Partea delimitată a unui spațiu vector topologic

În analiza funcțională și în câmpurile matematice conexe, se spune că o parte a unui spațiu vector topologic este mărginită (în sensul lui von Neumann) dacă orice vecinătate a vectorului zero poate fi dilatată astfel încât să conțină această parte. Acest concept a fost introdus de John von Neumann și Andrei Kolmogorov în 1935.

Părțile delimitate sunt un mod natural de a defini topologii polare (en) ( convexe local ) pe cele două spații vectoriale ale unei perechi duale .

Definiție

O parte B a unui spațiu vector topologic E se spune că este mărginită dacă pentru orice vecinătate V a vectorului zero, există un α scalar astfel încât B este inclus în mulțime, notat α V , al vectorilor de forma α x cu x în V .

Exemple și contra-exemple

Orice parte finită este mărginită.
Termenii unei secvențe Cauchy formează o parte delimitată, dar nu și cei ai unei secvențe Cauchy generalizate .
Orice parte relativ compactă a unui evt este delimitată. Dacă spațiul are o topologie polară slabă, inversul este adevărat.
Un subspațiu care nu desenează o evt separată nu este niciodată limitat.

Proprietăți

Dacă câmpul topologic de bază este evaluat și nu discret (de obicei: dacă este câmpul numerelor reale ), o parte B din E este mărginită dacă și numai dacă:

pentru orice secvență (λ n ) a scalarilor care tinde spre 0 și orice secvență ( x n ) a elementelor lui B, secvența (λ n x n ) tinde spre vectorul zero.

Dacă e.vt E este local convex, adică dacă topologia sa este definită de o familie ( p i ) i ∈ I de semi-norme , o parte B din E este mărginită în sensul de mai sus dacă și numai dacă este mărginită pentru fiecare p i , adică dacă pentru orice index i , există un M i real astfel încât ${\ displaystyle \ forall x \ în B, \ quad p_ {i} (x) \ leq M_ {i}}$ .În special dacă E este un spațiu vector normat , B este delimitat în sensul de mai sus dacă și numai dacă este delimitat pentru normă.
Orice parte precompactă a unui EVT separat este delimitată.
Aderența unei părți mărginit este mărginită.
Într-un spațiu convex local, învelișul convex al unei părți delimitate este delimitat. (Fără ipoteza convexității locale, acest lucru este fals: de exemplu, spațiile L p pentru 0 < p <1 nu au deschideri convexe non-banale.)
Toate reuniunile omotetice , traduse , finite și sumele finite ale părților delimitate sunt delimitate.
Dacă un operator liniar este continuu, atunci este delimitat , adică trimite orice parte delimitată peste o parte delimitată. Conversația este adevărată dacă spațiul de pornire este pseudo-metrizabil .
Un spațiu convex local este semi-normabil dacă și numai dacă este delimitat local, adică dacă are o vecinătate delimitată de 0.
Setul polar al unei părți delimitate este absolut convex (en) și absorbant .

Spațiul bornologic

A nu se confunda cu un spațiu vector bornologic .

Definiție

Un spațiu local convex E pe câmpul realelor sau complexelor se spune că este bornologic dacă există o parte convexă echilibrată M a lui E care absoarbe părțile delimitate B ale lui E (adică, care este astfel încât există α> 0 astfel încât λ M ⊃ B pentru | λ | ≥ α) este o vecinătate a lui 0 în e .

O definiție echivalentă este după cum urmează:

Să fie un spațiu local convex ( în cazul în care reprezintă topologia local convex acestui spațiu) și ia în considerare cele mai bune la nivel local convex topologie care are aceeași delimitată în E drept . Atunci este bornologic dacă (și numai dacă) . ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$ ${\ mathfrak T}$ ${\ displaystyle E [{\ mathfrak {T}}]}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} = {\ mathfrak {T}} ^ {\ prime}}$

Proprietăți

O limită inductivă a spațiilor bornologice este un spațiu bornologic.
Un spațiu coeficient al unui spațiu bornologic este bornologic (pe de altă parte, un sub spațiu închis al unui spațiu bornologic nu este neapărat bornologic).
Un spațiu vector semi-normat este bornologic.
Un spațiu metisabil local convex este bornologic.
Un spațiu bornologic semi-complet este o limită inductivă a spațiilor Banach (deoarece este ultrabornologic: vezi mai jos ). În special, un spațiu Fréchet este o limită inductivă a spațiilor Banach.
Un produs numărabil al spațiilor bornologice este bornologic.
Puternic dualul unui reflexiv Fréchet spațiu este bornological (și barreled ).
Dualul puternic al unui spațiu bornologic este complet.
Un spațiu convex local E este bornologic dacă și numai dacă orice operator liniar mărginit al lui E într-un alt spațiu convex local este continuu.
Orice operator liniar continuu secvențial al unui spațiu bornologic într-un alt spațiu convex local este delimitat.

Exemple

Spațiul Schwartz S (ℝ n ) al funcțiilor declinante pe ℝ n este un spațiu Fréchet, prin urmare este bornologic.
Fie Ω o deschidere neocupată a lui or n sau, mai general, o varietate diferențială de dimensiune finită paracompactă , iar ℰ (Ω) spațiul funcțiilor diferențiat la infinit în Ω. Acest spațiu este bornologic, deoarece este un spațiu Fréchet.
Fie Ω ca mai sus și spațiul funcțiilor diferențiate la infinit cu suport compact inclus în Ω, înzestrat cu topologia limită inductivă strictă obișnuită a unei secvențe de spații Fréchet. Acest spațiu este bornologic. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ left (\ Omega \ right)}$
Să K un subset compact ℂ de n și a spațiului de germeni de funcții analitice într - un cartier deschis de K . Acest spațiu este bornologic, deoarece este o limită inductivă a spațiilor Fréchet. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right)}$

Spațiul ultrabornologic

Definiție

Un Hausdorff spațiu local convex E pe domeniul este real sau complex spus ultrabornological orice parte a zonei convex E care absoarbe porțiunile convexe, echilibrat, mărginită și semi-plin de E este un cartier de 0 în E .

Proprietăți

Un spațiu ultrabornologic este bornologic și înfundat.

Un spațiu bornologic și semi-complet este ultrabornologic. În special, un spațiu Fréchet este ultrabornologic.

Pentru ca un spațiu local convex să fie ultrabornologic, este necesar și suficient ca acesta să fie limita inductivă a unei familii de spații Banach. În consecință (prin tranzitivitatea limitelor inductive), limita inductivă separată de o familie de spații ultrabornologice este ultrabornologică.

Generalizare

Dacă M este un modul topologic (în) pe un inel topologic R , o parte B a lui M este mărginită dacă pentru orice vecinătate V a vectorului zero al lui M , există o vecinătate w a scalarului zero al lui R astfel încât wB este inclusă în V .

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Bounded set (spațiu vector topologic) ” ( vezi lista autorilor ) .
N. Bourbaki , Spații vectoriale topologice , Springer ,2006, 364 p. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(ro) AP Robertson și WJ Robertson , spații vectoriale topologice , CUP ,1980, A 2 -a ed. ( citiți online ) , 44–46
(ro) Helmut H. Schaefer (de) și Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer, col. „ GTM ” ( nr . 3)1970( ISBN 0-387-05380-8 , citit online ) , 25-26
Laurent Schwartz , Teoria distribuției , Paris, Hermann ,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )