecare punct al spațiului-timp există un cadru de referință inerțial local: un cadru în cădere liberă (în câmpul gravitațional, dacă există) în care toți corpurile cad simultan în cadrul de referință, astfel încât să nu par a suferi orice gravitație cu privire la acest cadru de referință. Prin ipoteză, un astfel de cadru de referință descrie un spațiu Minkowski , local. Astfel, alegerea unui cadru de referință elimină, local, efectele gravitației sau altfel le creează; dar aceste efecte sunt doar locale.
Gravitatea este determinată de metricăÎn fiecare moment al spațiului-timp, gravitația poate fi descrisă ca alegerea pentru observatorul unui cadru de referință non-inerțial într-un spațiu plan. Metrice în acest cadru de referință este metric într - un sistem de referință inerțial în același punct , dar exprimate cu coordonatele cadrului neinertiale de referință (care poate da formule laborioase). Coeficienții acestei expresii cuantifică diferența dintre un cadru de referință inerțial metric și cadrul de referință al observatorului: conțin toate informațiile necesare pentru a trece de la un cadru de referință la altul, deci gravitația depinde doar de metrica cadrului de referință al observatorului.
Timpul adecvat al cadrului de referință inerțial (Minkowskien) oferă metrica și verifică , unde sunt coordonatele din cadrul de referință al observatorului și coordonatele într-un cadru de referință inerțial în același punct. Poziționând , cu convenția lui Einstein , putem scrie .
GeodeziePrincipiul echivalenței care permite afirmarea că câmpul gravitațional local este echivalent cu o alegere a cadrului de referință și că se poate anula (întotdeauna local și momentan) efectele gravitației alegând un cadru de referință inerțial . Geodezica urmată de un corp este deosebit de simplă în această teorie: este curba urmată de acest corp atunci când se deplasează pe linia dreaptă a unui astfel de cadru de referință inerțial, dar văzut din cadrul de referință al observatorului . În general, în fiecare moment al mișcării, cadrul de referință inerțial local trebuie redefinit și, prin urmare, și geodezica, există complexitatea: geodezicele sunt soluții de ecuații diferențiale definite în cadrul de referință al observatorului.
Ca și în cazul unui spațiu plat în care cadrul de referință al observatorului se rotește în jurul unei axe, în raport cu un cadru de referință inerțial, observatorul percepe ca fiind curbate mișcările rectilinii uniforme ale cadrului de referință inerțial.
Este necesar să fim atenți la faptul că, în orice moment, poate fi utilizat un nou cadru de referință inerțial și că este rar ca unul singur să însoțească corpul în mișcare în cadrul observatorului: acest lucru este întâlnit doar pentru situații pur academic. Chiar și într-un astfel de caz, nu trebuie să se creadă că, dacă două telefoane mobile urmează aceeași linie dreaptă într-un cadru de referință inerțial, ele vor părea să se urmeze reciproc într-un cadru de referință non-inerțial: dacă cadrul de referință al observatorului este nu inerțial, două corpuri cu viteze inițiale diferite se deplasează pe geodezii diferite.
Derivată CovariantăDerivata covariantă fiind derivata de-a lungul geodeziei, considerată tangentă la traiectorie, înțelegem că aici este independentă de cadrul de referință al observatorului și că calculele sale sunt puțin laborioase deoarece includ o schimbare a cadrului de referință pentru mișcare de la cel al observatorului la un cadru de referință inerțial, diferit în fiecare moment deoarece un cadru de referință este doar inerțial local și temporar. Derivata covariantă a unui quadri-vector este derivata de-a lungul geodeziei care leagă două poziții succesive (și infinit apropiate) ale acestui vector.
Se notează derivata covariantă a unui quad-vector în orice cadru de referință , unde este timpul natural legat de quad-vector. Principiul corespondenței constă apoi , în având în vedere că în cazul în care există o egalitate de tip , în fizica clasică , sau în special relativității , putem scrie în teoria relativității generale, cu condiția ca partea dreaptă a egalității , de asemenea , are echivalentul său în această teorie. Acest lucru este posibil deoarece, în cele din urmă, este același lucru exprimat în moduri diferite: derivări de-a lungul axelor rectilinii ale cadrelor de referință inerțiale.
