Sticla Klein

În matematică , sticla Klein (pronunțată kla.in ) este o zonă închisă, fără margini și nedirecțională , adică o suprafață pentru care nu este posibil să se definească un „intern” și „exterior”. Sticla Klein a fost descrisă pentru prima dată în 1882 de matematicianul german Felix Klein . Numele său derivă probabil dintr-o confuzie sau joc de cuvinte între termenii Klein Fläche ("suprafața Klein") și Klein Flasche ("sticla Klein").

Sticla Klein este strâns legată de banda Möbius și imersii ale avionului proiective reale , cum ar fi suprafața Boy . Este unul dintre cele mai simple exemple de varietate abstractă, deoarece este o suprafață care nu poate fi reprezentată corect în spațiul tridimensional. Matematic, se spune că include o imersiune a clasei C ∞ în spațiul space 3 trei dimensiuni, dar nu are încorporare continuă.

Constructie

Sticla Klein este posibilă să se reprezinte în spațiul ℝ 3 (spațiu tridimensional) numai dacă acceptăm că se încrucișează ; de asemenea, nici o realizare că se poate vedea despre sticla Klein nu este „exactă”. În ℝ 4 , pe de altă parte, este posibil să o realizăm fără auto-intersecție (matematic, spunem că are o încorporare (imersie injectivă ) de clasa C ∞ în ℝ 4 ).

Iată o cronologie în ℝ 3 . Din pătratul inițial, lipiți cele două margini roșii împreună, în direcția săgeților. Figura rezultată este un cilindru, ale cărui două margini dorim să le identificăm folosind săgețile albastre. Pentru a respecta direcția acestor săgeți, este necesar să întoarceți unul dintre cercuri înainte de a-l lipi înapoi pe celălalt și, pentru aceasta, să operați o auto-intersecție.

Dacă cele două segmente albastre ar fi orientate în același mod, lipirea segmentelor opuse ar da un tor . Dacă, dimpotrivă, cele două segmente roșii ar fi orientate în direcția opusă ca cele două segmente albastre, lipirea segmentelor opuse ar da un plan proiectiv .

Metoda de construcție alternativă

Sticla Klein poate fi obținută și prin lipirea din nou a două panglici Möbius de -a lungul marginilor lor. În mod echivalent, sticla Klein este suma conectată a două planuri proiective .

Ne oferim două copii ale unui astfel de pătrat și obținem două copii ale benzii Möbius, de data aceasta identificându-se mai întâi în funcție de săgețile albastre. Fiecare dintre aceste panglici are apoi o singură margine: laturile verticale roșii care au fost conectate în urma identificării anterioare; lipirea din nou a celor două panglici de-a lungul marginilor lor poate fi considerată ca fiind echivalentă cu lipirea din nou a marginii din dreapta celui de-al doilea pătrat, pe marginea din stânga a primului și invers. Putem vedea cu ușurință că găsim apoi cilindrul, dar cu identificarea marginilor albastre deja efectuate, adică sticla Klein.

Poate că este mai ușor de văzut că o sticlă Klein tăiată pe jumătate pe verticală oferă într-adevăr două panglici Möbius.

Vizualizare

Este posibil să înțelegem structura sticlei Klein din reprezentarea furnizată în acest articol și cu prețul unui efort intelectual mai mic decât s-ar putea crede.

Imaginați-vă un individ care trăiește într-o lume plană, bidimensională. Încercăm apoi să explicăm individului ce este un nod. Pentru a face acest lucru, desenăm un nod pe plan: el vede doar o curbă de auto-intersecție. I se explică apoi că nu vede punctele de intersecție, ci că curba trece „deasupra” și „dedesubt”. Individul nostru este uimit: trăind într-o lume plată, nu înțelege ce este deasupra sau ce este dedesubt. Îi lipsește o dimensiune (partea de sus și partea de jos) pentru a putea vizualiza nodul.

