Ecuația Riccati

În matematică , o ecuație Riccati este o ecuație diferențială obișnuită a formei

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}

unde , și sunt trei funcții, deseori alese continue pe un interval comun cu valori reale sau complexe. ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$

Poartă acest nume în cinstea lui Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) și a fiului său Vincenzo Riccati (1707-1775).

În general, nu există o rezoluție prin cuadratură pentru o astfel de ecuație, dar există o metodă de rezoluție de îndată ce se cunoaște o anumită soluție.

Aspect istoric

În 1720, Francesco Riccati îi prezintă prietenului său, Giovanni Rizzetti, două ecuații diferențiale pe care încearcă să le rezolve:

${\ displaystyle (1) \ quad y '= ay ^ {2} + bx + cx ^ {2} \,}$ unde a , b și c sunt constante reale;
${\ displaystyle (2) \ quad y '= ay ^ {2} + bx ^ {m} \,}$ unde a , b și m sunt constante reale.

Prima ecuație provine din studiul unei mișcări plane care verifică următoarea ecuație diferențială liniară:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} x \ \ y \\\ end {pmatrix}}}

unde x și y sunt coordonatele unui punct în mișcare M.

Privind panta z a liniei ( OM ), el demonstrează că z trebuie să verifice o ecuație de tip (1), de unde și dorința sa de a studia soluțiile sale generale.

A doua ecuație a fost doar parțial rezolvată de autor și de Bernoulli ( Nicolas 1 st și Daniel în special). Fiul său, Vicenzo Riccati, a dezvoltat o metodă de rezoluție prin tractoare . Goldbach s-a descurcat și el. Apoi, în 1841 , Liouville a dovedit că, în afară de caz

{\ displaystyle m = {\ frac {(-4h)} {(2h \ pm 1)}}}

unde h este un număr natural,

ecuația nu poate fi rezolvată prin cvadraturi .

Ecuațiile lui Riccati sunt apoi generalizate la orice ecuație a formei

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2}}

Pentru anumite condiții , , ecuația este rezolvabil de cuadratura. Datorită teorema Cauchy-Lipschitz , demonstrăm că, în cazul în care , și sunt funcții continue, atunci există soluții pentru ecuația Riccati. În cele din urmă arătăm că, dacă cunoaștem o anumită soluție, o ecuație Riccati poate fi redusă prin schimbarea variabilei la o ecuație Bernoulli . ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$ ${\ displaystyle q_ {0} \,}$ $q_1 \,$ $q_2 \,$

Ecuația diferențială ordinară de ordinul 2 echivalent

Ecuația diferențială neliniară a lui Riccati poate fi întotdeauna reformulată într-o ecuație diferențială liniară ordinară (ODE). da

{\ displaystyle y '= q_ {0} (x) + q_ {1} (x) y + q_ {2} (x) y ^ {2} \!}

cu non-zero și diferențiat, apoi satisface ecuația Riccati a formei $q_ {2}$ ${\ displaystyle v = yq_ {2}}$

{\ displaystyle v '= v ^ {2} + R (x) v + S (x), \!}

unde și . Într-adevăr, ${\ displaystyle S = q_ {2} q_ {0}}$ ${\ displaystyle R = q_ {1} + {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}}}$

{\ displaystyle v '= (yq_ {2})' = y'q_ {2} + yq_ {2} '= (q_ {0} + q_ {1} y + q_ {2} y ^ {2}) q_ {2} + v {\ frac {q_ {2} '} {q_ {2}}} = q_ {0} q_ {2} + \ left (q_ {1} + {\ frac {q_ {2}'} {q_ {2}}} \ right) v + v ^ {2}. \!}

Prin substituire , rezultă că ODE liniar de ordinul 2 satisface ${\ displaystyle v = -u '/ u}$ $tu$

{\ displaystyle u '' - R (x) u '+ S (x) u = 0 \!}

de cand

{\ displaystyle v '= - (u' / u) '= - (u' '/ u) + (u' / u) ^ {2} = - (u '' / u) + v ^ {2} \ !}

astfel încât

{\ displaystyle u '' / u = v ^ {2} -v '= - S-Rv = -S + Ru' / u \!}

Așadar

{\ displaystyle u '' - Ru '+ Su = 0. \!}

O soluție a acestei ecuații duce la o soluție a ecuației inițiale Riccati. ${\ displaystyle y = -u '/ (q_ {2} u)}$

Rezoluție cunoscând o anumită soluție

Dacă este posibil să se găsească o soluție , atunci soluția generală este de formă ${\ displaystyle \, y_ {1}}$

{\ displaystyle y = y_ {1} + u \,}

Înlocuind

{\ displaystyle y \,}

prin

{\ displaystyle y_ {1} + u \,}

în ecuația Riccati, obținem:

{\ displaystyle y_ {1} '+ u' = q_ {0} + q_ {1} (y_ {1} + u) + q_ {2} (y_ {1} + u) ^ {2} \ ,,}

și așa

{\ displaystyle y_ {1} '= q_ {0} + q_ {1} y_ {1} + q_ {2} y_ {1} ^ {2} \ ,,}

avem :

{\ displaystyle u '= q_ {1} u + 2q_ {2} y_ {1} u + q_ {2} u ^ {2} \,.}

Aur

{\ displaystyle u '- (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) u = q_ {2} u ^ {2} \,}

este o ecuație Bernoulli . Înlocuirea necesară pentru a rezolva această ecuație Bernoulli este atunci:

{\ displaystyle z = u ^ {1-2} = {\ frac {1} {u}}}

Conduce la ecuația liniară :

{\ displaystyle z '+ (q_ {1} + 2q_ {2} y_ {1}) z = -q_ {2} \,}

Soluția generală a ecuației Riccati este dată de:

{\ displaystyle y = y_ {1} + {\ frac {1} {z}}}

unde z este soluția generală a ecuației liniare citate mai sus.

Domenii de utilizare

Întâlnim ecuațiile Riccati în fizica cuantică în problemele legate de ecuația Schrödinger , în ecuația undelor, în filtrarea optimă ( filtrul Kalman ), în controlul pătratic liniar optim , în controlul LQG sau chiar în ecuația propagării căldurii în regim sinusoidal . În aceste cazuri, funcția este complexă. $q_ {1}$

Ele sunt întâlnite și în matematica financiară , în special în contextul modelului Heston și în problemele legate de modelarea ratelor dobânzii (de exemplu modelul Cox-Ingersoll-Ross ).

Referințe

Edward Lindsay Ince (en) , Ecuații diferențiale ordinare , 1920, pp 24-25
(în) P. Boyle, W. Tian Guan și Fred, „ The Riccati Equation in Mathematical Finance ” , J. Symbolic Computation , vol. 33,2002, p. 343-355 ( DOI 10.1006 / jsco.2001.0508 , citiți online ).

Serge Mehl, „ ecuația Riccati ” , pe ChronoMath
(ro) S. Bittanti, „ Istoria și preistoria ecuației Riccati ” ,1997( DOI 10.1109 / CDC.1996.572758 )
René Lagrange, „ Unele teoreme ale integrabilității prin cvadraturi ale ecuației Riccati ”, Bull. SMF , vol. 66,1938, p. 155-163 ( citește online )
Rezolvare de către tractoare , pe abraCAdaBRI
Supliment la Enciclopedia sau Dicționarul motivat de științe, arte și meserii , p. 648, pe Gallica

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în engleză intitulat „ Riccati ecuație ” (a se vedea lista autorilor ) .