În cazul în care, în comparație cu cadrul de referință inerțial, quadri-vectorul este constant în timpul adecvat ( mișcare inerțială ), avem .
DinamicSă presupunem că în orice cadru de referință se exercită o forță relativistă, sub forma unui quadri-vector , asupra corpului observat. Prin schimbarea cadrului de referință, se poate lua în considerare această forță într-un cadru de referință local de inerție printr-un quadri-vector .
Din principiul fundamental al dinamicii , în fizica clasică, tragem prin principiul corespondenței în relativitatea specială, apoi în cele din urmă , ecuația dinamicii relativiste în prezența unui câmp gravitațional.
Ecuația lui Einstein este expresia matematică a relativității generale și mai general a întregii fizici a gravitației . Aceasta este o formulă fundamentală, care nu poate fi derivată dintr-o teorie de bază.
Forma sa generală înseamnă:
Această ecuație exprimă și concentrează ideile principale ale lui Einstein care guvernează relativitatea generală: principiul echivalenței ne face să afirmăm că gravitația nu este o forță reală . Dacă nu există nici o forță care să devieze sau să accelereze traiectoria obiectelor, aceasta se datorează faptului că spațiul-timp în sine este deformat și teoria gravitației trebuie să se manifeste sub forma unei curburi a spațiului-timp. Obiectele urmăresc geodezica , care poate fi gândită ca echivalentul liniilor drepte pentru acest spațiu-timp curbat. Utilizarea formalismului tensorial face expresia acestei legi independentă de cadrele de referință și, prin urmare, este conformă cu principiul relativității .
Această ecuație este locală: indică modul în care curbele spațiu-timp într-un punct din spațiu-timp în funcție de densitatea materiei din acesta și, dimpotrivă, dispunerea sau evoluția materiei într-un punct în funcție de curbură in acel moment. Spațiul-timp acționează asupra materiei, care în sine acționează asupra spațiului-timp. Acest feedback rezultă într-o neliniaritate a ecuațiilor lui Einstein, care sunt, prin urmare, extrem de dificil de rezolvat exact. Caracterul local al ecuației are consecința că, conform relativității generale, nu există o acțiune instantanee la distanță: materia curbează local spațiu-timp, care perturbă spațiul-timp puțin mai departe Și așa mai departe. Perturbările gravitaționale se propagă astfel cu viteza luminii .
Această ecuație are ca rezultat un set complex de ecuații diferențiale ale unui tensor metric . Cu toate acestea, expresia acestei ecuații rămâne concisă și elegantă și este considerată de mulți fizicieni drept una dintre cele mai importante și mai frumoase formule din fizică.
Soluțiile sale, care sunt măsurători spațiu-timp, fac posibilă definirea modelelor cosmologice care formalizează evoluția pe scară largă a universului, modelarea proprietăților obiectelor astronomice precum găurile negre sau prezicerea existenței undelor gravitaționale . În mod natural încorporează legea gravitației universale a lui Newton ca o aproximare în cazul unui câmp gravitațional slab.
Mai exact, ecuația lui Einstein este exprimată în următoarea formă globală:
cu cine este tensorul Einstein care reprezintă curbura spațiu-timp într-un punct și care este tensorul energie-impuls care reprezintă contribuția întregii materii (și a energiei) la densitatea energiei în acest punct al câmpului gravitațional. Dar acest tensor nu ia în considerare energia posibilă prezentă în câmpul gravitațional în sine.
este un factor dimensional simplu, care face posibilă exprimarea ecuației în unitățile obișnuite și pentru a face ecuația să corespundă realității fizice și valorii observate a constantei gravitaționale .
