Problema convergenței (matematică)
În matematică și mai precis în teoria analitică a fracțiilor continuate generalizate cu coeficienți complecși , problema convergenței este determinarea condițiilor pe numeratorii parțiali a i și pe numitorii parțiali b i care sunt suficiente pentru a garanta convergența fracției continue
b0+la1b1+la2b2+la3b3+⋱{\ displaystyle b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {b_ { 3} + \ ddots}}}}}}}, remarcat acum în acest articol b0+la1∣∣b1+la2∣∣b2+la3∣∣b3+⋯,{\ displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid b_ {3}}} + \ cdots,}
adică convergența secvenței reducerilor sale
b0+la1∣∣b1+la2∣∣b2+...+lanu∣∣bnu.{\ displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}}.}
Rezultate de bază
Condiție necesară și suficientă pentru convergență
Prin definiție, converge fracție dacă și numai dacă B n sunt non-zero , de la un anumit grad , iar termenul general
seria
LAnuBnu-LAnu-1Bnu-1=(-1)nu-1la1...lanuBnu-1Bnu{\ displaystyle {\ frac {A_ {n}} {B_ {n}}} - {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = (- 1) ^ {n-1 } {\ frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n-1} B_ {n}}}}
converge , unde A n și B n denotă numeratorii și numitorii reducerilor, iar egalitatea de mai sus se deduce din formulele de pe reduceri . Mai mult, dacă complexele a n și b n sunt funcții ale unei variabile z și dacă convergența seriei este uniformă față de z , este în mod natural același pentru convergența fracției continue.
Teoremele Stern-Stolz și Seidel-Stern
Dacă toți numeratorii parțiali a n sunt neni, reducem cu ușurință prin conversie în cazul în care sunt egali cu 1. Spunem atunci că fracția este regulată.
Pentru o fracție regulată, avem creșterea
|Bnu|≤(1+|b1|)...(1+|bnu|).{\ displaystyle | B_ {n} | \ leq (1+ | b_ {1} |) \ ldots (1+ | b_ {n} |).}
Conform criteriului de mai sus, o condiție necesară pentru ca această fracțiune să convergă este, prin urmare, faptul că produsul infinit al (1 + | b n |) divergă sau, ceea ce este echivalent, că seria de | b n | divergențe: aceasta este teorema Stern - Stolz .
Pentru o fracție cu coeficienți complecși, această condiție necesară de convergență nu este suficientă: de exemplu, fracția din perioada 1
1∣∣eu+1∣∣eu+1∣∣eu+⋯{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid {\ rm {i}}}} + \ cdots}
nu converge, deși termenul general serie | eu | = 1 este aproximativ divergent .
Cu toate acestea, pentru o fracție regulată, toți numitorii lor parțiali b n sunt reali reali , această condiție necesară este de asemenea suficientă: este teorema Seidel -Stern. Într-adevăr, în acest caz, seria echivalentă cu fracția este alternată, iar formulele de recurență de pe B n le permit să fie reduse:
B2nu≥b1(b2+b4+...+b2nu) și B2nu+1≥b1+b3+...+b2nu+1.{\ displaystyle B_ {2n} \ geq b_ {1} (b_ {2} + b_ {4} + \ ldots + b_ {2n}) {\ text {și}} B_ {2n + 1} \ geq b_ {1 } + b_ {3} + \ ldots + b_ {2n + 1}.}
Convergența condiționată și necondiționată
Spre deosebire de o serie, o fracțiune
b0+la1∣∣b1+la2∣∣b2+⋯{\ displaystyle b_ {0} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
poate fi foarte bine convergentă fără „fracțiile extrase”
bnu-1+lanu∣∣bnu+lanu+1∣∣bnu+1+⋯{\ displaystyle b_ {n-1} + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid b_ {n}}} + {\ frac {a_ {n + 1} \ mid} {\ mid b_ {n +1}}} + \ cdots}
toti sunt. De exemplu :
1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=0{\ displaystyle 1 + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2 }} + \ cdots = 0}
prin urmare
1+1∣∣1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=1+1∣∣1+1∣∣0=1{\ displaystyle 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1 }} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 0}} = 1}
Dar
1+1∣∣1+-1∣∣2+-1∣∣2+-1∣∣2+⋯=+∞.{\ displaystyle 1 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2} } + {\ frac {-1 \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots = + \ infty.}
Se spune că o fracție convergentă este necondiționată convergentă atunci când toate „fracțiile extrase” converg și , în caz contrar, convergente condiționate . De acum înainte, dacă nu se specifică altfel, atunci când vorbim de convergență a unei fracții continue generalizate, va fi implicit noțiunea „bună”: aceea de convergență necondiționată care, prin definiție, este moștenită de „fracțiile extrase”.
