Exemplu de expansiune infinită într-o fracție continuată. |
În matematică , o fracție continuă sau o fracție continuă simplă sau mai rar o fracție continuată este o expresie a formei:
cuprinzând un număr finit sau infinit de etaje.
Arătăm că putem „reprezenta” - într-un sens care va fi specificat - orice număr real sub forma unei fracții continue, finite sau infinite, în care un 0 este un întreg relativ și celelalte un j sunt numere întregi strict pozitive. .
La fel ca în notația zecimală obișnuită, unde fiecare real este aproximat prin numere zecimale din ce în ce mai precis pe măsură ce se dau zecimale succesive, la fel fiecare real este aproximat prin fracțiuni etapizate ale formei de mai sus, din ce în ce mai precis pe măsură ce se adaugă mai multe etaje. De asemenea, dacă este nevoie de o infinitate de zecimale pentru a descrie exact un număr care nu este zecimal, este nevoie de o expansiune continuă a fracției continue pentru a descrie exact un număr irațional.
Fracțiile continuate sunt utile în aproximarea diofantină , în special pentru că oferă, într-un anumit sens, „cele mai bune” aproximări ale realilor prin numere raționale . Această proprietate se află la originea algoritmilor pentru aproximarea rădăcinilor pătrate, dar și a dovezilor de iraționalitate sau chiar transcendență pentru anumite numere precum π sau e . Periodicitatea fracțiilor continue de rădăcini pătrate de numere întregi strict mai mare decât 1 și fără un factor pătrat are consecințe utile pentru studiul ecuației Pell-Fermat .
Deja-folosit în matematicieni indiene din Evul Mediu, fracțiuni continuat sunt discutate în Europa , în XVII - lea secol. Acestea sunt acum generalizate la alte expresii, aplicate la aproximări de serii întregi numite aproximantul Padé , sau chiar adaptate aplicațiilor liniare .
Noțiunea de fracție continuată este vastă și se găsește în multe ramuri ale matematicii. Conceptele asociate pot fi relativ simple precum algoritmul lui Euclid sau mult mai subtile ca cel al funcției meromorfe .
Este posibil, la început, să vedem o fracție continuată ca o serie de numere întregi care „reprezintă” un real. Această situație este puțin aceeași cu cea a sistemului zecimal care reprezintă π ulterior numerelor întregi 3, 1, 4, 1, 5, 9 ... Sub forma unei fracții continue, secvența este 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1 ... Un prim domeniu de studiu constă în studierea relației dintre secvența 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1 ... și cea a numerelor raționale propuse de fracția continuată, în acest caz 3, 22/7, 333/106 etc., ne permite să știm cum să trecem de la prima continuare la a doua, cum converge a doua și răspunde la alte întrebări de această natură. Acesta este în esență scopul acestui articol.
Fracțiile continuate au o relație specială cu rădăcini pătrate sau mai general cu așa-numitele numere iraționale pătratice de forma a + b √ d unde a și b sunt numere raționale , b nu zero, și d > 1 un număr întreg fără factor pătrat . Fracțiile continue asociate sunt periodice, dintr-un anumit rang, adică secvența numerelor întregi care formează fracția continuată se repetă de la un anumit rang și până la infinit. Această situație este ca reprezentările infinite zecimale ale numerelor raționale. Aceste fracții continue rezolvă o celebră problemă aritmetică numită ecuația Pell-Fermat . Această întrebare face obiectul articolului „ Fracțiunea continuă a unui irațional pătratic ”.
La fel ca sistemul zecimal, fracția continuă oferă numere raționale care se apropie din ce în ce mai mult de ținta lor. Aceste aproximări sunt mult mai bune decât cele zecimale. A doua aproximare zecimală a π , egală cu 31/10 are un numitor relativ apropiat de cea a celei de-a doua aproximări a fracției continue 22/7, pe de altă parte 22/7 este de peste 30 de ori mai precisă decât 31/10. Acest tip de abordare a unui număr real printr-un număr rațional se numește aproximare diofantină . Fracțiile continuate joacă un rol important aici. Au făcut posibilă construirea primelor numere transcendente cunoscute: numerele Liouville sau arătarea faptului că numărul e este irațional. Cu condiția generalizării definiției unei fracții continue , devine posibil să se arate că și π este irațional - această abordare este tratată în articolul „ Fracție continuă și aproximare diofantină ”. (De fapt, e și π sunt chiar transcendente , conform teoremei Hermite-Lindemann .)
