În multe ramuri ale matematicii , unul poate fi condus să compare două „obiecte” între ele arătând că unul dintre „obiecte” este un „sub-obiect” al celuilalt (uneori printr-o injecție , înlocuind setul de incluziune ). În unele teorii, în principal în geometria diferențială , termenul încorporare este complet definit, în timp ce în altele este menționat doar în contexte intuitive și, prin urmare, nu are un sens precis.
O hartă f : X → Y între două spații topologice este încorporarea lui X în Y dacă induce (prin corestricție ) un homeomorfism de la X în f ( X ) (dotat cu topologia indusă ).
Această corestricție este surjectivă prin definiție. Este continuu și injectiv dacă și numai dacă f este.
Orice injectare continuă deschisă sau închisă este o încastrare.
În topologia diferențială , fie V și W să fie două varietăți din clasa C k (posibil k infinită), iar f : V → W să fie o funcție.
Spunem că f este o încorporare C k dacă este o încorporare în sens topologic și dacă, în plus, f este C k și pentru toate x ∈ V , harta liniară tangentă T f ( x ) este injectivă.
O încorporare este apoi un difeomorfism C k pe imaginea sa , care imagine este o subvarietate diferențială a lui W (acest ultim rezultat necesită teorema funcțiilor implicite ).
Se diferențiază de:
Dacă V este compact și dacă f : V → W este o imersiune injectivă, atunci f este o încastrarea V în W .
Contraexemple când V nu este compactTeorema de încorporare a lui Whitney - Orice varietate din clasa C k ( k ≥ 1 ) și de dimensiune n admite o încorporare în R 2 n .
În contextul spațiilor metrice vorbim de încorporare pentru un spațiu cufundat în altul. Un parametru important este distorsiunea ( factor de întindere (en) ), adică o măsură a transformării distanțelor în timpul operației. Un exemplu de rezultat este lema Johnson-Lindenstrauss .
Fie ( P , ≤) și ( Q , ≼) două ordine . Atunci f : P → Q este o încorporare a comenzilor (în) dacă pentru toate p 1 și p 2 din P :
p 1 ≤ p 2 ⇔ f ( p 1 ) ≼ f ( p 2 ) .O astfel de aplicație este neapărat injectivă.
Egalizatoarele sunt uneori numite „încorporări” .
Într-o categorie care acceptă imagini și imagini, o încorporare ar putea fi legată de un monomorfism care ar fi un izomorfism pe imagine (sau imaginea este izomorfă pentru imagine).
O încorporare a graficului (în) , este operația care constă în scufundarea unui grafic într-un spațiu, în conformitate cu anumite condiții. Un exemplu clasic este cazul graficelor plane : grafice care pot fi desenate în plan, fără margini de trecere.