Convergența către x a unei fracții este necondiționată dacă și numai dacă niciunul dintre reductorii săi nu este egal cu x .
Fracții periodice continue
O fracție continuă periodică (al cărei caz particular este cea corespunzătoare unei iraționale pătratice ) este o fracție continuată ale cărei două serii de numeratori parțiali și numitori parțiali sunt, dintr-un anumit rang, periodice și ai căror numeratori parțiali nu sunt zero. Pentru a le studia, este în mod evident suficient să ne concentrăm asupra celor numite „pur periodice” cu mai mult de b 0 = 0, adică cele de formă
X=la1∣∣b1+la2∣∣b2+⋯+lak∣∣bk+la1∣∣b1+la2∣∣b2+⋯+lak∣∣bk+⋯.{\ displaystyle x = {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {k} \ mid} {\ mid b_ {k}}} + \ cdots.}Prin aplicarea teoriei transformărilor lui Möbius la
s(w)=LAk-1w+LAkBk-1w+Bk{\ displaystyle s (w) = {\ frac {A_ {k-1} w + A_ {k}} {B_ {k-1} w + B_ {k}}}}
unde A k –1 , B k –1 , A k și B k sunt numeratorii și numitorii reducerilor indicilor k - 1 și k ai lui x , arătăm că dacă x converge, converge la unul dintre punctele fixe ale s ( w ). Mai precis, să r 1 și r 2 să fie la rădăcinile ale ecuației pătratice
Bk-1w2+(Bk-LAk-1)w-LAk=0,{\ displaystyle B_ {k-1} w ^ {2} + (B_ {k} -A_ {k-1}) w-A_ {k} = 0,}
care sunt punctele fixe ale lui s ( w ). Dacă B k –1 nu este zero, x converge la r 1 dacă și numai dacă
-
r 1 = r 2 sau
- redusul indicelui k - 1 este mai aproape de r 1 decât de r 2 și, dacă k ≥ 2, niciunul dintre k - 1 redus anterior (al indicilor 0, ..., k - 2) nu este egal cu r 2 .
Dacă B k –1 este zero, tot B nk –1 dispare și fracția continuată nu converge. Când niciuna dintre cele două condiții precedente nu este îndeplinită, succesiunea reducerilor oscilează fără a converge.
Caz special în care perioada este egală cu 1
Dacă perioada k este egală cu 1, adică dacă
X=la∣∣b+la∣∣b+la∣∣b+⋯{\ displaystyle x = {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
(cu b nu zero), atunci A 0 / B 0 = 0/1 = 0, A 1 / B 1 = a / b și ecuația anterioară devine: w 2 + bw - a = 0, care nu este altul decât
w=lab+w.{\ displaystyle w = {\ frac {a} {b + w}}.}
Din rezultatul anterior, x converge la r 1 dacă și numai dacă r 1 = r 2 sau | r 1 | <| r 2 |.
