Spațiu interzis

În analiza funcțională și în câmpuri apropiate de matematică , spațiile barilate sunt spații vectoriale topologice în care orice set blocat - sau baril - al spațiului este un vecinătate al vectorului zero . Principalul motiv al importanței lor este că acestea sunt exact cele pentru care se aplică teorema Banach-Steinhaus .

Istorie

Nicolas Bourbaki a inventat termeni precum spațiul „tonneau” sau „tonnelé” (din butoaie de vin), precum și spațiile „ bornologice ”.

Definiții

Într - un spațiu vectorial topologic $E$ pe un non- discret evaluate câmp K , care este un ℝ algebră (de exemplu , pe ℝ sau ℂ ), una apeluri butoiaș orice convex , echilibrat , închis și absorbind parte $T$ :

convex: ${\ displaystyle \ forall u, v \ in T, \ forall t \ in [0,1], tu + (1-t) v \ in T}$
echilibrat: ${\ displaystyle \ forall u \ in T, \ forall \ lambda \ in K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda u \ in T}$
închis: pentru topologia lui $E$
absorbant: ${\ displaystyle \ forall x \ in E, \ exists \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ in K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ în T.}$

Spațiul $E$ este declarat a fi butoi laminate dacă oricare butoi de $E$ este un cartier de $0$ .

Luând în considerare proprietățile unui butoi într-un spațiu convex local, următoarele condiții sunt echivalente pentru un spațiu convex local convex E (al cărui dual este notat ): ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) E este țeavă;(b) orice parte slab delimitată este echicontinuă;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

(c) orice semi-normă semi-continuă de mai jos în E este continuă(d) pentru orice spațiu F convex local , orice parte pur și simplu delimitată este echicontinuă.

{\ mathcal L} (E; F)

(Aceste echivalențe sunt o consecință a teoremei bipolare , deci a teoremei Hahn-Banach .)

Exemple și proprietăți

Un spațiu convex local E este împiedicat dacă și numai dacă topologia sa inițială coincide cu topologia puternică . ${\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}$
Cele Spațiile Fréchet , în special spațiile Banach , sunt barreled, dar în general spațiile vectoriale normalizate sunt nu barreled.
Cele Spațiile Montel sunt barreled prin definiție.
spațiile vectoriale topologice care sunt spații de Baire sunt împodobite.
Un spațiu Mackey (în) separat , plin este blocat .
Un spațiu limită inductiv al unei familii de spații barilate este barilat. În consecință, este interzis un spațiu ultrabornologic și, în special , un spațiu bornologic și semi-complet (dar există spații interzise care nu sunt bornologice).
Un spațiu coeficient al unui spațiu interzis este împărțit (pe de altă parte, un sub spațiu închis al unui spațiu interzis nu este neapărat interzis).
O condiție necesară și suficientă pentru ca un spațiu sumă directă a spațiilor convexe local să fie împiedicat este că fiecare dintre ele este. ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$
Un produs din spații împărțite este împachetat.
Complementul unui spațiu separat (sau chiar infratonat: vezi mai jos ) este un spațiu blocat.
Fie un set deschis de ℝ n sau mai general un colector diferențial de dimensiune finită paracompactă . Spații notate clasic (spațiul funcțiilor diferențiate la infinit în ), dualul său puternic (spațiul distribuțiilor cu suport compact în ), (spațiul funcțiilor diferențiate la nesfârșit cu suport compact în : a se vedea articolul Distribuție ) și dualul său puternic (spațiul distribuțiilor în ) sunt spații împărțite (sunt chiar spații Montel). La fel, spațiul Schwartz cu funcții în declin și dualul său puternic, și anume spațiul distribuțiilor temperate de pe , sunt spații cu bară. $\Omega$ ${\ mathcal {E}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {E}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ mathcal {D}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${{\ mathcal {D}}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
Fie un set deschis de ℝ n sau mai general o analiză reală a dimensiunii finite paracompacte , iar K un subset compact de . Spațiul de semințe de funcții analitice într - un cartier complex de K și puternic dual , izomorf la spațiul de hyperfunctions cu suport inclus în K , inclusiv spații țeavă. $\Omega$ $\Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}$

Spațiu semi-butoi, spațiu neatasat și spațiu distinct

Definiții

Fie E un spațiu vector topologic. O parte echilibrată A de E se spune bornivore dacă absoarbe orice subset mărginit de E .