O fracție continuă nu este numai despre numere, ci și despre funcții. Este încă și mai generalizate fracțiuni au continuat prin înlocuirea coeficienților cu polinoame . O motivație vine din analiza complexă , care are ca obiect studiul funcțiilor variabilei complexe cu valori complexe , diferențiabile ca atare . Abordarea clasică constă în definirea lor ca serii întregi, deci ca limite ale polinoamelor. O specificitate frecventă a acestui tip de funcție este de a avea poli . Dacă, în loc să abordăm funcția prin polinoame, folosim coeficienți , construim o secvență de aproximanți Padé care nu are neapărat această slăbiciune.
Au fost studiate și alte proprietăți. Spre deosebire de sistemul zecimal, un număr întreg care apare într-o fracție continuă nu este de obicei delimitat de 9, poate deveni în mod arbitrar mare. Alexandre Khintchine era interesat de media, în sensul de limită a mijloacelor geometrice ale tuturor acestor numitori. Pentru aproape toate numerele, această medie este aceeași (cuvântul „aproape” are aici semnificația tehnică a teoriei măsurării ); această medie se numește constanta lui Khintchine .
De asemenea, este posibil să construim expansiuni în fracții prin plasarea barelor de fracție pe numărător și nu mai jos: obținem o expansiune în serie a lui Engel :
.Utilizarea fracțiilor continue este veche. Aryabhata (476-550), un matematician indian le folosește pentru a rezolva ecuațiile diofantine , precum și pentru a aproxima cu precizie numerele iraționale . Brahmagupta (598-668) investighează în continuare ecuația numită acum Pell-Fermat , folosind o identitate remarcabilă . El încearcă să rezolve ecuația x 2 - 61 y 2 = 1 și găsește cea mai mică soluție: x = 1 766 319 049 și y = 226 153 980.
În secolul al XII- lea, metoda este îmbogățită de Bhāskara II . Un algoritm , metoda chakravala , similară cu cea a fracțiilor continue, rezolvă cazul general. Cea mai izbitoare diferență cu metoda europeană ulterioară este că permite numere negative în fracție, permițând o convergență mai rapidă.
Apariția în Europa este mai târziu și italiană. Raphaël Bombelli (1526-1572) folosește un strămoș al fracțiilor continue pentru calculul aproximărilor rădăcinii pătrate de 13. Pietro Cataldi (1548-1626) înțelege că metoda lui Bombelli se aplică pentru toate rădăcinile pătrate, el o folosește pentru valoare 18 și scrie o mică broșură despre asta. El observă că aproximările obținute sunt alternativ mai mari și mai mici decât rădăcina pătrată căutată.
În Anglia au loc progrese decisive. La 3 ianuarie 1657 , Pierre de Fermat a provocat matematicienii europeni cu mai multe întrebări, inclusiv ecuația deja rezolvată de Brahmagupta. Reacția englezilor, înțepată de rapid, a fost rapidă. William Brouncker (1620-1684) găsește relația dintre ecuație și fracția continuată, precum și o metodă algoritmică echivalentă cu cea a indienilor pentru calculul soluției. Produce prima fracție continuă generalizată , pentru numărul 4 / π . Aceste rezultate sunt publicate de John Wallis, care profită de ocazie pentru a demonstra relațiile de recurență folosite de Brouncker și Bhāskara II. El dă numele fracției continue în propoziție: "Nempe și unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum " . În acel moment, Christian Huygens (1629-1695) a folosit aproximările raționale date de dezvoltare în fracții continue pentru a determina numărul de dinți ai uneltelor unui automat planetar.
Unele întrebări teoretice sunt rezolvate în secolul următor. Utilizarea arată că algoritmul fracțiilor continue face posibilă rezolvarea ecuației Pell-Fermat utilizând faptul că fracția este periodică dintr-un anumit rang. Leonhard Euler (1707-1783) arată că, dacă un număr are o fracție continuă periodică, atunci este soluția unei ecuații pătratice cu coeficienți întregi. Reversul, mai subtil, este opera lui Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). În acest secol, Jean-Henri Lambert (1728-1777) a găsit o nouă utilizare în fracțiunile continue. El le folosește pentru a arăta iraționalitatea lui π .