Cea mai naturală modalitate de a reprezenta curbura printr-un tensor ar fi utilizarea unui tensor Riemann , care este cel mai comun mod de exprimare a curburii varietăților Riemanniene , spațiul-timp fiind perfect reprezentat de o pseudo-varietate . Dar acest tensor este de ordinul 4 (cu 4 indici), în timp ce tensorul energie-impuls este de ordinul 2: 2 indicii sunt într-adevăr suficienți pentru a descrie toate proprietățile dinamice ale energiei și materiei și pentru a construi un tensor energie-impuls de ordinul 4 nu ar avea nici un sens fizic.
Prin urmare, este necesar să se construiască un tensor special care să reprezinte curbura, având un sens fizic și care poate fi identificat cu tensorul energie-impuls. Aceasta este toată munca pe care Einstein o face între 1913 și 1915, pentru a veni cu tensorul Einstein și formularea exactă a ecuației lui Einstein.
Tensor impuls-energieTensorul energie-impuls reprezintă contribuția întregii materii (și a tuturor câmpurilor non-gravitaționale ) la densitatea energiei într-un punct.
Tensorul energie-impuls are o derivată covariantă zero, iar o derivată covariantă fiind o „derivată de-a lungul geodeziei”, aceasta înseamnă că un obiect care urmează o geodezică își conservă energia.
Cu toate acestea, derivatul covariant zero al tensorului energie-impuls nu reflectă conservarea impulsului energetic al corpului în prezența gravitației și nici „conservarea a nimic”, ceea ce se înțelege notând că într-un cadru de referință inerțial un corp inițial în repaus poate dobândi viteză fără a schimba masa , ceea ce corespunde unei achiziții de energie cinetică : legea conservării energiei unui corp rămâne valabilă doar în cadrul de referință inerțial .
Acest tensor nu ia în considerare energia posibilă prezentă în câmpul gravitațional în sine, atunci când acesta din urmă este dinamic (prezența undelor gravitaționale de exemplu), această expresie nu reprezintă conservarea globală a energiei. Conservarea energiei în prezența unui câmp gravitațional dinamic este un subiect delicat și încă nu este complet rezolvat în relativitatea generală.
Tensorul lui EinsteinTensorul Einstein este deci un tensor care, în ecuația lui Einstein, reprezintă curbura și are un sens fizic, adică de ordinul 2, simetric, care posedă o derivată covariantă zero și care permite găsirea legii gravitației lui Newton ca aproximare cu câmpuri gravitaționale slabe și viteze în joc mult mai mici decât cele ale luminii.
Există o modalitate de a construi un tensor de ordinul 2 dintr-un tensor de ordinul 4: efectuați o contracție a tensorului în conformitate cu doi indici. O astfel de contracție a tensorului Riemann dă un tensor cunoscut sub numele de tensorul Ricci , notat .
Pentru a construi o ecuație fizică, tensorul Ricci are o proprietate interesantă: permite găsirea accelerației din starea de repaus a unei sfere de particule care înconjoară o masă punctuală. În mecanica newtoniană, aceeași accelerație este calculată din ecuația Poisson , fiind potențialul gravitațional și densitatea de masă. Tensorul Ricci și termenul din stânga al ecuației Poisson posedând ambele derivate ale metricei și având același sens fizic, ar fi firesc să se pună:
fiind tensorul reprezentând densitatea masei, iar această ecuație a fost de fapt propusă în 1913 de Einstein. Acest tensor este într-adevăr de ordinul 2 și simetric, dar se dovedește că derivata sa covariantă nu este zero. De fapt, folosind identitățile Bianchi pe tensorul Riemann, constatăm că tensorul are o derivată covariantă zero. Einstein nu cunoștea identitățile lui Bianchi și găsește tensorul lui Einstein, după doi ani de eforturi intense, ajutat de matematicianul Marcel Grossmann :
este curbura scalară , care este ea însăși o contracție a tensorului Ricci și este tensorul metric , soluție a ecuațiilor lui Einstein. Dacă tensorul Riemann dă curbura unui distribuitor într-un punct, de-a lungul unui plan definit de câteva vectori, tensorul Ricci reprezintă media curburilor de-a lungul tuturor planurilor care conțin un vector dat, în timp ce tensorul lui Einstein reprezintă media a curburilor conform tuturor planurilor ortogonale acestui vector.
