Echivalența logică
În logica clasică , două propoziții P și Q sunt numite în mod logic echivalente sau pur și simplu echivalent , atunci când este posibil să se deduce Q din P si deducem P din Q . În calcularea propozițiilor , aceasta înseamnă a spune că P și Q au aceeași valoare de adevăr : P și Q sunt fie adevărate, fie ambele false. Echivalența logică este adesea exprimată sub forma dacă și numai dacă , în cadre precum predarea sau metamatematica de a vorbi despre proprietățile logicii în sine și nu despre conectorul logic care leagă două propoziții.
Relația de echivalență logică dintre propoziții este strâns legată de conectorul de echivalență, notat adesea ⇔ sau ↔, care poate fi definit (foarte general, atât în logica clasică, cât și de exemplu în logica intuiționistă ) ca conjuncție a implicației P ⇒ Q („ Q dacă P ”) și reciprocul său Q ⇒ P ( Q numai dacă P ), adică (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
Afirmația că P ⇔ Q echivalează cu a spune că P și Q sunt echivalente. Afirmat altfel (în logica clasică), propoziția P ⇔ Q ia valoarea „adevărat” atunci când P și Q sunt logic echivalente și numai în acest caz. În logică, relația de echivalență este uneori notată ≡ (notația ⇔ sau ↔ fiind rezervată pentru conector).
În electronică, o funcție similară se numește inclusiv ȘI ; acesta din urmă este simbolizat prin semnul „⊙”.
Echivalența în limbajul matematicii
În textele matematice, exprimăm că două propoziții P și Q sunt echivalente cu:
- P dacă și numai dacă Q (uneori prescurtat ca P if Q );
- Pentru P , este necesar și suficient ca Q ;
- O condiție necesară și suficientă (SNC) pentru P este Q ;
- P este o condiție necesară și suficientă pentru Q ;
- P este egal cu Q .
Calcul propozițional
În logica clasică, care are doar două valori de adevăr, tabelul de adevăr al conectorului de echivalență este:
| P | Î | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| Adevărat | Adevărat | Adevărat |
| Adevărat | Fals | Fals |
| Fals | Adevărat | Fals |
| Fals | Fals | Adevărat |
Propoziția P ⇔ Q este echivalentă cu:
- ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P implică Q ) și ( Q implică P ));
- ( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P implică Q ) și contrapusul lui ( Q implică P ));
- ¬ P ⇔ ¬ Q (echivalență contrapusă);
- ( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P și Q ) sau (nu P și nu Q )).
Proprietăți
Relația de echivalență logică, menționată ≡ mai jos, este o relație de echivalență , și anume:
- P ≡ P (relația de echivalență este reflexivă );
- Dacă P ≡ Q , atunci Q ≡ P (relația de echivalență este simetrică );
- Dacă P ≡ Q și Q ≡ R , atunci P ≡ R (relația de echivalență este tranzitivă ).
Această relație de echivalență este compatibilă cu conectorii logici. În plus, în logica clasică:
- ¬¬P ≡ P.
- Pentru toate realele x non zero și y , avem
- Echivalența ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (prin creșterea pătratului) nu este adevărată pentru toate x și y reale : de exemplu 2 2 = (–2) 2 nu implică 2 = –2.
- Pentru toate pozitivele x reale și y , următoarea echivalență este adevărată (ridicând pătrat)Prin pătrat, pierdem informația care este mai mare decât o rădăcină pătrată și trebuie să fie pozitivă și pentru a avea echivalență, trebuie să adăugăm proprietatea .
Pentru a demonstra echivalența P ⇔ Q , putem demonstra implicația P ⇒ Q și inversa ei Q ⇒ P .
Echivalența între mai multe propoziții
Sunt trei propuneri P , Q și R .
Pentru a demonstra cele 3 echivalențe P ⇔ Q , Q ⇔ R și P ⇔ R , este suficient să se demonstreze 2 dintre ele, sau altfel este suficient să se demonstreze cele 3 implicații:
P ⇒ Q , Q ⇒ R și R ⇒ P .Demonstrație:
Să se stabilească implicațiile P ⇒ Q , Q ⇒ R și R ⇒ P.
De la Q ⇒ R și R ⇒ P deducem Q ⇒ P .
De la R ⇒ P și P ⇒ Q deducem R ⇒ Q .
Din P ⇒ Q și Q ⇒ R deducem P ⇒ R.
Putem generaliza la n propoziții P 1 , P 2 , ..., P n : pentru a demonstra că aceste propoziții sunt echivalente este suficient să dovedim implicațiile
P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 ... P n-1 ⇒ P n și P n ⇒ P 1 .Exemple de formulări comune
Luați în considerare două propoziții și .
- Spunem că este o condiție necesară pentru dacă avem și poate fi tradus prin „astfel încât , este necesar ca ”.
- Spunem că este o condiție suficientă pentru dacă avem și poate fi tradus prin „astfel încât , este suficient că ”.
- Spunem că este o condiție necesară și suficientă pentru dacă avem și dacă avem și poate fi tradus prin „astfel încât , este necesar și suficient ca ”. Acest lucru înseamnă a spune că este echivalent și este notat . Astfel, prin comutativitatea echivalenței putem spune, de asemenea, că este o condiție necesară și suficientă pentru .