Această practică este comună în secolul al XIX - lea secol. Évariste Galois (1811-1832) a găsit condiția necesară și suficientă pentru ca o fracție continuă să fie imediat periodică. Joseph Liouville folosește expansiunea continuă a fracției pentru a prezenta numere transcendente : numerele Liouville . În 1873 , Charles Hermite a dovedit transcendența e . Un produs secundar al dovezii sale este o dovadă suplimentară a expresiei fracției continue continue a lui e găsită de Euler. La sfârșitul secolului, Henri Padé (1863-1953) a dezvoltat teoria aproximativelor care îi poartă acum numele și care sunt fracții continue de polinoame . Această tehnică este utilizată de Henri Poincaré (1854-1912) pentru a demonstra statibilitatea sistemului solar. Georg Cantor (1845-1918) demonstrează cu ajutorul fracțiilor continue că punctele unui segment și cele situate în interiorul unui pătrat sunt în bijecție . Funcțiile de această natură sunt studiate în cadrul teoriei haosului ; sunt discontinue pe fiecare punct rațional al intervalului [0, 1].
Începem prin a aminti cursul algoritmului datorat căutării euclidiene a GCD , analizând exemplul celor două numere întregi 15 625 și 6 842. Trecem la o serie de diviziuni euclidiene cu rest:
Un alt mod de a interpreta acest algoritm constă în abordarea în etape a cocientului 15 625/6842. Partea întreagă a acestui cocient este 2, ceea ce face posibilă scrierea:
Ce putem spune despre fracțiunea 1.941 / 6.842, în afară de faptul că este mai mică de 1? Este între 1/4 și 1/3, inversul său, 6 842/1 941, are ca parte întreagă: 3; și mai precis, dacă folosim rezultatele celei de-a doua diviziuni euclidiene:
Deci pas cu pas:
care este într-adevăr o fracție continuată. Uneori se folosește următoarea notație, ceea ce este mai convenabil:
Putem compara 15 625/6842 cu reducerile sale obținute prin trunchierea succesivă a numărului de etape ale fracției continue. Tabelul următor prezintă trunchierile în notație fracțională apoi zecimală și diferența dintre numărul redus și numărul 15.625 / 6.842.
Fracțiune | Expansiune zecimală | Greşeală |
---|---|---|
2 |
2 |
–0,28 ... |
7/3 = 2 + 1/3 |
2.333 ... |
+0,049 ... |
9/4 = 2 + 1 / (3 + 1/1) |
2.25 |
–0.033 ... |
16.07 |
2.285 7 ... |
+0,002 0 ... |
153/67 |
2.283 58 ... |
–0.000 10 ... |
169/74 |
2.283.783 ... |
+0.000 094 ... |
322/141 |
2.283 687 9 ... |
–0.000 001 0 ... |
15 625/6 842 |
2.283 688 979 83 ... |
0 |
Succesiunea erorilor scade în valoare absolută și în semne alternante.
Fie r = p / q un număr rațional (cu p și q numere întregi și q > 0). Noi căutăm r o expansiune finită într - o fracție continuă , adică o scriere r sub forma [ a 0 , ..., a n ] cu n întreg naturale , un 0 întreg relativ și un 1 , ..., o n numere întregi > 0. Pentru aceasta, aplicăm algoritmul lui Euclid:
Setăm p 0 = p , p 1 = q și construim numerele întregi a 0 și p 2 prin împărțirea euclidiană :
Apoi, atâta timp cât p j nu este zero, definim numerele întregi a j –1 și p j +1 prin:
cu un număr întreg j –1 cel puțin egal cu 1 (pentru j > 1) și 0 ≤ p j +1 < p j . Algoritmul lui Euclid se oprește. Notăm cu n cel mai mare număr întreg pentru care p n +1 nu este zero. Prin urmare, știm că p n / p n +1 este egal cu numărul întreg a n . Apoi avem:
Într-adevăr :
sau:
Reprezentare geometrică -
Algoritmul lui Euclid ne permite să calculăm o fracție continuă în cazul numerelor raționale. Acest algoritm admite în acest context o interpretare geometrică. Fie r = p / q un număr rațional, considerăm un dreptunghi de lungime p și lățime q și îl pavăm cu pătrate de latură q .
