Spațiul Fréchet

Un spațiu Fréchet este o structură matematică a unui spațiu vector topologic care satisface anumite teoreme referitoare la spațiile Banach chiar și în absența unei norme . Acest nume se referă la Maurice Fréchet , un matematician francez care a participat în mod special la fondarea topologiei și a aplicațiilor sale în analiza funcțională . În acest ultim domeniu structura spațiilor Fréchet este deosebit de utilă, în special prin furnizarea unei topologii naturale spațiilor cu funcții infinit diferențiate și spațiilor de distribuții .

Definiție

Un spațiu vector topologic real se numește spațiu Fréchet dacă este în același timp:

local convex ;
metrizabil ;
și complet în sensul de spații uniforme ,

sau mai simplu: dacă este local convex și metrizabil cu o distanță completă și invariant prin traducere.

Pentru un spațiu Fréchet diferit de zero, există mai multe distanțe invariante prin traducere inducând topologia și toate sunt complete, deoarece induc aceeași structură uniformă.

În analiza funcțională, următoarea definiție echivalentă este utilizată direct:

Un spațiu Fréchet este un spațiu vectorial topologic complet real (în sens uniform) a cărui topologie este indusă de o familie de semi-norme numărabilă și separatoare .

La fel, nu există o alegere canonică a unei astfel de familii de semi-norme. De asemenea, nu există o bijecție naturală între distanțele compatibile și invariante și aceste familii de semi-norme.

Exemple

Orice spațiu Banach este un spațiu Fréchet, dar inversul este fals, adică unele spații Fréchet, cum ar fi C ∞ ([0, 1]) sau C (ℝ), nu sunt normabile .

Spațiul C ∞ ([0, 1]) al funcțiilor infinit diferențiate pe intervalul [0, 1] este prevăzut cu semi-norme pentru orice număr întreg k ≥ 0: ${\ displaystyle p_ {k} (f) = \ sup _ {x \ in [0,1]} \ left | f ^ {(k)} (x) \ right |}$ unde f (0) = f și pentru toate k > 0, f ( k ) denotă derivata k- a lui f . În acest spațiu, o secvență ( f n ) de funcții converge la funcția f ∈ C ∞ ([0, 1]) dacă și numai dacă pentru toate k ≥ 0, secvența ( f n ( k ) ) converge uniform în f ( k ) .
Spațiul Fréchet C ( X ) al funcțiilor continue pe un spațiu topologic X σ-compact este prevăzut cu semi-normele definite de normele sup pe o serie de compacte K n care acoperă X (pentru X = ℝ, putem lua K n = [- n , n ]). Topologia obținută este identificată cu topologia compact-deschisă . De exemplu pentru spațiul C ( ℕ ) al secvențelor (reale sau complexe), putem lua singletonii ca compacte . Semi-normele corespunzătoare asociază cu fiecare secvență modulul unui termen index fix al secvenței. Convergența unei serii de secvențe se ridică, așadar, la convergență de la un termen la altul.

Combinând aceste două idei, definim o structură Fréchet pe spațiul funcțiilor de clasă C m ( m ≤ $\infty$ ) pe un Ω deschis de ℝ p și cu valori într-un spațiu Banach , folosind semi-standardele ${\ displaystyle p_ {k, n} (f): = \ sup _ {| \ alpha | = k} \ sup _ {x \ în K_ {n}} \ | \ partial ^ {\ alpha} f (x) \ | \ quad (n, k \ in \ mathbb {N} {\ text {și}} k \ leq m)}$ unde α denotă multi-indici și succesiunea compactelor K n acoperă Ω.

Definim același, mai general, spațiul Fréchet al funcțiilor din clasa C m o varietate σ- clasă compactă C m .

Proprietăți

Ipoteza exhaustivității face posibilă aplicarea teoremei lui Baire și a consecințelor sale în spațiile Fréchet , printre altele:
- teorema lui Banach-Steinhaus : orice familie pur și simplu , delimitat de hărți liniare ale unui spațiu Fréchet într - un spațiu vectorial topologic este equicontinuous;
- harta deschisă teorema : orice hartă liniară continuă surjectivă între două spații Fréchet este deschisă ;
- corolarul său: orice hartă bijectivă liniară continuă între două spații Fréchet este un homeomorfism ;
- grafic închis teorema : orice aplicație liniară a unui grafic închis între două spații Fréchet este continuă.

Convexitatea locală oferă, de asemenea, următoarele proprietăți:
- punctele unui spațiu Fréchet sunt separate de dualul său topologic (cf. teorema Hahn-Banach ).
- orice convex compact al unui spațiu Fréchet este aderența învelișului convex al punctelor sale extreme (cf. teorema Kerin-Milman ).

Teorema de inversare locală nu se aplică în general spații Fréchet, dar o versiune mai slabă a fost găsit sub numele lui Nash-Moser teorema .
Orice coeficient al unui spațiu Fréchet de către un subspațiu vector închis este complet (deci este un spațiu Fréchet). Ipoteza metrizabilității este crucială aici.

Derivat din Gateaux

Spațiul hărților liniare continue între două spații Fréchet care nu constituie a priori un spațiu Fréchet, construcția unui diferențial pentru funcții continue între două spații Fréchet trece prin definiția derivatei Gateaux .

Φ este o funcție definită pe un deschis U un spațiu Frechet X , cu valori într - un spațiu Frechet Y . Derivat de Gateaux Φ la un punct x de U și într - o direcție h de X este limita în Y (când există)

${\ displaystyle \ Phi '(x; h) = \ lim _ {t \ to 0 \ atop t \ neq 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} \ Phi (x + th ) - \ Phi (x) {\ Big)},}$

unde variabila t este luată reală.

Se spune că funcția Φ poate fi diferențiată de Gateaux în x dacă există o hartă liniară continuă Φ ' G ( x ) de la X la Y astfel încât pentru orice h al lui X , (Φ' G ( x )) ( h ) = Φ „( x; h ).

Diferențialul de aplicare Φ poate fi privit ca o funcție definită pe o porțiune a spațiului Frechet X × X cu valori în Y . Poate fi diferențiat la rândul său.

De exemplu, operatorul liniar derivat D : C ∞ ([0,1]) → C ∞ ([0,1]) definit de D ( f ) = f ' este infinit diferențiat. Primul său diferențial este , de exemplu , definit pentru fiecare pereche ( f , h ) functiilor infinit derivabile de D ' ( f ) ( h ) = h' , adică, D ' ( f ) = D .

Cu toate acestea, teorema lui Cauchy-Lipschitz nu se extinde la rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite pe spațiile Fréchet în toată generalitatea.

Note și referințe

(în) Jean Dieudonné , Tratat de analiză , vol. 2, p. 66 .
(en) SM Khaleelulla, contraexemple în spații vectoriale topologice , NML 936, p. 108, oferă un exemplu (menționat pe MathOverflow ) al unui spațiu complet convex local al cărui coeficient de un anumit subspatiu închis nu este nici măcar complet secvențial.

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

N. Bourbaki , Elemente de matematică , EVT , ediții Masson , 1981
(ro) François Treves , Spații vectoriale topologice, distribuții și miezuri , publicații Dover ,2013( 1 st ed. , 1967, Academic Press ), 592 p. ( ISBN 978-0-486-31810-3 , citit online )