Grupuri homotopice de sfere

În matematică , în mod specific în topologia algebrică , grupurile de sfere homotopice sunt invarianți care descriu, în termeni algebrici, modul în care dimensiunea sferelor și egale sau diferite pot înfășura una peste alta. Noțiunea, definită la început pentru sferele dimensiunii 1 (cercuri) și a dimensiunii 2, este generalizată la sferele de toate dimensiunile ( sferele ). $nu$ $k$ $nu$

Definiție și primele proprietăți

Grup omotopie Ordinea de sfera dimensiunii , este setul, notat , clase de omotopie aplicații continue care trimit un punct stabilit al sferei pe un punct fix al sferei . $j$ $nu$ ${\ mathbb S} ^ {n}$ $\ pi _ {j} ({\ mathbb S} ^ {n}) = [{\ mathbb {S}} ^ {j} \ to {\ mathbb S} ^ {n}]$ ${\ mathbb {S}} ^ {j}$ ${\ mathbb S} ^ {n}$

Acest set (pentru și fix), notat , poate fi prevăzut cu o structură de grup abeliană . $j$ $nu$ $\ pi _ {j} ({\ mathbb S} ^ {n})$

În cazul în care acest grup este redus la un singur element: . $j <n$ $\ pi _ {j} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ {0 \}$

Dacă acest grup este infinit monogen (adică infinit și generat de un singur element): (acest lucru rezultă din punctul anterior, prin teorema lui Hurewicz ). $j = n$ $\ pi _ {n} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z}$

Dacă , grupul este fie un grup finit, fie suma unui grup finit și a unui grup monogen infinit. $j> n$ $\ pi _ {j} ({\ mathbb S} ^ {n})$

Secvența spectrală a Serre a fost inventat pentru a calcula grupurile omotopie de sfere, dar nici o listă completă a acestor grupuri sunt cunoscute.

Pentru a calcula aceste grupuri, folosim și fibrări Hopf și tehnica varietăților echipate ( încadrată în limba engleză) care provine din teoria cobordismului .

O sferă de dimensiunea 1 este un cerc . Avem :

$\ pi _ {1} ({\ mathbb S} ^ {1}) = \ mathbb {Z}$ ;
${\ displaystyle \ pi _ {q} (\ mathbb {S} ^ {1}) = 0 \ quad}$ pentru . $\ quad q \ geq 2$

Sferele dimensiunii 2 și 3

Pentru conceptul de sferă tridimensională, a se vedea articolul 3-sferă .

Sferele de cel puțin două dimensiuni sunt conectate pur și simplu , în special:

\ pi _ {1} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {1} ({\ mathbb S} ^ {3}) = 0

În orice dimensiune mai mare sau egală cu 3, avem :, în special: $nu$ $\ pi _ {2} ({\ mathbb S} ^ {n}) = 0$

\ pi _ {2} ({\ mathbb S} ^ {3}) = 0

În orice dimensiune , avem :, în special: $nu$ $\ pi _ {n} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z}$

\ pi _ {2} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ mathbb {Z}

\ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z}

În dimensiunile 2 și 3, fibrarea Hopf

F = S ^ {1} \ hookrightarrow S ^ {3} \ rightarrow S ^ {2} = B \, \!

dă naștere unei secvențe de homotopie exacte,

\ pi _ {i} (S ^ {1}) \ to \ pi _ {i} (S ^ {3}) \ to \ pi _ {i} (S ^ {2}) \ to \ pi _ {{ i-1}} (S ^ {1}) \ to \ pi _ {{i-1}} (S ^ {3}) \, \ cdots

Ca și pentru ,, avem, prin urmare, un izomorfism : $\ pi _ {1} ({\ mathbb S} ^ {1}) = \ mathbb {Z}$ $i \ geq 2$ $\ pi _ {i} ({\ mathbb S} ^ {1}) = 0$

\ pi _ {i} ({\ mathbb S} ^ {3}) \ simeq \ pi _ {i} ({\ mathbb S} ^ {2})

pentru ,

i \ geq 3

în special

\ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z}

Pentru grupurile cu homotopie mai mare, alte tehnici dau următoarele rezultate:

$\ pi _ {4} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {4} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z} / (2)$
$\ pi _ {5} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {5} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z} / (2)$
$\ pi _ {6} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {6} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z} / (12)$