Dacă r este un număr întreg, faianța constă în exact r pătrate. În caz contrar, fie are 0 numărul de pătrate inserate în dreptunghi, fie primul termen al fracției continue. Rămâne o bandă neasfaltată de dimensiune q × b 1 cu b 1 egal cu p - a 0 q ; această bandă este pavată cu pătrate de dimensiune maximă, adică de latura b 1 . Numărul de pătrate este egal cu al doilea termen a 1 din fracția continuată. Repetând metoda, obținem toți coeficienții a p .
În imaginea opusă, pavăm dreptunghiul 30 × 13 cu două pătrate de laturi 13. Rămâne o bandă de lungime 13 și lățime 4. În ceea ce privește fracția continuată, obținem egalitatea:
.Apoi, observăm că este posibil să umpleți banda rămasă cu 3 pătrate de latura 4 și rămâne o bandă de lungime 4 și lățime 1, care permite finalizarea calculului fracției continue:
.Aceeași construcție face posibilă găsirea raționalului a cărei dezvoltare în fracție continuă este cunoscută. În imaginea din stânga putem găsi raționalul a cărui dezvoltare este [1, 1, 2, 3]. Ultimul coeficient este egal cu 3, deci găsim 3 pătrate mici ale laturii 1, care dau dimensiunea următorului pătrat (3). Penultimul coeficient 2 indică faptul că există două pătrate medii ale laturii 3. Aceste două laturi și pătratul mic dau dimensiunea pătratului mai mare (7). Coeficientul asociat este egal cu 1, deci există doar unul de această natură. Pătratul mai mare (7) și pătratul mediu (3) dau latura ultimului pătrat (10). Ultimele două pătrate dau lungimea totală a dreptunghiului (17). Fracția dorită este egală cu 17/10.
Procesul se oprește pentru că p și q sunt comensurabile adică că există o lungime l și două numere întregi a și b astfel încât p = o și q = lb .
Acum considerați un dreptunghi cu lungimea L și lățimea l . Dacă coeficientul L / l nu este rațional, adică dacă lungimile L și l sunt incomensurabile, procesul nu se oprește.
Acesta este cazul figurii din dreapta reprezentând un dreptunghi auriu, adică un dreptunghi al cărui raport lungime / lățime este egal cu φ numărul auriu . Nu putem plasa decât un pătrat în fiecare bandă care duce la reprezentare: .Succesiunea numeratorilor și cea a numitorilor sunt Fibonacci .
Prin urmare, am arătat că pentru orice r rațional , algoritmul lui Euclid oferă o expansiune a fracției continue finite a lui r (dimpotrivă, orice număr care are o expansiune a fracției continue finite este evident rațional). Dezvoltarea [ a 0 , ..., a n ] astfel obținută are particularitatea că dacă n nu este zero, atunci a n > 1. Deducem o a doua expansiune: r = [ a 0 , ..., a n - 1, 1] . Acestea sunt singurele două.
Când vom adăuga, la calculul unui j al acestei extinderi, calculul numărătorii h j și numărătorii k j din diferite cele reduse:
acest algoritm euclidian devine algoritmul euclidian extins . Mai exact, succesiunea perechilor de numere întregi ( u i , v i ) , furnizată de algoritmul extins aplicat la ( p , q ), coincide cu secvența lui ( k j , h j ), cu excepția semnelor și a unei schimbări lângă indici: k j = (–1) j u j +2 și h j = (–1) j +1 v j +2 . Pentru j , numerele întregi k j și h j sunt, prin urmare, relativ prime și p j + 1 = (-1) j ( qh j -1 - pk j -1 ). În special: ultima redusă, h n / k n , este fracția p / q pusă sub formă ireductibilă și penultima corespunde soluției particulare a identității lui Bézout oferită de algoritmul euclidian extins: GCD ( p , q ) = p n +1 = (–1) n ( qh n –1 - pk n –1 ).