S-a arătat că tensorul lui Einstein este singurul tensor care poate fi construit matematic care are toate proprietățile dorite: ordinul 2, care are derivate secundare ale metricei, cu derivată covariantă zero și care dispare în spațiul plat (permițând găsirea lui Newton)
David Hilbert a justificat, de asemenea, această ecuație prin principiul acțiunii minime încă din 1915.
Expresie completă a ecuației lui EinsteinAvând în vedere tensorul lui Einstein, formularea completă și exactă a ecuației lui Einstein urmează direct:
cu și (i, j) mergând de la 1 la 4 (pentru cele 4 dimensiuni spațiu-timp).
În explodate ecuații diferențiale , acest tensor expresie are ca rezultat zece neliniare cu derivate parțiale ecuații . Dintre aceste zece ecuații, patru depind de alegerea cadrului de referință, care lasă șase ecuații de rezolvat pentru a determina metrica.
Constanta cosmologicăEste important de reținut că adăugarea unei „constante” la tensorul lui Einstein nu modifică caracteristicile sale fizice: derivatul său covariant rămâne zero și legile lui Newton se găsesc întotdeauna la limite. Ecuația de câmp poate, prin urmare, să conțină un parametru „suplimentar” numit constanta cosmologică care a fost introdusă inițial de Einstein astfel încât un univers static (adică un univers care nu se extinde , nici în contracție) să fie soluția ecuației sale.
Ecuațiile lui Einstein sunt apoi scrise:
Acest efort s-a încheiat cu eșec din două motive: din punct de vedere teoretic, universul static descris de această teorie este instabil; și, în plus, observațiile astronomului Edwin Hubble zece ani mai târziu au arătat că Universul se extinde de fapt. Deci, a fost abandonat, dar recent, tehnicile astronomice au arătat că o valoare diferită de zero a acestui parametru poate explica anumite observații, în special energia întunecată . (A fost astrofizicianul Jim Peebles în anii 1980 cel care va reintroduce constanta cosmologică).
Ecuația lui Einstein în vid. Weyl tensorEste posibil să reformulăm ecuațiile lui Einstein într-un mod riguros echivalent pentru a izola tensorul Ricci:
În vid, unde nu există energie sau materie . Apoi devine evident că ecuația lui Einstein se reduce la:
când constanta cosmologică este zero. Un spațiu gol al cărui tensor Ricci dispare se numește spațiu „Ricci-plat”. Aceasta nu înseamnă că spațiul-timp este plat în absența oricărei materii sau energii : curbura spațiului este reprezentată de tensorul Riemann, nu de tensorul Ricci.
Faptul că tensorul Ricci reprezintă o curbură medie implică faptul că, în vid (în punctul în care se efectuează măsurarea: absența energiei care îndoaie spațiul), spațiul este în medie plat (curbură medie zero), dar curbat în fiecare direcție, datorită faptului că mai mult sau mai puțin departe, prezențele de energii (mase în mișcare) îndoaie spațiul punându-l sub tensiune, cam ca o față de masă trasă la colțurile sale. Mai mult decât atât, forma generală a universului impune curburi în direcții diferite, deși în vid curbura medie rămâne zero: sunt posibile diferite forme ale universului , niciuna nu este sigură până în prezent.
Dacă considerăm tensorul Ricci ca sursă a câmpului gravitațional, câmpul gravitațional în sine este reprezentat de tensorul Riemann, din care scădem tensorul Ricci pentru a lăsa doar gradele de libertate care nu provin din sursa însăși. Tensorul obținut este tensorul Weyl , care are aceleași proprietăți ca tensorului Riemann, dar care reprezintă de fapt câmpul gravitațional : . Anularea acestui tensor este condiția pentru planitudinea conformă a spațiului-timp.