Grupuri de homotopie ale și

{\ mathbb S} ^ {3}

{\ mathbb S} ^ {2}

$k$	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\ pi _ {k} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ pi _ {k} ({\ mathbb S} ^ {2})$	Z	Z 2		Z 12	Z 2		Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z 6	Z 30		Z 2 × Z 6	Z 2 2 × Z 12		Z 2 2 × Z 132

Grupurile de homotopie sunt finite pentru mai mare sau egal cu 4. $\ pi _ {i} ({\ mathbb S} ^ {3}) \ simeq \ pi _ {i} ({\ mathbb S} ^ {2})$ $eu$

Teoria generală

Masa

Calculul grupurilor de homotopie a sferelor este dificil și rezultatele sunt complicate. Tabelul următor oferă o idee despre complexitate:

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π 6	π 7	π 8	π 9	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15	π 16
S 1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S 2	0	Z	Z	Z 2	Z 2	Z 12	Z 2	Z 2	Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z 6
S 3	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 12	Z 2	Z 2	Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z 6
S 4	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z 2 6
S 5	0	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 24	Z 2	Z 2	Z 2	Z 30	Z 2	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 × Z 2 2
S 6	0	0	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	Z	Z 2	Z 60	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 × Z 2
S 7	0	0	0	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 120	Z 2 3	Z 2 4
S 8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z × Z 120	Z 2 4
S 9	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240

Intrările tabelului sunt fie grupul trivial 0, chiar grupul monogen infinit ℤ, fie grupurile abeliene finite sau (casetele roșii) produsul unor astfel de grupuri abeliene finite și al lui ℤ.

Stabilitate în dimensiuni mari

Tabelele de grup homotopice sunt mai ușor organizate prin prezentarea în funcție de și : $\ pi _ {{n + k}} ({\ mathbb S} ^ {n})$ $nu$ $k$

S n	π n	π n +1	π n +2	π n +3	π n +4	π n +5	π n +6	π n +7	π n +8	π n +9	π n +10	π n +11	π n +12	π n +13	π n +14	π n +15
S 1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S 2	Z	Z	Z 2	Z 2	Z 12	Z 2	Z 2	Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z 6	Z 30
S 3	Z	Z 2	Z 2	Z 12	Z 2	Z 2	Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z 6	Z 30	Z 30
S 4	Z	Z 2	Z 2	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z 15	Z 2	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z 2 6	Z 24 × Z 6 × Z 2	Z 2520 × Z 6 × Z 2	Z 30
S 5	Z	Z 2	Z 2	Z 24	Z 2	Z 2	Z 2	Z 30	Z 2	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 × Z 2 2	Z 2 3	Z 6 × Z 2	Z 6 × Z 2	Z 30 × Z 2
S 6	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	Z	Z 2	Z 60	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 × Z 4	Z 240	Z 6	Z 12 × Z 2	Z 60 × Z 6
S 7	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 120	Z 2 3	Z 2 4	Z 24 × Z 2	Z 504 × Z 2	0	Z 6	Z 24 × Z 4	Z 120 × Z 2 3
S 8	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z × Z 120	Z 2 4	Z 2 5	Z 24 2 × Z 2	Z 504 × Z 2	0	Z 6 × Z 2	Z 240 × Z 24 × Z 4	Z 120 × Z 2 5
S 9	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 3	Z 2 4	Z 24 × Z 2	Z 504 × Z 2	0	Z 6	Z 16 × Z 4	Z 240 × Z 2 3
S 10	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z × Z 2 3	Z 12 × Z 2	Z 504	Z 12	Z 6	Z 16 × Z 2	Z 240 × Z 2 2
S 11	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6 × Z 2	Z 504	Z 2 2	Z 6 × Z 2	Z 16 × Z 2	Z 240 × Z 2
S 12	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z × Z 504	Z 2	Z 6 × Z 2	Z 48 × Z 4 × Z 2	Z 240 × Z 2
S 13	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 6	Z 16 × Z 2	Z 480 × Z 2
S 14	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z × Z 3	Z 8 × Z 2	Z 480 × Z 2
S 15	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 4 × Z 2	Z 480 × Z 2
S 16	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 2 2	Z × Z 480 × Z 2
S 17	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 2 2	Z 480 × Z 2
S 18	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 2 2	Z 480 × Z 2
S 19	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 2 2	Z 480 × Z 2

Pentru dimensiunile „mari” , avem:

