Conectivitate simplă

În topologia generală și topologia algebrică , noțiunea de spațiu pur și simplu conectat o rafinează pe cea a conectivității : unde un spațiu conectat este doar „o singură bucată”, un spațiu simplu conectat nu mai este „gaură” sau „mâner”.

Formalizăm acest lucru spunând că orice dantelă desenată într-un spațiu pur și simplu conectat trebuie să poată fi redusă continuu (adică prin homotopie ) într-un punct.

Definiție

Dacă X este un spațiu topologic conectat prin arcuri , spunem că este conectat pur și simplu dacă orice buclă desenată pe X este homotopă într-un punct.

Intuitiv, se poate trage dantela pentru a o îngusta până când formează doar un punct, nu există nici un obstacol (adică o gaură).

Vorbim, de asemenea, de părți pur și simplu conectate; o parte a unui spațiu topologic se spune că este pur și simplu conectată dacă, prevăzută cu topologia indusă , constituie un spațiu topologic simplu conectat.

Formulări echivalente :

Notăm unitatea de cerc și unitatea de disc . Un spațiu topologic X conectat prin arcuri este conectat pur și simplu dacă și numai dacă există o funcție injectivă continuă poate fi extins într-o funcție continuă . Cu alte cuvinte, orice încorporare a unui cerc în X poate fi extinsă la încorporarea discului. ${\ displaystyle S ^ {1} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ~ | ~ | z | = 1 \ right \}}$ ${\ displaystyle D = \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ~ | ~ | z | \ leq 1 \ right \}}$ ${\ displaystyle f \ ,: \, S ^ {1} \ rightarrow X \, \!}$ ${\ displaystyle F \ ,: \, D \ rightarrow X \, \!}$
Un spațiu topologic conectat prin arcuri este conectat pur și simplu dacă și numai dacă oricare două căi arbitrare p , q : [0, 1] → X trasate pe X sunt homotopice.
Un spațiu topologic conectat prin arcuri este conectat pur și simplu dacă și numai dacă grupul său fundamental este banal , adică redus la elementul neutru.

Exemple

Sunt pur și simplu înrudite:

orice spațiu contractil , de exemplu orice parte convexă (sau chiar doar stea ) ne-goală a unui spațiu vector normalizat peste sur;
mai general, orice spațiu echivalent homotopic cu un spațiu pur și simplu conectat;
sfera S n pentru n ≥ 2;
orice produs al spațiilor pur conectate, cum ar fi (ℝ n +1 ) * ≃ S n × ℝ + * pentru n ≥ 2;
grupul special unitar SU ( n );
setul Mandelbrot ;
cercul polonez (care este conectat cu arc electric , dar nu este conectat la nivel local).

Nu sunt doar legate:

ℝ * și mai general (prin definiție) orice spațiu care nu este conectat prin arcuri;
cercul S 1 ;
produsul oricărui spațiu de S 1 , cum ar fi setul ℂ * ≃ S 1 × ℝ + * al numerelor complexe nenule sau torul T n = ( S 1 ) n ;
mai general, orice tor de aplicare , cum ar fi banda Möbius sau sticla Klein ;
grupul special ortogonal SO ( n ) dacă n ≥ 2.

Proprietăți

Orice acoperire a unui spațiu care este pur și simplu conectată și conectată local prin arcuri este o acoperire banală.
Cercul polonez are un non-trivială grad 2 de acoperire.
Orice acoperire conectată simplu și local conectată prin arcuri ale unui spațiu este o acoperire universală .
Proprietatea de rezecție a homotopiei (en) . Orice hartă continuă f a unui spațiu simplu conectat X în baza B a unei acoperiri $π$ : Y → B , este ridicată, adică există o hartă continuă g : X → Y astfel încât f = $π$ o g .
Cazul special X = [0, 1] este proprietatea căilor de rulment.

Generalizări

Un spațiu este conectat la nivel local atunci când orice punct admite o bază de cartiere conectate simplu. Spațiile contractile local sunt conectate local simplu.

Un spațiu se spune semi-local conectat simplu (in) (prin arce) dacă fiecare punct are un cartier U unde fiecare buclă conținută în U , poate fi deformat într - un punct în X .

Articole similare