Petrecere înstelată

În geometrie , o parte A a unui spațiu afin E real se spune că este marcată cu un punct a lui A dacă, pentru orice punct x al lui A , segmentul [ a , x ] este conținut în A , adică - spuneți că în A , orice punct poate fi conectat la a printr-o cale rectilinie.

Definiții

Mai formal, deoarece segmentul [ a , x ] este setul de baricentre cu coeficienți pozitivi ai punctelor a și x : o parte A vidă a lui E este marcată cu un punct a lui E dacă

{\ displaystyle \ forall x \ in A \ quad \ {(1-t) a + tx \ mid t \ in \ left [0,1 \ right] \} \ subset A.}

(Această condiție asigură că a este neapărat în A. )

Se spune că o parte din E este marcată cu stea (fără alte detalii) dacă este marcată cu cel puțin un punct.

Proprietăți afine

O parte care nu este goală este marcată cu privire la un dacă și numai dacă este stabilă sub acțiunea omotei centrului a și a raportului t pentru . ${\ displaystyle t \ in \ left [0,1 \ right]}$
O parte din E este convexă dacă și numai dacă este marcată cu stea în raport cu fiecare dintre punctele sale.
În plan , complementul unei jumătăți de linie este stea, dar nu este convex; complementul unui punct nu este marcat cu stea.
O parte dintr-un spațiu vectorial real este marcată cu privire la dacă și numai dacă există o funcție pozitivă omogenă (în sensul:, cu convenția ) astfel încât . O astfel de funcție a este în mod necesar egală cu Minkowski funcțională a : . $LA$ $E$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle p: E \ to \ left [0, + \ infty \ right]}$ ${\ displaystyle \ forall t \ in \ left [0, + \ infty \ right [\ quad \ forall x \ in E \ quad p (tx) = tp (x)}$ ${\ displaystyle 0 \ times \ infty = 0}$ ${\ displaystyle \ {x \ in E \ mid p (x) <1 \} \ subset A \ subset \ {x \ in E \ mid p (x) \ leq 1 \}}$ $LA$ ${\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad p (x) = \ inf {\ {\ lambda> 0 \ mid x \ in \ lambda A \}}}$

Se presupune aici că spațiul afinar real E este topologic, adică asociat cu un spațiu vector topologic .

Orice parte cu stea are tipul de omotopie a unui punct.
Orice parte înstelată este conectată prin arcuri și, prin urmare, orice deschidere înstelată este un domeniu (adică o deschidere conectată prin arcuri).
Proprietatea de a fi stelat nu este invariantă de homeomorfism , dar deschiderile stelate sunt printre cele mai simple și mai importante exemple de spații contractile .
Conform lemei lui Poincaré , orice formă diferențială închisă pe o stea deschisă este exactă .

Referinţă

(în) Eric Schechter (în) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press ,1997( citiți online ) , p. 315-316 și 313.

Bibliografie

(ro) AM Rubinov și AA Yagubov, „ Spațiul seturilor în formă de stea și aplicațiile sale în optimizarea fără probleme ” , pe IIASA (ro) ,1984