DemonstrațieConform § „Algoritmul” articolului despre algoritmul euclidian extins, ( u i , v i ) sunt definite de relația de recurență
și inițializare
Conform paragrafului „Redus cu o fracție continuată” de mai jos , ( k j , h j ) urmează relația de recurență
chiar prin atribuirea lor de valori suplimentare
Legătura anunțată între aceste două secvențe de perechi de numere întregi este dedusă din aceasta, printr-o recurență de ordinul 2 .
O remarcă face posibilă generalizarea metodei precedente la orice număr real. Pentru a ilustra, să-l aplicăm la numărul π . Primul pas, în cazul unui rațional, a fost calculul coeficientului împărțirii euclidiene a numărătorului la numitor, care nu mai are sens pentru un real, pe de altă parte, rezultatul a fost egal cu partea întreagă a raționalul, dar întreaga parte a realului are un sens. Partea fracționată , în mod necesar mai mică decât 1, a fost inversată, ceea ce este încă posibil aici. Noi obținem :
.Deoarece π - 3 este mai mic decât 1 (este o parte fracționată) inversul său este mai mare decât 1 și nu este întreg deoarece π este irațional . Prin urmare, putem aplica aceeași abordare:
Noua valoare, aproximativ egală cu 15.997, este încă o irațională strict mai mare decât 1, de unde posibilitatea unui nou pas, apoi al unuia nou:
Deoarece π este irațional, procesul nu se oprește niciodată (imaginându-ne că calculul se efectuează cu o infinitate de zecimale). Ca o succesiune de fracții, obținem 3 apoi 22/7 ≈ 3,1428 apoi 333/106 ≈ 3,14150 apoi 355/113 ≈ 3,1415929 și în final 103 993/33 102, aproape de π cu o precizie mai bună de o miliardime. Încă o dată, succesiunea erorilor scade în valoare absolută și în semne alternante.
Fie ( a p ) o fracție continuată. Asociem cu el două secvențe de numere întregi ( h p ) și ( k p ), definite prin inducție prin:
Apoi, pentru orice indice p al fracției continue:
Proprietatea (3) arată, prin aplicarea teoremei lui Bézout , că numerele întregi h p și k p sunt coprimă.
Aceste trei proprietăți sunt demonstrate direct, dar sunt, de asemenea, cazuri speciale ale celor ale fracțiilor continuate generalizate , demonstrate în articolul corespunzător. Dăm , de asemenea , o matrice de interpretare a definiției h p și k p , din care rezultă imediat, prin transpunere , o dublă proprietate de (1):
În algoritmul euclidian dezvoltat anterior, întregul a j este coeficientul lui p j din diviziunea euclidiană cu p j +1 . Prin urmare, este partea întreagă a realului x j egal cu p j / p j +1 . Partea fracționată x j - a j a x j este p j +2 / p j +1 , inversă a realului x j +1 .
Putem apoi defini o expansiune continuă a fracției pentru orice x real . Simbolul ⌊ s ⌋ reprezintă partea întreagă a numărului s . Noi intrebam:
precum și definiția recurentă: atâta timp cât x j nu este întreg,
Dacă x este rațional, așa cum am văzut mai sus , există un n astfel încât x n este un număr întreg: stabilim un n = x n , algoritmul se oprește, iar cele două secvențe ( a j ) și ( x j ) sunt finite. Dacă x este irațional, algoritmul nu se oprește niciodată și cele două secvențe sunt infinite.
Putem oficializa acest algoritm într-un mod mai computerizat:
Sau:
Dacă x este irațional, două notații sunt frecvent utilizate în acest context:
Vor fi legitimate mai târziu : vom vedea, printre altele, că secvența de reduceri converge la x .
Cotați complet ai unui realFie x un număr real, ( a p ) fracția sa continuată, ( h p ) și ( k p ) seria numeratorilor și numitorilor reducerilor asociate cu această fracție continuă și ( x p ) seria de coeficienți complecți ai x .