Condiția fracției
y: =b+X=b+la∣∣b+la∣∣b+la∣∣b+⋯{\ displaystyle y: = b + x = b + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {a \ mid} {\ mid b}} + \ cdots}
converge este, desigur, aceeași, iar limita sa este apoi b + r 1 , adică de data aceasta (deoarece r 1 + r 2 = - b ) rădăcina celui mai mare modul al ecuației v 2 - bv - a = 0, care este nimeni altul decat
v=b+lav.{\ displaystyle v = b + {\ frac {a} {v}}.}
Dovada elementară directă
Numerătorii și numitorii reducerilor formează aici o secvență liniară recurentă de ordinul 2 (aceeași, cu excepția unei schimbări: A n = B n +1 ):
B-1=0,B0=1,Bnu=bBnu-1+laBnu-2.{\ displaystyle B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0} = 1, \ quad B_ {n} = bB_ {n-1} + aB_ {n-2}.}
Studiul general al secvențelor liniare recurente arată că apar două cazuri:
-
dacă ecuația v 2 - bv - a = 0 are două rădăcini distincte δ 1 și δ 2 :
Dacă notăm cu δ 1 cea mai mare dintre cele două rădăcini în modul, atunci δ 1 este neapărat diferit de zero, ceea ce face posibilă definirea numărului complex ω = δ 2 / δ 1 (diferit de 1) și să scriem:
∀nu∈NU∪{-1}Bnu=δ1nu+1-δ2nu+1δ1-δ2=δ1nu1-ωnu+11-ω.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = {\ frac {\ delta _ {1} ^ {n + 1} - \ delta _ {2 } ^ {n + 1}} {\ delta _ {1} - \ delta _ {2}}} = \ delta _ {1} ^ {n} {\ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega}}.}
Acest caz este apoi împărțit în două:
- Rădăcinile sunt module separate:
În acest caz, ω este de modul strict mai mic decât 1, prin urmare ω n tinde spre 0, iar secvența redusă converge spre δ 1 deoarece
LAnu-1Bnu-1=BnuBnu-1=δ11-ωnu+11-ωnu.{\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} { \ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}}.}
- Rădăcinile sunt de același modul:
În acest caz, ω este de modulul 1. Dacă este o
rădăcină a unității , de ordinul m , atunci secvența celor reduse este divergentă deoarece periodic de perioada m > 1, una dintre valorile sale m fiind aceeași nedeterminată (cu numitor zero). Dacă ω nu este o rădăcină a unității, secvența (ω n ) este
densă în cercul unitar și secvența de reduceri este, de asemenea, divergentă, deoarece
LAnu-1Bnu-1=δ11-ωnu+11-ωnu=δ1(1-ω1-ωnu+ω).{\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = \ delta _ {1} {\ frac {1- \ omega ^ {n + 1}} {1- \ omega ^ {n}}} = \ delta _ {1} \ left ({\ frac {1- \ omega} {1- \ omega ^ {n}}} + \ omega \ right).}
-
dacă ecuația v 2 - bv - a = 0 are o rădăcină dublă δ (nu zero):∀nu∈NU∪{-1}Bnu=(nu+1)δnu.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {- 1 \} \ quad B_ {n} = (n + 1) \ delta ^ {n}.}
LAnu-1Bnu-1=BnuBnu-1=(nu+1)δnunuδnu-1=δ(1+1nu)→δ.{\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {B_ {n}} {B_ {n-1}}} = {\ frac {(n + 1) \ delta ^ {n}} {n \ delta ^ {n-1}}} = \ delta \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) \ to \ delta.}Secvența de reduceri converge la rădăcina unică.
Prin setarea z = a / b 2 , convergența lui x și y are loc deci dacă și numai dacă cele două rădăcini pătrate ale lui 1 + 4 z sunt fie egale, fie nu echidistante de la 1, adică dacă și numai dacă z nu este un real <−1/4.
În special, fracția
1∣∣b+1∣∣b+1∣∣b+⋯{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid b}} + \ cdots }
converge dacă și numai dacă 1 / b 2 nu este un real <−1/4, adică dacă complexul b (presupus a nu fi zero) nu aparține intervalului imaginar pur ] −2 i , 2i [ .
Convergența a fost previzibilă pentru realul pozitiv b , prin teorema Seidel-Stern văzută mai sus (și pentru b de modul mai mare sau egal cu 2, după criteriul Śleszyński-Pringsheim de mai jos).
Criteriul Śleszyński-Pringsheim
La sfârșitul secolului al XIX-lea, Ivan Śleszyński (ro) și Alfred Pringsheim au arătat că dacă numeratorii și numitorii parțiali verifică | b n | ≥ | a n | + 1 pentru n ≥ 1, apoi
∀NU∈NU∑nu=1NU|la1...lanuBnu-1Bnu|<1{\ displaystyle \ forall N \ in \ mathbb {N} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {a_ {1} \ ldots a_ {n}} {B_ {n- 1} B_ {n}}} \ right | <1}
prin urmare ( cf. § „Condiție necesară și suficientă a convergenței” de mai sus) fracția
la1∣∣b1+la2∣∣b2+⋯{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid b_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid b_ {2}}} + \ cdots}
converge și reducerile sale sunt de modul strict mai mici de 1. Prin utilizarea fracțiilor din perioada 1 , putem arăta, de asemenea, că „setul limită al fracțiilor Śleszyński-Pringsheim” - adică ansamblul tuturor limitelor fracțiilor care îndeplinesc ipotezele a acestei teoreme - este exact unitatea închisă .
