O irațională pătratică este o soluție de număr irațional a unei ecuații pătratice cu coeficienți raționali , cu alte cuvinte, un număr real algebric de grad 2 . Prin urmare, generează un câmp pătratic real ℚ ( √ d ), unde d este un număr întreg pozitiv fără factor pătrat .
Iraționalele pătratice se caracterizează prin periodicitatea pornind de la un anumit rang al dezvoltării lor în fracție continuă ( teorema Lagrange ).
Cele mai simple exemple de irrationals pătratice sunt rădăcinile pătrate de non- pătrate întregi naturale (cele mai cunoscute fiind √ 2 ). Demonstrăm de fapt că, dacă un număr întreg nu este pătratul unui număr întreg, atunci nici măcar nu este pătratul unui rațional sau chiar - prin contrapunere - că dacă un număr întreg d este pătrat al unui rațional, atunci √ d este un număr întreg. Poate fi dedus din Propoziția 8 din Cartea VIII a Elementelor lui Euclid . Dovezile obișnuite fac apel la lema lui Gauss sau chiar la teorema fundamentală a aritmeticii, dar altele sunt mai înțelepte, precum cea a lui Richard Dedekind sau următoarele, datorate în principal lui Theodor Estermann :
Fie d un întreg natural a cărui rădăcină pătrată este rațională, pe care o scriem în forma p / q cu q cât mai mic posibil (adică q este cel mai mic număr întreg> 0 al cărui produs de √ d este întreg) și fie n partea întreagă a lui √ d . Apoi, întregul r : = p - nq satisface: 0 ≤ r < q și r √ d este întreg. Prin minimalitatea lui q , r = 0 deci √ d = n .
Mai general, orice întreg algebric non-întreg este irațional.