Pentru orice index p , avem egalitatea:
Cu toate acestea, dovada a proprietatilor (1) și (2) de mai sus Reducerile unei fracțiuni continue rămâne valabil dacă întreg un p este înlocuit cu adevăratul x p . Prin urmare, obținem, respectiv:
Proprietatea (2 '):
Se scrie diferența dintre două reduceri succesive ale unei fracții continue infinite ( vezi mai sus ), care constituie punctul de plecare al teoremei de mai jos.
Teorema -
Utilizările fracțiilor continue sunt numeroase. Vom găsi, de exemplu, în fracția continuă și în aproximarea diofantină , dovezile iraționalității lui e sau ale lui π , în fracția continuă a unei iraționale pătratice un exemplu de rezolvare a ecuației Pell-Fermat sau în aproximantul lui Padé o prelungire analitică a întregii serii funcția tangentă. Utilizarea dată aici necesită doar pentru a înțelege proprietățile descrise în acest articol.
Christian Huygens ar dori să construiască, folosind un mecanism asemănător cu cel al unui ceas, un automat care să reprezinte mișcarea planetelor în jurul soarelui: „După ce am încercat și executat PLC recent, o mașină care reprezintă mișcarea planetelor a căror construcție este într-un mod particular și destul de simplu datorită efectului său, restul este de mare utilitate pentru cei care studiază sau observă cursul stelelor. „ Dificultatea cu care se confruntă este legată de raportul dintre lungimea unui an terestru și cea a lui Saturn. Într-un an, Pământul se rotește cu 359 ° 45 ′ 40 ″ 30 ‴ și Saturn cu 12 ° 13 ′ 34 ″ 18 ‴. Raportul este egal cu 77 708 431/2 640 858. Câți dinți sunt necesari pe cele două roți dințate care susțin Pământul și respectiv Saturn?
Huygens știe că fracțiile continuate oferă cel mai bun compromis, pe care îl exprimă după cum urmează: „Acum, când neglijăm de la orice fracție ultimii termeni ai seriei și cei care o urmează, și când îi reducem pe ceilalți plus numărul întreg la un comun numitor, raportul dintre acesta din urmă și numărător va fi apropiat de cel al celui mai mic număr dat celui mai mare; iar diferența va fi atât de mică încât ar fi imposibil să se obțină un acord mai bun cu un număr mai mic. "
Un calcul al fracției continue arată că:
Obținem secvența fracțiilor: 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Primele două soluții nu sunt precise, în primul caz, la sfârșitul unei rotații de Saturn, poziția pământului este greșită aproape o jumătate de tura, în celălalt caz eroarea depășește 4 °. Al cincilea este dificil din punct de vedere tehnic, necesită fabricarea unei roți cu peste 1000 de dinți sau mai multe roți. Al patrulea oferă o precizie apropiată de 3 / 1000. Este ceea ce alege Huygens.
Dacă pământul face o sută de rotații complete, pe automatul planetar Saturn face 700/206, adică trei rotații și un unghi de 143 ° 18 ′. În realitate, Saturn a transformat 143 ° 26 ′. Adică o eroare de 8 minute de unghi, mult mai mică decât inexactitățile mecanice ale ceasului. Un calcul similar arată că fracția 147/5 dă, în același context, o eroare mai mare de un grad, pentru o implementare de dificultate tehnică comparabilă.
Un calcul, în partea introductivă a articolului, arată cum se determină fracția continuată a π . Cu toate acestea, fiecare pas este mai dureros, deoarece necesită o precizie din ce în ce mai mare asupra valorii inițiale. Seriile întregi, convergente la π , oferă o soluție teoretică pentru calcularea fiecărui coeficient al fracției continue, dar este mult prea inextricabil din punct de vedere al calculului pentru a fi utilizabil. Din acest motiv, este mai simplu să obțineți o expresie a fracției continuă generalizată, permițând numărătorilor nu neapărat egali cu 1. Prima fracție de acest tip a fost produsă de Brouncker:
O dovadă a acestei egalități apare în articolul „ Formula fracției continue a lui Euler ”, prin evaluarea la punctul 1 a unei fracții continue generalizate a funcției Arctangent . Astfel, o fracție continuată nu se aplică doar numerelor, ci și anumitor funcții.
La fel, Euler a dezvoltat funcția exponențială într-o fracție continuă de funcții de o formă adecvată: astfel încât să se obțină fracția continuată a lui e :