$\ pi _ {n} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z}, \ quad n \ geq 1$ (prima coloană în galben din tabelul anterior)
$\ pi _ {{n + 1}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 3$ (a doua coloană - în mov - din tabelul anterior)
$\ pi _ {{n + 2}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 2$ (a treia coloană - turcoaz - din tabelul anterior)

După cum se poate presupune, se pare că este independent de pentru suficient de mare. Acest fenomen este cunoscut sub numele de stabilitate. Urmeaza teorema de suspendare a Freudenthal următoare: $\ Gamma _ {k} = \ pi _ {{n + k}} ({\ mathbb S} ^ {n})$ $nu$ $nu$

Morfismul de suspensie este un izomorfism pentru $S: \ pi _ {{n + k}} ({\ mathbb S} ^ {n}) \ to \ pi _ {{n + k + 1}} ({\ mathbb S} ^ {{n + 1} })$ $n \ geq k + 2$
și un epimorfism (morfism surjectiv) pentru . $n = k + 1$

Primele grupuri stabile sunt: $\ Gamma _ {k} = \ pi _ {{2k + 2}} ({\ mathbb S} ^ {{k + 2}}) = \ pi _ {{n + k}} ({\ mathbb S} ^ {n}), \ quad n \ geq k + 2$

$\ Gamma _ {{- j}} = \ pi _ {{nj}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = 0,$
$\ Gamma _ {0} = \ pi _ {n} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z}, \ quad n \ geq 1$
$\ Gamma _ {1} = \ pi _ {{n + 1}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 3$
$\ Gamma _ {2} = \ pi _ {{n + 2}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 2$
$\ Gamma _ {3} = \ pi _ {{n + 3}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (24), \ quad n \ geq 5$
$\ Gamma _ {4} = \ pi _ {{n + 4}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = 0, \ quad n \ geq 6$
$\ Gamma _ {5} = \ pi _ {{n + 5}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = 0, \ quad n \ geq 7$
$\ Gamma _ {6} = \ pi _ {{n + 6}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 5$
$\ Gamma _ {7} = \ pi _ {{n + 7}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (240), \ quad n \ geq 9$
$\ Gamma _ {8} = \ pi _ {{n + 8}} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z} / (2) \ oplus \ mathbb {Z} / (2), \ quad n \ geq 10$

Grupurile stabile de homotopie sunt finite cu excepția . $k = 0$

Grupuri stabile de homotopie (in) cumai puțin de 23

\ \ Gamma _ {k} = \ pi _ {{2k + 2}} ({\ mathbb S} ^ {{k + 2}})

k

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\ Gamma _ {k}$	Z	Z 2	Z 2	Z 24	0	0	Z 2	Z 240	Z 2 2	Z 2 3	Z 6	Z 504	0	Z 3	Z 2 2	Z 480 ⊕ Z 2	Z 2 2	Z 2 4	Z 8 ⊕ Z 2	Z 264 ⊕ Z 2	Z 24	Z 2 2	Z 2 2

De la , descompunerea lui devine mai complicată, de exemplu: $k = 23$ $\ Gamma _ {k}$

\ Gamma _ {{23}} = \ mathbb {Z} _ {{65520}} \ oplus \ mathbb {Z} _ {{24}} \ oplus \ mathbb {Z} _ {{2}}

\ Gamma _ {{23}} = \ mathbb {Z} _ {{16}} \ oplus \ mathbb {Z} _ {8} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {9} \ oplus \ mathbb {Z} _ {3} \ oplus \ mathbb {Z} _ {5} \ oplus \ mathbb {Z} _ {7} \ oplus \ mathbb {Z} _ {{13}}

Grupuri stabile de homotopie cu mai puțin de 60

\ \ Gamma _ {k} = \ pi _ {{2k + 2}} ({\ mathbb S} ^ {{k + 2}})

