Imagine (matematică)

În matematică , noțiunea de imagine este legată de noțiunea de aplicație cu mai multe definiții distincte.

Având o cerere  : f:E→F{\ displaystyle f: E \ to F}

• pentru orice element x al lui E , elementul unic care este conectat la el în F se numește imaginea lui x cu f și, în acest caz, spunem că x este un antecedent al lui f  ;f(X){\ displaystyle f (x)}f(X){\ displaystyle f (x)}
• setul de imagini ale elementelor lui E se numește imaginea lui f , sau pur și simplu imaginea lui f , și este notat cu  ;Sunt⁡(f)={f(X),X∈E}{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ left \ {f (x), x \ in E \ right \}}

• pentru orice subset , imaginea directă a lui A cu f este ansamblul elementelor imaginilor lui A cu f  : cu alte cuvinte este ansamblul elementelor E cu cel puțin un antecedent de f  ;LA⊂E{\ displaystyle A \ subset E}f(LA)={f(X),X∈LA}{\ displaystyle f (A) = \ left \ {f (x), x \ in A \ right \}}
• pentru orice subset , imaginea inversă sau preimaginea lui B de f este ansamblul antecedentelor elementelor lui B de f  :B⊂F{\ displaystyle B \ subset F}f-1(B)={X∈LA:f(X)∈B}{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ left \ {x \ în A: f (x) \ în B \ right \}}

Această terminologie nu este rezervată doar pentru funcțiile unei variabile reale, ci pentru orice transformare; astfel vorbim despre imaginea figurii prin simetrie .

Setul de imagini nu trebuie confundat cu setul de destinație (sau codomain) al lui f . Pentru o anumită funcție f  :  X  → Y , întreaga definiție este X și setul de sosire este Y . Imaginea f ( X ) de X prin f , de asemenea , numit imaginea f este în mod tipic doar un subset strict Y . Avem f ( X ) = Y dacă și numai dacă f este o surjecție .

Imagine a unei funcții

O funcție numerică sau complexă asociază întotdeauna cu orice element al setului de definiție E un singur element al setului de sosire F , aceasta este definiția unei funcții. Imaginea par este notată și corespunde numărului asociat cu x de f . Mai multe antecedente pot corespunde unei imagini. f:{E→FX↦y=f(X){\ displaystyle f: {\ begin {cases} E \ rightarrow F \\ x \ mapsto y = f (x) \ end {cases}}} X{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}f(X){\ displaystyle f (x)}

exemplu: pentru , 8 are pentru imagine , dar 64 are pentru antecedentf:{R→RX↦8X2{\ displaystyle f: {\ begin {cases} \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} \\ x \ mapsto 8x ^ {2} \ end {cases}}}f(8)=64{\ displaystyle f (8) = 64}X=8∨X=-8{\ displaystyle x = 8 \ lor x = -8}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">