În matematică , un spațiu Eilenberg-MacLane este un spațiu topologic având un singur grup de homotopie non-trivială. Acest tip de spațiu joacă un rol de componentă elementară în teoria homotopiei , deoarece se bucură de o formă de unicitate și intervine în procesele de reconstrucție a spațiilor mai complexe (este astfel turnurile Postnikov. ).
Spațiile Eilenberg-MacLane sunt importante în multe contexte din topologia algebrică , ceea ce vă permite să calculați grupuri de sfere homotopice și să definiți operații cohomologice (în) . Ele poartă numele lui Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane , care le-au introdus la sfârșitul anilor 1940.
Fie G un grup și n un întreg strict pozitiv. Un spațiu X conectat se numește un spațiu Eilenberg-MacLane de tip K ( G , n ) dacă al n- lea grup de homotopie π n ( X ) este izomorf pentru G și dacă toate celelalte grupuri ale sale de omotopie sunt banale . Dacă n > 1, G trebuie să fie abelian . Ca rezultat, există întotdeauna un complex CW de tip K ( G , n ). Este unic până la o slabă homotopie a echivalenței , motiv pentru care orice spațiu de acest tip este pur și simplu notat cu K ( G , n ).
Alte exemple pot fi deduse din aceasta folosind proprietatea elementară: K ( G , n ) × K ( H , n ) = K ( G × H , n ).
Putem construi un K ( G , n ) o etapă după alta, ca un CW complex, începând cu o grămadă de n- sfere , una pe fiecare generator al grupului G , apoi lipind celulele împreună pas cu pas, în fiecare dimensiune, pentru a ucide excesul de homotopie.
Grupele coomologie ale unui K ( G , 1) coincid cu cele ale G grupului .
Pentru grupul abelian G , K ( G , n ) sunt spații (en) reprezentare pentru coomologie singular coeficienții în G . Într-adevăr, via
elementul u ∈ H n ( K ( G , n ); G ) care corespunde identitatea lui G prevede de functoriality , pentru orice CW-complex X , bijectie naturala f ↦ f * u , a setului [ X , K ( G , n )] continuă cerere de clasă omotopie X în K ( G , n ) este în n - lea grup de coomologie singular H n ( X ; G ) al X .
O altă versiune a acestui rezultat stabilește o bijecție cu al n- lea grup de cohomologie al Čech pentru X paracompact și G numărabil , sau pentru X paracompact și generat compact și G arbitrar. Un rezultat suplimentar stabilește o bijectie cu n th „ numerable “ grup coomologia de Čech pentru arbitrare X și G (abelian).
Fiecare complex CW are un turn Postnikov , adică este slab echivalent homotopic cu limita proiectivă a unei serii de fibrări ale căror fibre sunt spații Eilenberg-MacLane.
O metodă datorată lui Jean-Pierre Serre permite, teoretic, să calculeze grupurile de homotopie ale oricărui spațiu folosind o secvență spectrală pentru astfel de fibrări.
Grupurile de cohomologie ale spațiilor Eilenberg-MacLane pot fi utilizate pentru a clasifica toate operațiile cohomologice.
Spații Moore (în) , analog al spațiilor Eilenberg-MacLane în omologie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">