k

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7
$\ Gamma _ {k}$	Z	Z 2	Z 2	Z 24 = Z 8 ⊕ Z 3	0	0	Z 2	Z 240 = Z 16 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5
$k$	8	9	10	11	12	13	14	15
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 2	Z 2 3	Z 6 = Z 2 ⊕ Z 3	Z 504 = Z 8 ⊕ Z 9 ⊕ Z 7	0	Z 3	Z 2 2	Z 480 ⊕ Z 2 = Z 32 ⊕ Z 2 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5
$k$	16	17	18	19	20	21	22	23
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 2	Z 2 4	Z 8 ⊕ Z 2	Z 264 ⊕ Z 2 = Z 8 ⊕ Z 2 ⊕ Z 3 ⊕ Z 11	Z 24	Z 2 2	Z 2 2	Z 16 ⊕ Z 8 ⊕ Z 2 ⊕ Z 9 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 ⊕ Z 7 ⊕ Z 13
$k$	24	25	26	27	28	29	30	31
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 2	Z 2 2	Z 2 2 ⊕ Z 3	Z 24 = Z 8 ⊕ Z 3	Z 2	Z 3	Z 6 = Z 2 ⊕ Z 3	Z 64 ⊕ Z 2 2 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 ⊕ Z 17
$k$	32	33	34	35	36	37	38	39
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 4	Z 2 5	Z 4 ⊕ Z 2 3	Z 8 ⊕ Z 2 2 ⊕ Z 27 ⊕ Z 7 ⊕ Z 19	Z 6 = Z 2 ⊕ Z 3	Z 2 2 ⊕ Z 3	Z 2 ⊕ Z 60 = Z 2 ⊕ Z 4 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5	Z 16 ⊕ Z 2 5 ⊕ Z 3 2 ⊕ Z 25 ⊕ Z 11
$k$	40	41	42	43	44	45	46	47
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 5 ⊕ Z 4 ⊕ Z 3	Z 2 5	Z 8 ⊕ Z 2 2 ⊕ Z 3	Z 552 = Z 8 ⊕ Z 3 ⊕ Z 23	Z 8	Z 16 ⊕ Z 2 3 ⊕ Z 9 ⊕ Z 5	Z 2 4 ⊕ Z 3	Z 32 ⊕ Z 4 ⊕ Z 2 3 ⊕ Z 9 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 ⊕ Z 7 ⊕ Z 13
$k$	48	49	50	51	52	53	54	55
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 4 ⊕ Z 4	Z 2 2 ⊕ Z 3	Z 3 ⊕ Z 2 3	Z 8 ⊕ Z 4 ⊕ Z 2 2 ⊕ Z 3	Z 2 3 ⊕ Z 3	Z 2 4	Z 4 ⊕ Z 2	Z 16 ⊕ Z 3 2 ⊕ Z 5 ⊕ Z 29
$k$	56	57	58	59	60	61	62	63
$\ Gamma _ {k}$	Z 2 2	Z 2 4	Z 2 2	Z 8 ⊕ Z 2 2 ⊕ Z 9 ⊕ Z 7 ⊕ Z 11 ⊕ Z 31	Z 4

Tabelul anterior încurajează interesul pentru modulul de congruență a clasei 4 din k , dacă p este un număr prim mai mare sau egal cu 7:

În cazul în care k este chiar (coloane , , , tabelul anterior) $k = 0$ $k = 2$ $k = 4$ $k = 6$

dacă k este congruent cu 1 modul 4 (coloane și din tabelul precedent), atunci p -componenta lui este zero (0) indiferent de p prim mai mare sau egal cu 7. $k = 1$ $k = 5$
$\ Gamma _ {k}$
Dacă k este congruent cu 3 modulo 4 (coloane și din tabelul anterior) și dacă p este prim și mai mare sau egal cu 7, atunci p -componenta lui este k=3{\ displaystyle k = 3} $k = 3$ k=7{\ displaystyle k = 7} $k = 7$
Γk{\ displaystyle \ Gamma _ {k}} $\ Gamma _ {k}$
- ciclic și de ordinul p ( ) dacă este divizat , $\ Gamma _ {k} (p) = \ mathbb {Z} / (p)$ $(p-1) / 2$ $(k + 1) / 4$
- altfel este nul ( ). $\ Gamma _ {k} (p) = 0$

De exemplu :

$\ Gamma _ {k} (7) = \ mathbb {Z} / (7)$ dacă și dacă nu; $k = 12n-1$ $\ Gamma _ {k} (7) = 0$
$\ Gamma _ {k} (11) = \ mathbb {Z} / (11)$ dacă și dacă nu; $k = 20n-1$ $\ Gamma _ {k} (11) = 0$
$\ Gamma _ {k} (13) = \ mathbb {Z} / (13)$ dacă și dacă nu; $k = 24n-1$ $\ Gamma _ {k} (13) = 0$
$\ Gamma _ {k} (p) = \ mathbb {Z} / (p)$ dacă și dacă nu. $k = 2 (p-1) n-1$ $\ Gamma _ {k} (p) = 0$