Teorema lui Worpitzky
Anterior (în 1865), Julius Worpitzky (de) demonstrase, în ceea ce pare a fi „cea mai veche publicație a unei disertații privind convergența fracțiilor algebrice continuate” , că dacă numeratorii parțiali a n ai fracției continue
la1∣∣1+la2∣∣1+la3∣∣1+⋯{\ displaystyle {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}
sunt astfel încât | a n | ≤ 1/4 atunci fracția converge, uniform față de z dacă complexele a n sunt funcții ale unei variabile z .
Această teoremă poate fi dedusă astăzi din cea a lui Śleszyński-Pringsheim, prin echivalența fracțiilor
2la1∣∣1+la2∣∣1+la3∣∣1+⋯=4la1∣∣2+4la2∣∣2+4la3∣∣2+⋯.{\ displaystyle {\ frac {2a_ {1} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {a_ {3} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = {\ frac {4a_ {1} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {4a_ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac { 4a_ {3} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots.}
I-a permis lui Worpitzky să arate că dacă
f(z)=1∣∣1+vs.2z∣∣1+vs.3z∣∣1+vs.4z∣∣1+⋯{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {2} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {3} z \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {c_ {4} z \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots}și dacă | c i | ≤ 1/4 pentru toți i , apoi, pentru | z | ≤ 1, fracția f ( z ) converge uniform, deci f este holomorfă pe discul unității deschise .
Este imediat că, în plus, toate reductoarele f ( z ) aparțin discului deschis Ω cu raza 2/3 centrat în 4/3 și că limita stabilită este discul închis Ω .
De asemenea, putem arăta că 1/4 este cea mai mare limită superioară a | c i | pentru care are loc întotdeauna convergența lui f (1).
Teorema lui Van Vleck
Jones și Thron atribuie lui Edward Burr Van Vleck (în) următorul rezultat, care generalizează teorema Seidel-Stern . Dacă toate a i sunt 1 și dacă toate b i au argumente astfel încât
-π/2+ε<arg(beu)<π/2-ε,{\ displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (b_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon,}
unde ε este un număr pozitiv fix mai mic decât π / 2 (cu alte cuvinte dacă toți b i sunt într-un sector unghiular de deschidere π - 2ε și simetric în jurul axei realilor pozitivi), atunci i -a redus f i de fracția continuată este situată în același sector, adică se satisface
-π/2+ε<arg(feu)<π/2-ε.{\ displaystyle - \ pi / 2 + \ varepsilon <\ arg (f_ {i}) <\ pi / 2- \ varepsilon.}
În acest caz, seriile de reduceri ale indicilor pari și ale reducerilor indicelui impar converg, dar nu neapărat către aceeași limită; limita lor este comună (iar apoi fracția continuă converge) dacă și numai dacă seria de | b n | este divergent.
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Problema convergenței ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner ,1913( citiți online ) , "Divergenz Kriterien von Broman und Stern".
-
(în) William B. Jones și WJ Thron , Continued Fractions: Analytic Theory and Applications , Addison-Wesley , al. "Enciclopedia matematicii și a aplicațiilor sale" ( n o 11),1980( ISBN 978-0-201-13510-7 ) , p. 79.
-
(De) A. Pringsheim , Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre , vol. Eu,1921, cap. 3, p. 846 și 966.
-
A se vedea, de asemenea (în) Hubert Stanley Wall (în) , Teoria analitică a fracțiilor continue , AMS ,2000( 1 st ed. 1948), 433 p. ( ISBN 978-0-8218-2106-0 ) , p. 27-28 și 424, pe legătura cu opera lui Helge von Koch , „ Despre o teoremă a lui Stieltjes și despre fracțiile continuate ”, Bull. SMF , vol. 23,1895, p. 33-40.