Tensorul Weyl reprezintă forțele mareelor datorate gravitației. O sferă de particule supuse tensorului Weyl, prin influența unei mase în afara sferei, suferă o deformare care nu își schimbă volumul , spre deosebire de influența tensorului Ricci. Cele undele gravitaționale sunt descrise, într - un vid, prin tensorul Weyl.
Masa gravitațională activăTensorul densitate-impuls duce la definirea conceptului de masă în relativitatea generală într-un mod ușor diferit în comparație cu cazul legilor newtoniene. Luând expresia ecuației lui Einstein care izolează tensorul Ricci, și identificându-l cu accelerația inițială și cu ecuația Poisson, găsim o masă gravitațională activă echivalentă:
în loc de în cazul newtonian. Valorile sunt valorile presiunii pe cele trei axe spațiale ortogonale, iar constanta gravitațională contribuie la masa gravitațională activă.
În condiții normale, contribuția presiunii la masa gravitațională activă este foarte mică, iar constanta cosmologică este neglijabilă. Dar presiunea poate juca un rol considerabil în condiții extreme, în special în timpul colapsului gravitațional al stelelor masive, unde presiunea - în loc să se opună colapsului gravitațional așa cum ne-am putea aștepta - crește tendința de a se prăbuși prin creșterea masei gravitaționale active.
Conservarea energiei și energia câmpului gravitaționalExistă situații fizice în care energia poate fi schimbată între sistemele gravitaționale și non-gravitaționale. De exemplu, atunci când un corp masiv orbitează în jurul unui alt corp masiv, există emisii de unde gravitaționale care transportă o anumită energie din sistem. Această pierdere este absolut neglijabilă în ordinele clasice de mărime (de exemplu, energia eliberată pe unitate de timp sub formă de unde gravitaționale de orbita lui Jupiter în jurul soarelui corespunde cu 40 de wați). Dar în circumstanțe în care ordinele de mărime sunt foarte mari, ca și în cazul pulsarului binar PSR B1913 + 16 , energia transportată are efecte importante și măsurabile, care fac posibilă validarea cu succes a teoriei relativității generale.
Teoria relativității generale nu oferă o reprezentare imediată și evidentă a acestui fenomen. Tensorul energie-impuls oferă doar energia unui corp sau a unui câmp non-gravitațional într-un punct, fără a lua în considerare energia câmpului gravitațional în acel punct. Prin urmare, energia undelor gravitaționale nu este reprezentată de acest tensor, iar derivatul său covariant nul nu reprezintă conservarea globală a energiei. Pentru a reprezenta o energie de conservare a sistemului „corp-corp gravitațional”, Einstein a exprimat energia câmpului printr-un „ pseudo-tensor (în) ” care se anulează pentru o alegere a cadrului în cădere liberă (inerțială) în punctul considerat : energia câmpului gravitațional există doar în funcție de cadrul de referință ales. Acest „pseudo-tensor”, preluat din tensorul Ricci, exprimă și auto-corelația câmpului asupra sa, ceea ce explică formularea sa destul de complicată. În special, energia emisă sub formă de unde gravitaționale este exprimată folosind acest „pseudo-tensor”.
Aceste schimburi au fost, de asemenea, studiate și modelate de Hermann Bondi și Rainer Sachs pentru un anumit tip de spațiu-timp, spațiul-timp plat asimptotic (în) , care reprezintă sistemele gravitaționale considerate izolate de restul universului, care este aproximativ adevărat pentru sisteme precum pulsarele binare.
Dar înțelegerea conservării globale a energiei în prezența unui câmp gravitațional dinamic rămâne un subiect delicat și încă nu este complet rezolvat în relativitatea generală.
Luarea în considerare a relativității generale este necesară pentru precizia geolocalizării prin satelit .
Relativitatea generală face posibilă măsurarea gravitației - și, prin urmare, a altitudinii - cu un ceas atomic suficient de precis.
Accesibil la nivel de licență.