Complexitatea constă în principal în componentele 2-, 3- și 5- ale grupului . $\ Gamma _ {k}$

Primele grupuri instabile sunt:

În dimensiunea 2 și 3 ( ): πk(S2)=πk(S3){\ displaystyle \ pi _ {k} (\ mathbb {S} ^ {2}) = \ pi _ {k} (\ mathbb {S} ^ {3})} $\ pi _ {k} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {k} ({\ mathbb S} ^ {3})$
- $\ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z}$
- $\ pi _ {5} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {5} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ pi _ {4} ({\ mathbb S} ^ { 2}) = \ mathbb {Z} / (2)$
- $\ pi _ {6} ({\ mathbb S} ^ {2}) = \ pi _ {6} ({\ mathbb S} ^ {3}) = \ mathbb {Z} / (12)$
În dimensiunea 4: $\ pi _ {7} ({\ mathbb S} ^ {4}) = \ mathbb {Z} / (12) \ oplus \ mathbb {Z}$

Grupurile stabile de homotopie sunt finite, cu excepția ( ). $\ pi _ {{n + k}} ({\ mathbb S} ^ {n})$ $k = 0$ $\ Gamma _ {0} = \ mathbb {Z}$

Grupurile de homotopie instabile sunt finite, cu excepția grupurilor (cu p > 0). Acestea ( , , ...) sunt izomorfe cu suma directă și un grup finit. $\ pi _ {{4p-1}} ({\ mathbb S} ^ {{2p}})$ $\ pi _ {3} ({\ mathbb S} ^ {2})$ $\ pi _ {7} ({\ mathbb S} ^ {4})$ $\ pi _ {{11}} ({\ mathbb S} ^ {6})$ $\ mathbb {Z}$

Știm că dacă există o infinitate de grupuri care nu sunt zero (acestea sunt rezultatele lui Jean-Pierre Serre ). $n> 1$ $\ pi _ {{k}} ({\ mathbb S} ^ {n})$

Știm, de asemenea, că pentru orice ( Morton L. Curtis (ro) ). $\ pi _ {k} ({\ mathbb S} ^ {5}) \ neq 0$ $k> 4$

Aplicații

Pentru aplicațiile grupului fundamental ( ), consultați articolul Grupul fundamental . $n = 1$
Faptul implicat de teorema lui Brouwer care afirmă că orice hartă continuă a mingii în sine are un punct fix. $\ pi _ {n} ({\ mathbb S} ^ {n}) = \ mathbb {Z}$

Acest grup permite definirea gradului Brouwer al unei aplicații a sferei în sine.

Grupurile de homotopie stabile sunt importante în teoria singularității.
Faptul că grupul de homotopie stabilă 3 e este ℤ / (24) implică teorema Rokhlin (en) care afirmă că semnarea (în) unui spinor de varietate de dimensiunea 4 este divizibilă cu 16.
Grupurile de homotopie stabilă sunt folosite pentru a descrie grupurile de h- cobordism (en) de homotopii orientate ale sferelor, care pentru diferite de 4 este grupul de sfere de dimensiune orientate exotice . $nu$ $nu$
Grupurile homotopice de sfere sunt legate de clasele cobordismului de varietăți.
De asemenea, ele fac posibilă calcularea grupelor de omotopie a fasciculelor, grupurilor Lie și spațiilor simetrice.

Generalizare în geometrie algebrică

În geometria algebrică, definim care sunt sferele dimensiunii și greutății . ${\ mathbb S} ^ {{n, i}}$ $nu$ $eu$

Putem defini grupurile stabile de homotopie a sferelor ca colimite (sau limite inductive ) ale setului de clase de homotopie de aplicații cu viermi ${\ mathbb S} ^ {{2r + n, r}}$ ${\ mathbb S} ^ {{2r, r + i}}.$

Referințe în franceză

Boris Doubrovine (de) , Anatoli Fomenko și Sergueï Novikov , Geometrie contemporană - Metode și aplicații ,1984[ detaliu ediții ], volumele 2 și 3
Claude Godbillon , Elemente de topologie algebrică [ detaliul ediției ]
Fabien Morel , „Grupuri homotopice de sfere algebrice și forme pătratice”, în Lecții de matematică astăzi , vol. 3, Cassini, 2007