Ne confruntăm cu aceeași problemă atunci când încercăm să vizualizăm sticla Klein, deoarece vedem o suprafață care se intersectează. Cu toate acestea, dacă rezonăm cu o a patra dimensiune, este suficient să ne imaginăm că în acest loc, sticla trece „deasupra” și „dedesubt” în sensul acestei a patra dimensiuni și, prin urmare, nu se intersectează.

Putem considera într-un fel că sticla Klein este o suprafață care face un „nod”. Ca suprafață (obiect bidimensional), are nevoie de 4 dimensiuni pentru a lega un nod, la fel ca pentru o curbă (obiect 1-dimensional) este nevoie de 3 dimensiuni pentru a lega un nod.

Parametrizare

Parametrizarea scufundării în trei dimensiuni a sticlei Klein văzute anterior se obține după cum urmează: este un parametru care urmărește corpul sticlei în timp ce aceasta evoluează de-a lungul secțiunii sale. $tu$ $v$

${\ begin {array} {rcl} x & = & {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ right) \ cos \ left (v \ right) \ left (\ cos \ left (u \ right) \ left (3 \ cos ^ {{2 }} \ left (u \ right) -1 \ right) -2 \ cos \ left (2u \ right) \ right)} {80 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2 }} \ left (2u \ right) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) + 15 \ dreapta) +6 \ cos ^ {{4}} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {{2}} \ left (u \ right) \ right) +17}}} } - {\ frac {3 \ cos \ left (u \ right) -3} {4}} \\ y & = & - {\ frac {\ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ right) \ sin v} {60 \ pi ^ {{3}}}} \\ z & = & - {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ right) \ sin u \, \ cos v} {15 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2}} \ left (2u \ right) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) +15 \ right) +6 \ cos ^ {{4 }} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {{2}} u \ right) +17}}}} + {\ frac {\ sin \ left (u \ right) \ cos ^ {{2}} \ left (u \ right) + \ sin u} {4}} - {\ frac {\ sin u \, \ cos u} {2}} \ end {array}}$

${\ text {cu}} \ quad 0 \ leq u <2 \ pi \ quad {\ text {și}} \ quad 0 \ leq v <2 \ pi.$

O parametrizare mai simplă se obține după cum urmează, oferind o imersiune "8" a sticlei Klein. Acesta constă în a lua o curbă în formă de 8 într-un plan vertical și a-l face să efectueze o întoarcere completă în jurul axei Oz, în timp ce 8 în sine face o întoarcere în U. Această construcție este comparabilă cu cea a benzii Möbius , unde segmentul pivotant este înlocuit cu 8. Sticla Klein este apoi formată dintr-un cilindru a cărui bază are forma unui 8, cele două baze opuse fiind lipite între ele. cu orientarea lor.

{\ begin {array} {rcl} x & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ dreapta) \ cos u \\ y & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u \ \ z & = & \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ end {array}}

În această scufundare, intersecția de sine este un cerc înscris în planul Oxy. Constanta pozitivă este raza acestui cerc. Parametrul oferă unghiul în planul Oxy și este un parametru care definește secțiunea figurii sub forma 8. $r$ $tu$ $v$

Proprietăți

Sticla Klein este suma conectată a două planuri proiective reale .
Prin tăierea în două în raport cu planul său de simetrie, obținem de două ori o bandă Möbius .
Caracteristica sa Euler-Poincaré este zero.
Sale nenule Betti numere sunt b 0 = 1 și b 1 = 1.
Numărul său cromatic este de 6.
Grupul său fundamental (care poate fi calculat considerându-l ca un complex CW , sau ca un coeficient al planului sau al torului , sau ca spațiul total al unei fibrări în cercuri pe cerc) este produsul semi-direct al ℤ de la sine dat de prezentarea〈a , b | aba −1 b〉.
Conform teoremei lui Hurewicz , primul său grup de omologie este abelianizat . Prin urmare, este produsul direct ℤ × ℤ 2 .
Flaconul Klein are un orientabil de acoperire cu două straturi, diffeomorphic la pilier.