Un spațiu local convex E se spune infrabarrelled (uneori , de asemenea , numit cvasi - barreled ) în cazul în care oricare din butoi E este bornivore este un cartier de $0$ în E .

Un spațiu local convex E este declarat a fi semi-barreled dacă următoarea condiție este îndeplinită: lăsați U să fie o parte a bornivorous E care este intersecția unei serii de convex, echilibrat și cartiere închise de $0$ ; atunci U este un cartier de $0$ în E .

Se spune că un spațiu convex local E se distinge dacă dualul său puternic este împărțit.

Proprietăți

Tot spațiul interzis este neatasat și tot spațiul neatasat este semi-interzis. Un spațiu bornologic (în special, un spațiu convex metrizabil la nivel local) este infratonel. Un coeficient al unui spațiu infratonnel de către un sub-spațiu este infratonnel. Se arată cu ușurință că spațiile infratonale sunt spații Mackey . Acesta nu este, în general, cazul spațiilor semicombinate, care se bucură de relativ puține proprietăți atunci când nu sunt spații (DF) .

Un spațiu semi-complet neatasat este împărțit.

F puternic dual al unui spațiu E metisabil convex local E este semicombinat (și complet, este chiar un spațiu (DF) ) și este blocat dacă E este complet și reflexiv (în acest caz, F este, de asemenea, bornologic ).

Se disting un spațiu semi-reflexiv , precum și un spațiu convex metisabil și cvasi-normabil local (în special un spațiu vector normalizat ) (dar există spații distincte care nu sunt semi-reflexive). Dacă E este măsurabil, următoarele condiții sunt echivalente: (a) E se distinge, (b) F nu este atașat; (c) F este bornologic; (d) F este împiedicat; (e) F este ultrabornologic . Un spațiu E , limita inductivă strictă a unei serii de spații metrizabile distinse, este un spațiu convex local distins, iar dualul său puternic este bornologic și înfundat. Există spații Mackey distincte care nu sunt infratonale. Există spații Fréchet care nu se disting, prin urmare dualul puternic al unui spațiu cu baril nu este neapărat cu baril.

Vezi și tu

Note și referințe

Note

Bourbaki 1950
Bourbaki 2006 , p. IV.52, exerc. 1 a); Jarchow 1981 , p. 222.
Bourlès 2013

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „ Barreled space ” ( vezi lista autorilor ) .
Nicolas Bourbaki , " Pe unele spații vectoriale topologice ," Analele Institut Fourier , , vol. 2,1950, p. 5-16 ( citiți online )
N. Bourbaki , Spații vectoriale topologice: capitolele 1-5 , Springer,2006, 368 p. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(ro) Henri Bourlès , „ Pe spații semi- butoiate ” , arxiv.org , nr . 1304.0360v5,2013( citește online )
Jean Dieudonné și Laurent Schwartz , „ Dualitatea în spații (F) și (LF) ”, Annales de Institut Fourier , vol. 1,1949, p. 60-101 ( citiți online )
(ro) Alexandre Grothendieck , „ Pe spații (F) și (DF) ” , Summa Brasiliensis Mathematicae , vol. 3, n o 6,1954, p. 57-123
(ro) Hans Jarchow , Locally Convex Spaces , Stuttgart, Teubner,nouăsprezece optzeci și unu, 548 p. ( ISBN 3-519-02224-9 )
(ro) Gottfried Köthe , Spații vectoriale topologice I , Springer Verlag,1969( citește online )
(ro) François Treves , Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Dover Publications Inc.,2007, 565 p. ( ISBN 978-0-486-45352-1 și 0-486-45352-9 , citiți online )