-
(în) Lisa Lorentzen și Haakon Waadeland , Fracții continuate: teoria convergenței , Atlantic Press,2008( citiți online ) , p. 94.
-
Pringsheim 1921 , p. 846.
-
Zidul 2000 , p. 29.
-
Perron 1913 , cap. VII, § 50, „ Konvergenz bei positiven Elementen ”.
-
Lorentzen și Waadeland 2008 , p. 98.
-
Pringsheim 1921 , p. 764 și 962.
-
În Jones și Thron 1980 , p. 87, teorema Seidel-Stern este prezentată într-o formă oarecum întărită, incluzând afirmații despre modul în care converge secvența reducerilor.
-
Perron 1913 , cap. VII, § 48, „ Bedingte und unbedingte Konvergenz ”.
-
(de) A. Pringsheim , „ Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche ” , S'ber. math.-phys. München , vol. 28,1898, p. 295-324 ( citește online ).
-
Perron 1913 , cap. VII, § 55, „ Periodische Kettenbrüche ”.
-
(de) Otto Stolz , Vorlesungen über allgemeine Arithmetik , vol. 2,1886( citește online ) , cap. VIII, § 14 („Periodische Kettenbrüche”) , p. 299-304.
-
(De) A. Pringsheim , „ Ueber die Convergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. math.-phys. München , vol. 30,1900, p. 463-488 ( citiți online ).
-
(de) O. Perron , „ Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche ” , S'ber. math.-phys. München , vol. 35,1905, p. 495-503 ( citiți online ).
-
În acest caz, x este egal cu ( √ b 2 + 4 - b ) / 2: pentru b = 2, găsim astfel fracția continuată a √ 2 - 1 și pentru b = 1, cea a inversului numărului aur .
-
Lorentzen și Waadeland 2008 , p. 32.
-
Mai precis ( Perron 1913 , cap. VII, § 53, „ Die Konvergenzkriterien von Pringsheim ”): | B n | - | B n –1 | ≥ | a 1 ... a n | .
-
A se vedea de exemplu Jones și Thron 1980 , p. 92, Teorema 4.35.
-
Lorentzen și Waadeland 2008 , p. 131.
-
(de) J. Worpitzky , " Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche: Erste Folge " , Friedrichs-Gymnasium und Realschule (de) Jahresbericht , Berlin,1865, p. 3-39 ( citiți online ).
-
(în) EB Van Vleck , „Subiecte selectate în teoria seriilor divergente și a fracțiunilor continue ale” din Colocviul din Boston ,1905( citiți online ) , p. 75-187(nota p. 147 ).
-
(în) J. Findlay Paydon și HS Wall, „Fracția continuată ca o succesiune de transformări liniare”, Duke Mathematical Journal , Vol. 9, nr.2, 1942, p. 360-372 .
-
Jones și Thron 1980 , p. 88, Teorema 4.29.
Bibliografie suplimentară
- (în) George E. Andrews și Bruce C. Berndt , Caietul pierdut al lui Ramanujan , vol. Eu, Springer ,2005( citește online )
- (ro) Annie Cuyt și Luc Wuytack , Metode neliniare în analize numerice , Elsevier ,1987( citește online ) , cap. I, § 4 („Convergența fracțiilor continue”)
- (ro) David F. Dawson , „ O teoremă asupra fracțiilor continue și a inegalităților fundamentale ” , Proc. Amar. Matematica. Soc. , vol. 13,1962, p. 698-701 ( citește online )
- (en) Amparo Gil , Javier Segura și Nico M. Temme , Metode numerice pentru funcții speciale , SIAM ,2007( citiți online ) , „§ 6.5: Convergența fracțiilor continue”
- (ro) WT Scott și HS Wall , „ O teoremă de convergență pentru fracții continuate ” , Trans. Amar. Matematica. Soc. , vol. 47,1940, p. 155-172 ( citește online )
- (ro) Haakon Waadeland , „Unele rezultate recente în teoria analitică a fracțiilor continue” , în Metode numerice neliniare și Aproximare rațională ,1988( citiți online ) , p. 299-333
- (ro) Haakon Waadeland , „Câteva observații probabiliste asupra versiunii limită a teoremei lui Worpitzky” , în funcțiile ortogonale, teoria momentului și fracțiile continuate , Marcel Dekker,1998( citiți online ) , p. 409-416
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">