În cultura populară și în artă

Sticla Klein face obiectul unui capitol ( XII ) din La Potière jalouse de Claude Lévi-Strauss (ediția Plon 1985): interpretări psihanalitice și câmp semantic al orificiilor corporale.
Unul dintre motto-urile shadoks ( „dacă nu există o soluție, nu există nicio problemă” ) include o sticlă Klein în ilustrația sa, simbolizează o problemă imposibil de rezolvat.
În desenul animat Futurama , o marcă de bere, „ Klein's Beer ”, este vândută în sticle Klein.
În jocul video NetHack , încercarea de a turna o poțiune în sine produce următorul mesaj: „ Aceasta este o sticlă de poțiune, nu o sticlă Klein! " ( " Este o sticlă de poțiune, nu o sticlă Klein! " )
În jocul Magic: The Gathering , o carte este numită „ Sticla Elkin ” (Epoca de gheață, 1995) în omagiu pentru Richard Garfield , inventatorul jocului și matematicianul profesiei sale. Designerii și-au schimbat numele, „Elkin” fiind o anagramă pentru „Klein”.
În muzeul Quai Branly , imaginea sticlei Klein a fost menționată în mod explicit într-un panou pentru a explica viziunea sexualității în așa-numitele civilizații primitive. Omul perfect este văzut ca un individ ale cărui părți reproductive se îmbină cu interiorul gurii, astfel încât acest om să nu aibă nici în interior, nici în exterior. Pentru a susține discursul, vizitatorul putea observa prezența sticlei Klein din sticlă (a se vedea fotografia opusă). În prezent, acest semn nu mai este vizibil la muzeu.
În romanul Le Sixième Sommeil de Bernard Werber , sticla Klein este una dintre modalitățile prin care eroul, Jacques Klein, intră într-o nouă dimensiune a somnului.
În 2014, artistul Gary Hill a produs Klein Bottle cu Image of Its Own Making (după Robert Morris ) constând dintr-o sticlă transparentă Klein plasată pe o bază în care este proiectat un videoclip referitor la titlu.
În instalația sa Bonbons très bon din 1993, artistul francez Fabrice Hybert a integrat o sticlă de sticlă Klein, o parte din care reia forma unui stomac.
În a șasea parte a manga Bizarre Adventure JoJo , Stone Ocean , antagonistul Enrico Pucci se referă la sticla Klein și panglica Möbius .
Numit o dată de Ritsuko Akagi, șeful științific al NERV, în episodul 20 din Neon Genesis Evangelion „Forma inimii, oglinda oamenilor”.

Note și referințe

Ian Stewart , 17 ecuații care au schimbat lumea , Éditions Robert Laffont ,Ianuarie 2014, 416 p. ( ISBN 978-2-221-13334-7 și 2-221-13334-X , citit online ) , p. 135.
(în) Francis Bonahon , Geometrie de dimensiuni reduse: de la suprafețele euclidiene la nodurile hiperbolice , Providence, RI, librăria AMSaugust 2009, 384 p. ( ISBN 978-0-8218-4816-6 , prezentare online ) , p. 95.
(în) „ Klein'sche Flasche ” pe vismath.eu (accesat la 12 septembrie 2015 ) .
(ro) Allen Hatcher , Algebraic Topology , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , citit online ).
Site-ul Magiccorporation .
(în) „ Klein Bottle with the Image of Its Own Making (după Robert Morris) ” , pe portlandartmuseum.us (accesat la 20 decembrie 2017 )
„ Bomboane foarte bune (Fabrice Hyber) - atlasmuseum ” , pe publicartmuseum.net (accesat la 20 decembrie 2017 )

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

Ecuațiile și reprezentările lui Klein ale sticlelor
www.klein-bottle-film.com : Klein Bottle Animation 2010: O călătorie virtuală cu mașina prin Klein Bottle și o descriere originală de Felix Klein - o animație realizată la Freie Universität Berlin.
Sticla Klein pe glosarul site-ului Publimath
Videoclip pe YouTube